余 鎮(zhèn),樊志華,李志華

(杭州電子科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,浙江 杭州 310018)

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化逐步深入，港口貿(mào)易發(fā)展迅猛。岸橋作為裝卸集裝箱的主要設(shè)備，具有結(jié)構(gòu)高、體型大等特點(diǎn)，也易受臺(tái)風(fēng)等惡劣天氣的影響[1]。軌道夾是固定在岸橋底部的機(jī)械組件，為了防止岸橋滑動(dòng)，軌道夾鉗口直接與軌道接觸，是軌道夾中受應(yīng)力最大的零件。代理模型方法是解決復(fù)雜產(chǎn)品和系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的最有效途徑之一，可以提高機(jī)械產(chǎn)品質(zhì)量，節(jié)約成本。常見代理模型包括多項(xiàng)式回歸模型、徑向基回歸模型、Kriging模型等。其中，Kriging模型能在給出預(yù)測(cè)值的同時(shí)給出預(yù)測(cè)偏差，成為最具代表性的代理模型[2]。張文豐等[3]采用Kriging代理模型方法修正了岸橋整體結(jié)構(gòu)有限元模型，提高了岸橋的性能校核功能。LI等[4]提出一種關(guān)于岸橋結(jié)構(gòu)模型驗(yàn)證和可靠性評(píng)估的綜合框架，為岸橋可靠性評(píng)估提供科學(xué)依據(jù)。劉立成等[5]提出一種合理的湍流模型，提高了岸橋風(fēng)載荷數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性，更好地模擬了優(yōu)化岸橋結(jié)構(gòu)在惡劣變化風(fēng)載荷下的穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)合理高效的加點(diǎn)策略是代理優(yōu)化算法的關(guān)鍵。JONES等[6]提出一種基于期望改進(jìn)(Expected Improvement, EI)準(zhǔn)則的有效全局優(yōu)化(Efficient Global Optimization, EGO)算法，是最常用的加點(diǎn)準(zhǔn)則。DONG等[7]使用多起點(diǎn)方法找到了代理模型的局部最優(yōu)值，并在這些局部最優(yōu)位置附近搜索全局最優(yōu)解。HAO等[8]提出一種自適應(yīng)多保真預(yù)期改進(jìn)準(zhǔn)則，以較少的分析調(diào)用提供最佳的優(yōu)化結(jié)果。目前，現(xiàn)有的代理優(yōu)化算法大多數(shù)關(guān)注無(wú)約束優(yōu)化問題，應(yīng)用范圍受到一定的限制，對(duì)可行域邊界的開發(fā)能力較弱[9]。SCHONLAU等[10]使用可行性概率(Probability of Feasibility, PoF)作為EI權(quán)重的約束加點(diǎn)準(zhǔn)則，用于增強(qiáng)對(duì)可行域的探索。文獻(xiàn)[11]結(jié)合PoF準(zhǔn)則和EI準(zhǔn)則進(jìn)行雙目標(biāo)優(yōu)化，開發(fā)了一類針對(duì)黑箱約束問題的并行優(yōu)化算法。

岸橋軌道夾結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究中，傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法一般采用經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算，在定義復(fù)雜形狀設(shè)計(jì)變量和防止網(wǎng)狀失真方面效率較低，為此，本文基于Kriging代理模型，提出一種自適應(yīng)約束代理優(yōu)化算法，通過一個(gè)動(dòng)態(tài)更新Kriging方法對(duì)軌道夾結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。

1 Kriging模型與代理優(yōu)化算法

1.1 Kriging代理模型

Kriging代理模型為：

y(x)=μ(x)+Z(x)

(1)

式中，μ(x)為設(shè)計(jì)空間的全局模擬，反應(yīng)總體變化趨勢(shì)；Z(x)為均值為0、方差為σ2、協(xié)方差非零的隨機(jī)過程，表示全局模擬基礎(chǔ)上的局部偏差。

協(xié)方差矩陣和高斯函數(shù)如下：

(2)

