文|張俊珍

核心素養(yǎng)落地是當(dāng)前基礎(chǔ)教育課程改革的核心命題。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱2022 版課標(biāo)）提出課程目標(biāo)要立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，并提煉了數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)主要包括三會(huì)，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。其中會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)一步指出了數(shù)學(xué)思維的重要性，那么什么是數(shù)學(xué)思維？如何用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界、數(shù)學(xué)思維有哪些培育路徑，而理清這些問題是2022 版課標(biāo)有效落實(shí)的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，對(duì)促進(jìn)學(xué)生智力和能力發(fā)展具有重要的作用，需要在課堂教學(xué)中有效落實(shí)。但是在當(dāng)前的課堂教學(xué)中存在著數(shù)學(xué)思維缺失、學(xué)生思維點(diǎn)狀等樣態(tài)。具體來講，一是教學(xué)缺少整體化、結(jié)構(gòu)化，數(shù)學(xué)思維過程呈現(xiàn)不足，以致學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在概念認(rèn)知散點(diǎn)化、碎片化的現(xiàn)象，造成學(xué)生認(rèn)知零散、點(diǎn)狀、孤立，缺乏對(duì)知識(shí)體系的整體理解，以致學(xué)生缺乏對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的價(jià)值與應(yīng)用范圍的整體把握，影響知識(shí)理解與遷移。二是學(xué)生在數(shù)學(xué)理解上存在片面化、表象化現(xiàn)象，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解缺失，學(xué)生沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成的過程，探究活動(dòng)缺少深度和探究?jī)r(jià)值，有些數(shù)學(xué)活動(dòng)流于形式，缺少對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感知和領(lǐng)悟，導(dǎo)致學(xué)生思維惰性，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不全面、不深刻。三是學(xué)生思考問題角度單一、扁平，缺少多角度、立體化思考，學(xué)生思考問題的方法及策略也缺乏提煉和梳理、導(dǎo)致學(xué)生思維靈活度不足，問題剖析缺乏深度，思考力、思辨性不強(qiáng)，思維受阻。四是學(xué)生語言表達(dá)不清晰，邏輯性不強(qiáng)，系統(tǒng)性不足，學(xué)生數(shù)學(xué)思考沒有清晰的邏輯鏈，對(duì)知識(shí)缺乏真正的理解，教學(xué)中沒能給學(xué)生思考和表達(dá)的機(jī)會(huì)和空間，沒有呈現(xiàn)學(xué)生的思維路徑和學(xué)習(xí)軌跡。五是思維品質(zhì)的培養(yǎng)沒有得到足夠關(guān)注，特別是對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維、批判性思維、直覺思維、邏輯思維等高階思維的關(guān)注較少，以致學(xué)生思維的深刻性、批判性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、敏捷性不足。

出現(xiàn)以上問題的原因是教師在教學(xué)中沒有真正關(guān)注數(shù)學(xué)思維，特別是邏輯思維的培養(yǎng)，教學(xué)中過度關(guān)注知識(shí)間的表層關(guān)聯(lián)，忽視深入內(nèi)部結(jié)構(gòu)的本質(zhì)聯(lián)系，難以促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)理解，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)關(guān)注較少，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界有所欠缺，真實(shí)學(xué)習(xí)難以真正發(fā)生。為此，要深入理解數(shù)學(xué)2022 版課標(biāo)理念，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)思維的價(jià)值，在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、2022 年版課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)思維的解讀

數(shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過抽象得出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)；通過推理解釋論證，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展；通過建模，表達(dá)和解決問題。數(shù)學(xué)為人們提供了理解和解釋世界的思考方式，數(shù)學(xué)思維也為大家提供了思考現(xiàn)實(shí)世界的方式。2022 年版課標(biāo)指出：“通過數(shù)學(xué)的思維，可以揭示客觀事物的本質(zhì)屬性，建立數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的邏輯聯(lián)系；能夠根據(jù)已知事實(shí)或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系；能夠運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算、形式推理等數(shù)學(xué)方法，分析、解決數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題；能夠通過計(jì)算思維將各種信息簡(jiǎn)約和形式化，進(jìn)行問題求解與系統(tǒng)設(shè)計(jì)；能夠形成重論據(jù)、有條件、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神。”可見，數(shù)學(xué)思維是指數(shù)學(xué)學(xué)科的對(duì)象、思想與方法、特征、追求及其內(nèi)在關(guān)系，其核心是形成數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維方式。數(shù)學(xué)思維在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)中具有很重要的作用。因此，要根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，全面落實(shí)課程目標(biāo)，進(jìn)一步挖掘教材中的數(shù)學(xué)思維課程資源，深度理解，透徹領(lǐng)悟。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與發(fā)展要對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)象的知識(shí)技能、思想方法、價(jià)值意義全面掌握，對(duì)學(xué)科特征全面體認(rèn)，對(duì)數(shù)學(xué)追求全面體悟。

1.數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵和特征。

思維是人的一種高級(jí)的心理活動(dòng)形式。林崇德教授指出“思維是智力與能力的核心”，教學(xué)中要注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維是學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)象、思想與方法、特征、追求及其內(nèi)在關(guān)系的理解與把握形成的思維方式，是學(xué)生具有鮮明數(shù)學(xué)學(xué)科特色的分析問題、解決問題的思維傾向，以及在此基礎(chǔ)之上形成的元認(rèn)知水平的心智操作能力。數(shù)學(xué)思維指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)思考問題、處理問題的基本視角與方法，以及探尋這些視角與方法的思維模式，乃至蘊(yùn)藏于這些視角與方法背后的觀念。數(shù)學(xué)思維是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維，是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一定的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)，具有思維的概括性、問題性、邏輯性和發(fā)展性。體現(xiàn)為形象思維、邏輯思維、直覺思維等思維形態(tài)。數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本，包括各種數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，如觀察、猜想、驗(yàn)證、想象、實(shí)驗(yàn)、運(yùn)算、推理、建模、直觀想象、抽象概括、數(shù)據(jù)分析、反思、描述等。運(yùn)算和推理是數(shù)學(xué)思維的主要體現(xiàn)。

2.數(shù)學(xué)思維的具體表現(xiàn)。

2022 版課標(biāo)明確指出，在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力。一是發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，即通過數(shù)學(xué)思維過程，理解數(shù)學(xué)基本概念，發(fā)現(xiàn)概念與概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系。二是分析論證，即能夠合乎邏輯地論證數(shù)學(xué)的基本方法和結(jié)論，分析和解釋問題。三是探究發(fā)現(xiàn)，即探究數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程。四是質(zhì)疑問難，發(fā)展批判性思維，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，形成理性精神。數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指能明晰運(yùn)算的意義，理解算理算法，選擇運(yùn)算策略解決問題，通過運(yùn)算促進(jìn)推理能力的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)。從小學(xué)階段的推理意識(shí)到初中階段的推理能力，再到高中階段的邏輯推理，學(xué)生都要經(jīng)過歸納類比、猜想發(fā)現(xiàn)、推理論證、邏輯表達(dá)等過程。數(shù)學(xué)推理能力，包括邏輯思維能力和實(shí)驗(yàn)、猜想等合情推理能力以及直覺聯(lián)想能力等；也包括數(shù)學(xué)交流能力，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)解釋和說明自己的思想觀點(diǎn)、思維過程，并能比較客觀地進(jìn)行反思評(píng)價(jià)。常見的推理有演繹推理、歸納推理和類比推理。學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析與綜合、抽象和概括；會(huì)用歸納類比進(jìn)行推理；會(huì)合乎邏輯地闡述自己的思想和觀點(diǎn)，逐步形成理性思維和理性精神。

因此，在教學(xué)中，要基于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展特點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維；通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)思維，展現(xiàn)思維過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力；發(fā)展數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，形成正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀，有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

數(shù)學(xué)思維的形成不是一蹴而就的，需要長(zhǎng)期、持續(xù)、循序漸進(jìn)的過程。教學(xué)中要通過指向核心素養(yǎng)的情境真實(shí)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法在應(yīng)用知識(shí)解決問題的過程中經(jīng)歷、體驗(yàn)、感悟、內(nèi)化，形成較為穩(wěn)定的思維方式。