Kriging代理模型未知點(diǎn)處的預(yù)測(cè)響應(yīng)值為預(yù)測(cè)方差可以通過最小二乘法得到，有關(guān)Kriging代理模型的具體描述可參考文獻(xiàn)[2,12]。

1.2 加點(diǎn)準(zhǔn)則

1.2.1EI準(zhǔn)則

Kriging代理模型不僅可以得到未知點(diǎn)處的預(yù)測(cè)響應(yīng)值，還可以得到未知點(diǎn)處的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差，EI加點(diǎn)準(zhǔn)則結(jié)合了Kriging代理模型的這2個(gè)特點(diǎn)，表達(dá)式為：

(3)

1.2.2 并行加點(diǎn)準(zhǔn)則

PEI函數(shù)表達(dá)式如下：

(4)

P函數(shù)表達(dá)式為：

(5)

式中，n表示加點(diǎn)的個(gè)數(shù)，本文取n=2；Nd表示設(shè)計(jì)變量的數(shù)目；Tc表示當(dāng)前迭代步驟的相對(duì)時(shí)間，是先前迭代和當(dāng)前迭代所添加樣本數(shù)目與總預(yù)期樣本數(shù)目之比；e-2.3026Tc表示優(yōu)化過程中比例因子的衰減。

2 約束代理優(yōu)化算法

本文提出的自適應(yīng)代理優(yōu)化算法結(jié)合改進(jìn)的約束并行期望改進(jìn)準(zhǔn)則(Constrained Parallel Expected Improvement, CPEI)、重要邊界采樣準(zhǔn)則(Importance Boundary Sampling, IBS)和約束函數(shù)Kriging模型更新策略。

2.1 約束處理

2.1.1PoF準(zhǔn)則及CPEI準(zhǔn)則

PoF準(zhǔn)則計(jì)算樣本點(diǎn)落在可行區(qū)域的概率，表達(dá)式如下：

(6)

由式(6)可知，PoF(·)是一個(gè)取值范圍在0～1的聯(lián)合概率密度。

將PoF準(zhǔn)則作為EI準(zhǔn)則權(quán)重的約束應(yīng)對(duì)方法是現(xiàn)有文獻(xiàn)中較常見的做法。同理，結(jié)合PoF準(zhǔn)則，將式(4)中的ymin用最優(yōu)可行解ymin_fea代替，根據(jù)PEI加點(diǎn)準(zhǔn)則可以得到約束并行期望改進(jìn)準(zhǔn)則CPEI為：

CPEI(x)=PoF(x)PEI(x)

(7)

2.1.2IBS準(zhǔn)則

IBS準(zhǔn)則旨在解決黑箱約束函數(shù)問題，在距離當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)較小的約束區(qū)域內(nèi)選擇采樣點(diǎn)。IBS值越大，當(dāng)前采樣點(diǎn)與約束函數(shù)之間的距離越小。在每個(gè)循環(huán)中，IBS準(zhǔn)則都會(huì)選擇該區(qū)域中IBS值最大的采樣點(diǎn)。IBS函數(shù)表達(dá)式如下：

(8)

2.2 冗余點(diǎn)的刪除

對(duì)于樣本點(diǎn)的重復(fù)問題，可以通過高斯相關(guān)函數(shù)式(2)來(lái)判斷。建立Kriging模型后，可獲得2個(gè)樣本點(diǎn)的相關(guān)性參數(shù)R，R∈[0,1]。R越接近0，2個(gè)點(diǎn)距離越大；R越接近1，2個(gè)點(diǎn)距離越?。划?dāng)R=1時(shí)，2個(gè)點(diǎn)重合。

加入的樣本點(diǎn)過度集中，容易造成樣本點(diǎn)冗余，計(jì)算效率降低，為此，本文引入Euclidean距離E來(lái)刪除相同樣本點(diǎn)。

(9)