二、基于“三會(huì)”視角發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的實(shí)踐路徑

2022 版課標(biāo)提出了數(shù)學(xué)課程以“三會(huì)”為目標(biāo)的學(xué)生的核心素養(yǎng)，“三會(huì)”是統(tǒng)一的整體，三者之間相互支撐、和諧統(tǒng)一。用數(shù)學(xué)的眼光觀察和用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)都離不開數(shù)學(xué)思維的思考，數(shù)學(xué)思維也需要在數(shù)學(xué)的眼光和數(shù)學(xué)的語言中得以發(fā)展?！皶?huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”為人們提供了理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式，通過數(shù)學(xué)教學(xué)有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是2022 版課標(biāo)有效落實(shí)的關(guān)鍵。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，使學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維方式，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生知識(shí)水平、學(xué)習(xí)能力、學(xué)科素養(yǎng)的全面提升。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解核心概念，嚴(yán)謹(jǐn)探究問題本源，多角度創(chuàng)造性地解決問題，科學(xué)合理地進(jìn)行有效評(píng)價(jià)。

1.遵循學(xué)生年齡和心理特征及認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的持續(xù)發(fā)展。

2022 版課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體現(xiàn)了整體性、一致性和階段性。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程主要是培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和邏輯思維。有研究顯示，小學(xué)低段主要表現(xiàn)為形象思維，主要通過直觀形象思維理解數(shù)學(xué)概念。四年級(jí)學(xué)生開始思維由具體形象思維向以抽象邏輯思維過渡，是思維發(fā)展過程中的“飛躍”和“質(zhì)變”。中學(xué)階段突出體現(xiàn)邏輯思維，初中二年級(jí)是從經(jīng)驗(yàn)型向理論型發(fā)展的開始，也是逐步了解對(duì)立統(tǒng)一的辨證思想規(guī)律的開始。根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律發(fā)展思維有助于促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)觀念及關(guān)鍵能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展也有連續(xù)性、發(fā)展性、持續(xù)性。因此，教學(xué)內(nèi)容的選擇要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)螺旋式及選擇性，逐步拓寬課程內(nèi)容。皮亞杰提出的認(rèn)知發(fā)展階段性理論認(rèn)為，兒童認(rèn)知形成的過程是先出現(xiàn)一些憑直覺產(chǎn)生的概念，這些原始概念構(gòu)成思維的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上經(jīng)過綜合加工形成新概念，建構(gòu)新結(jié)構(gòu)。小學(xué)生的思維發(fā)展從形象思維逐步向抽象思維過渡，一般要經(jīng)歷由最初的穩(wěn)定集中性思維逐步向靈活分析性思維過渡的過程，要經(jīng)歷由低層次思維向高層次思維發(fā)展的過程。因此，要保護(hù)學(xué)生直覺，關(guān)注思維的持續(xù)發(fā)展。

2022 版課標(biāo)也指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在不同學(xué)段的表現(xiàn)，既有一致性也有一個(gè)發(fā)展的過程。小學(xué)階段主要是基于經(jīng)驗(yàn)的感悟，形成初步的意識(shí)；初中階段要求基于概念的理解，形成相對(duì)明確的觀念，并發(fā)展更多的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。因此在教學(xué)中要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)階，核心素養(yǎng)進(jìn)階的階段性實(shí)施。要樹立以學(xué)生發(fā)展為本，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展，全面提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的學(xué)科課程銜接的核心課程銜接觀。由學(xué)科本位、知識(shí)本位轉(zhuǎn)化為課程綜合化、整體化、系統(tǒng)化和連續(xù)性、進(jìn)階性，根據(jù)學(xué)生身心發(fā)展、知識(shí)儲(chǔ)備、經(jīng)驗(yàn)積累不同，從學(xué)生認(rèn)知、情感、社會(huì)化以及情感、態(tài)度、價(jià)值觀，學(xué)習(xí)方式、思維方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣、個(gè)性發(fā)展等方面實(shí)施有效銜接。如，教學(xué)三角形內(nèi)角和，小學(xué)階段是通過觀察、操作、感知、了解三角形內(nèi)角和是180°。中學(xué)階段則要求探索并證明三角形內(nèi)角和定理，掌握它的推論，注重用演繹推理的方法證明。因此，從學(xué)科內(nèi)容的組織來看，要突出知識(shí)的結(jié)構(gòu)性和邏輯性，可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容采用直線式，將學(xué)科內(nèi)容直線推進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，不重復(fù)排列；也可采用螺旋式，不斷擴(kuò)大知識(shí)的深度、廣度及寬度。

2. 明確數(shù)學(xué)思維與知識(shí)間關(guān)系，實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促進(jìn)思維整體發(fā)展。

在教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)不能脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，否則數(shù)學(xué)思維是抽象而空洞的。將獲得過程性的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行活動(dòng)化處理，數(shù)學(xué)思維才能得以彰顯。2022 版課標(biāo)指出：指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。這就要求教師在教學(xué)中做到，一方面了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義；另一方面要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解，建立有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，教師不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，還要引導(dǎo)學(xué)生深刻感悟數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想、方法、策略，培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣思考分析問題，深入探究、科學(xué)合理地解決問題，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體現(xiàn)更加立體、豐富。教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在探究問題的解決過程中，形成一定的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展探究規(guī)律的思維范式。

實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)，就要設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容，從關(guān)注知識(shí)技能的“點(diǎn)狀”轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注教學(xué)的關(guān)聯(lián)性整體性，從知識(shí)“傳輸”自覺變革為關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考，關(guān)注學(xué)生主動(dòng)活動(dòng)中所形成的知識(shí)與技能、過程與方法、態(tài)度與品格的綜合效應(yīng)，關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。因此教學(xué)中要做到教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，一是要系統(tǒng)分析教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系；二是設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化教學(xué)形式，實(shí)施單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)；三是突出學(xué)生思維結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生形成整體的、系統(tǒng)的、關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)化思維。

因此在教學(xué)中：一是要通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)使數(shù)學(xué)認(rèn)知從散點(diǎn)走向結(jié)構(gòu)。從數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)出發(fā)，考慮學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維水平以及教材的邏輯結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念的意義、價(jià)值、必要性及優(yōu)越性；依據(jù)教材體系整體設(shè)計(jì)教學(xué)過程，在習(xí)得知識(shí)和發(fā)展思維的過程中，建構(gòu)知識(shí)的系統(tǒng)性結(jié)構(gòu)。二是通過啟發(fā)式教學(xué)使數(shù)學(xué)方法從單一走向多元。用聯(lián)系的視角互相融通，促進(jìn)思想方法的理解遷移。三是從整體的視角使數(shù)學(xué)思維從割裂走向關(guān)聯(lián)。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷清晰、全面、有序的思考路徑，體驗(yàn)并形成解決問題的步驟，使思維更加嚴(yán)謹(jǐn)條理，合乎邏輯。四是通過深度學(xué)習(xí)使學(xué)生的數(shù)學(xué)理解從淺層走向深度，實(shí)施大單元整體教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)并探索數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科及社會(huì)生活的聯(lián)系。

3.引導(dǎo)學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，思維參與學(xué)習(xí)全過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程。

2022 版課標(biāo)指出，學(xué)生要經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程。學(xué)生真正學(xué)習(xí)的過程一定是思維參與的過程，是由低層次思維向高層次思維的發(fā)展過程，是在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的感悟與體驗(yàn)。學(xué)生思維的經(jīng)驗(yàn)和方式是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的基礎(chǔ)。在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，問題是學(xué)生卷入深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要載體。因此設(shè)計(jì)具有探究、思考價(jià)值的問題至關(guān)重要，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中建構(gòu)學(xué)科知識(shí)體系、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的不斷發(fā)展、提升。引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決問題，教師就要在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)上設(shè)置問題，并形成問題鏈或問題串，不斷引導(dǎo)學(xué)生自主生成新的問題，形成數(shù)學(xué)思維模式。

2022 版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力。在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域強(qiáng)調(diào)了代數(shù)推理，幫助學(xué)生體驗(yàn)代數(shù)運(yùn)算的特性并且提升學(xué)生的推理能力；在圖形與幾何領(lǐng)域強(qiáng)調(diào)了幾何直觀，突出幾何說理，空間推理；在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)分析的意義，引導(dǎo)學(xué)生用理解隨機(jī)現(xiàn)象和用數(shù)據(jù)講道理，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)推理。數(shù)學(xué)思維的主要形態(tài)是推理，推理集中反映了數(shù)學(xué)思維的獨(dú)特的育人價(jià)值。

以數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)為例，2022 版課標(biāo)指出，運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。運(yùn)算能力的培養(yǎng)首先要幫助學(xué)生充分理解數(shù)與運(yùn)算的意義，理解算法與算理之間的關(guān)系。加強(qiáng)口算基本功的訓(xùn)練、加強(qiáng)算理算法相融的教學(xué)，循理入法，以理馭法，凸顯一般算法的實(shí)質(zhì)。在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，首先要注重整體設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生感悟數(shù)與運(yùn)算的一致性。關(guān)注運(yùn)算應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生選擇合理的策略解決問題。將算理的剖析和抽象知識(shí)融于情境中，聯(lián)系數(shù)的意義借助現(xiàn)實(shí)情境理解算理，實(shí)現(xiàn)感性到理性的飛躍。二是關(guān)注算理與算法的溝通與聯(lián)系，借助直觀演示和動(dòng)手操作加深算理的理解，運(yùn)用知識(shí)遷移，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確運(yùn)用法則簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。三是將估算能力培養(yǎng)貫穿計(jì)算教學(xué)始終，加強(qiáng)變式練習(xí)，加強(qiáng)合理選擇算法的教學(xué)，筆算和估算都要選擇算法，改造傳統(tǒng)簡(jiǎn)便運(yùn)算，關(guān)注解決問題途徑，關(guān)注計(jì)算方式選擇。四是要通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣，培養(yǎng)計(jì)算思維，養(yǎng)成良好的計(jì)算習(xí)慣，形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

再?gòu)男W(xué)推理意識(shí)來看，2022 版課標(biāo)指出，推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過程及其意義的初步感悟。因此，在教學(xué)中一是要明確推理是重要的思想方法，是數(shù)學(xué)的基本思維方式，低年級(jí)的找規(guī)律、總結(jié)計(jì)算法則，高年級(jí)面積、體積公式的推導(dǎo)，都用到推理。二是注重合情推理和演繹推理。合情推理多用于根據(jù)特殊的事實(shí)去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一般性的結(jié)論，演繹推理往往用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證明和推導(dǎo)新的結(jié)論。三是推理能力的發(fā)展要與知識(shí)學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合。在教學(xué)過程中要設(shè)計(jì)有挑戰(zhàn)性的項(xiàng)目化任務(wù)或活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生去觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等進(jìn)行“猜想——驗(yàn)證”的全過程，并發(fā)現(xiàn)結(jié)論。四是把握好推理思想培養(yǎng)的層次性和差異性。要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力，給學(xué)生空間和機(jī)會(huì)經(jīng)歷推理的過程，循序漸進(jìn)，長(zhǎng)期滲透，積累推理的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生有條理地表達(dá)，說理有據(jù)。

4.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成發(fā)展過程，展示學(xué)生思維過程，發(fā)展學(xué)生重證據(jù)、講道理、有條理的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

2022 版課標(biāo)指出，通過數(shù)學(xué)思維發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。

一是教學(xué)中要為數(shù)學(xué)思維而教。教師要引導(dǎo)學(xué)生在自主學(xué)習(xí)和探究問題中，理解知識(shí)本質(zhì)，初步學(xué)會(huì)自我評(píng)判和調(diào)控，對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理；學(xué)會(huì)質(zhì)疑和多角度分析，進(jìn)行發(fā)散性思考，提出自己的見解；初步掌握獲取信息的方法，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象與概括；懂得從特殊到一般，從一般到特殊以及轉(zhuǎn)化的思維策略。如在小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)教學(xué)中，要重視在具體情境下的表達(dá)，不急于歸納含義，要充分利用學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和已有認(rèn)知，在現(xiàn)實(shí)的具體情境中，從具體的“量”的角度，即“元、角、分”“米、分米、厘米”等借助直觀和半直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生在多層次的表述中感悟小數(shù)的含義，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的正遷移。在教學(xué)中暴露學(xué)生的思維過程，使思維再現(xiàn)、思維還原、思維溯源，呈現(xiàn)學(xué)生的思維路徑和學(xué)習(xí)軌跡。

二是要注重思維方式的培養(yǎng)。當(dāng)學(xué)生探索并解決了一個(gè)具體問題后，設(shè)置一般化程度不同的多個(gè)問題構(gòu)成問題鏈，使學(xué)生體會(huì)一般化思維在數(shù)學(xué)研究中的作用。如，分析與綜合、抽象與概括、比較與分類、歸納推理、演繹推理、類比推理、順序排列、空間認(rèn)知、發(fā)散思維、守恒等。以問題為線索，引導(dǎo)學(xué)生在深入探究中思辨，由表及里，探尋知識(shí)的本質(zhì)；以點(diǎn)帶面，滲透數(shù)學(xué)思想和方法。

三是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和思維品質(zhì)。學(xué)生深刻性品質(zhì)培養(yǎng)要善于深入地思考問題，抓住事物的本質(zhì)和規(guī)律，預(yù)見事物的發(fā)展過程；學(xué)生要加強(qiáng)概念理解，掌握學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)；加強(qiáng)抽象和概括能力培養(yǎng)，掌握基本的思維方法；加強(qiáng)批判性思維培養(yǎng)，挖掘隱蔽條件，排除多余因素的干擾；加強(qiáng)學(xué)生分析問題的全面性和推理的嚴(yán)密性；加強(qiáng)思維靈活性品質(zhì)的培養(yǎng)，要做到思維的起點(diǎn)靈活、思維的過程靈活、概括遷移能力強(qiáng)；要抓住知識(shí)、方法間的關(guān)聯(lián)與遷移，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維、立體多維思考，辯證思維，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通、靈活解決問題的能力；思維批判性品質(zhì)的培養(yǎng)，要鼓勵(lì)獨(dú)立思考、質(zhì)疑問難、重證據(jù)、講道理；同時(shí)要發(fā)展學(xué)生的自我監(jiān)控能力，注重反思，引導(dǎo)學(xué)生在反思中多角度、全方位地思考和聯(lián)想，打開更多的思維通道；敏捷性品質(zhì)的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)，形成合理的系列化的“知識(shí)組塊”；進(jìn)行提高思維速度的方法和技巧訓(xùn)練；通過做開放性、創(chuàng)造性作業(yè)、思維進(jìn)階測(cè)驗(yàn)等方式，有效追問，促進(jìn)思維的深度、廣度和關(guān)聯(lián)度。發(fā)展學(xué)生的敏捷性思維，發(fā)展靈活思維、思維的獨(dú)創(chuàng)性是指創(chuàng)造性思維，這也是創(chuàng)造力的核心。關(guān)注學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)，運(yùn)用知識(shí)組塊和形象直感對(duì)當(dāng)前問題進(jìn)行敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方向和途徑的思維形式。關(guān)注直覺和靈感，直覺思維以高度省略、簡(jiǎn)化、濃縮的方式洞察事物的實(shí)質(zhì)，并迅速做出猜測(cè)、設(shè)想或突然領(lǐng)悟的思維，對(duì)于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造很重要，因此要保護(hù)學(xué)生的直覺感悟及意識(shí)。

四是關(guān)注發(fā)展高階思維。這有助于幫助學(xué)生在簡(jiǎn)單的問題中發(fā)展個(gè)人思維，對(duì)問題進(jìn)行深入的思考。就拿認(rèn)知目標(biāo)來說，在布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類中，由低到高分為識(shí)記、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等六個(gè)維度，后三個(gè)維度對(duì)應(yīng)著高階思維能力。另外，自主自覺的行動(dòng)、錯(cuò)綜復(fù)雜的溝通交流等，也都是高層次水準(zhǔn)心智復(fù)雜性的展現(xiàn)。因此，在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生高階思維的培養(yǎng)，要將問題作為思維的主線，以問題為驅(qū)動(dòng)，用有價(jià)值的問題發(fā)展學(xué)生的高階思維。

數(shù)學(xué)思維的形成是長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過程，數(shù)學(xué)教育要促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，不斷改進(jìn)學(xué)生的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，形成數(shù)學(xué)的理性精神。教師要將學(xué)生科學(xué)思維方式的培養(yǎng)提升到奠基學(xué)生能力基礎(chǔ)、關(guān)乎學(xué)生人生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的高度來認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用事實(shí)、實(shí)證、邏輯、推理和論證進(jìn)行思維的能力。