式中，xA表示通過加點(diǎn)準(zhǔn)則選取的新樣本點(diǎn)，xN表示加點(diǎn)前的樣本點(diǎn)。若E<0.1，說明新樣本點(diǎn)過度集中，刪除加入的新樣本點(diǎn)，否則可以添加新樣本點(diǎn)。

2.3 約束函數(shù)Kriging模型更新判斷方法

約束函數(shù)Kriging模型插值的不確定性可能會(huì)得到不可行的最優(yōu)解，為此，本文引入一種客觀的約束函數(shù)Kriging模型更新策略[13]。約束函數(shù)Kriging模型更新判斷條件如下：

(10)

(11)

2.4 自適應(yīng)約束代理優(yōu)化算法流程

本文提出的自適應(yīng)代理優(yōu)化算法流程包括3個(gè)階段。(1)第1階段確定設(shè)計(jì)空間。使用拉丁超立方抽樣方法得到樣本庫(kù)L，如果初始樣本庫(kù)L中沒有滿足約束條件的樣本點(diǎn)，通過PoF準(zhǔn)則添加1個(gè)可行樣本點(diǎn)。(2)第2階段通過IBS準(zhǔn)則尋找離約束區(qū)域邊界較近的樣本點(diǎn)。受PoF準(zhǔn)則的影響，CPEI準(zhǔn)則更加傾向于在約束區(qū)域的中心區(qū)域取點(diǎn)，對(duì)約束邊界區(qū)域的搜索能力較弱，故通過引入IBS準(zhǔn)則來(lái)增強(qiáng)對(duì)約束邊界的探索。同時(shí)，為了防止CPEI準(zhǔn)則和IBS準(zhǔn)則加入的樣本點(diǎn)過于集中，通過Euclidean距離來(lái)判斷是否刪除新加入的樣本點(diǎn)。兩種加點(diǎn)準(zhǔn)則均使用遺傳算法尋優(yōu)。(3)第3階段在新增樣本點(diǎn)附近，采用信任域法[12]進(jìn)行取點(diǎn)，調(diào)用Kriging代理模型獲得新增樣本點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)的預(yù)測(cè)響應(yīng)值和預(yù)測(cè)誤差，得到各信任域內(nèi)滿足約束函數(shù)Kriging模型更新條件的目標(biāo)函數(shù)最小樣本點(diǎn)，并通過仿真得到所需樣本點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)真實(shí)值，加入樣本庫(kù)L，更新Kriging模型，直到滿足終止條件，輸出最優(yōu)結(jié)果。

圖1 一維函數(shù)Kriging曲線

3 算例分析

3.1 PEI加點(diǎn)準(zhǔn)則的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證PEI加點(diǎn)準(zhǔn)則具有取得EI函數(shù)多個(gè)峰值點(diǎn)的特性，用一維函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。一維函數(shù)如下：

f(x)=(6x-2)2sin(12x-4),x∈[0,1]

(12)

初始采樣點(diǎn)x分別取0.1，0.2，0.3，0.4，0.9，得到一維函數(shù)Kriging模型曲線如圖1所示，P=1和P=2時(shí)的PEI函數(shù)分布情況如圖2所示。

圖2 PEI函數(shù)值分布曲線

從圖2(a)可以看出，當(dāng)P=1時(shí)，PEI函數(shù)與EI函數(shù)表達(dá)式相同，在x=0.14處得到最大峰值；從圖2(b)可以看出，當(dāng)P=2時(shí)，在x=0.63處得到最大峰值，并且和EI函數(shù)的第2個(gè)峰值點(diǎn)十分接近，接近圖1中真實(shí)函數(shù)全局最優(yōu)點(diǎn)。這是因?yàn)楫?dāng)P=2時(shí)，所有PEI函數(shù)值都被放大，而第2個(gè)峰值區(qū)域經(jīng)放大后超過第1個(gè)峰值區(qū)域。綜上分析可知，PEI準(zhǔn)則具有尋找EI函數(shù)多個(gè)峰值近似區(qū)域的能力。

3.2 基于約束代理優(yōu)化算法的函數(shù)優(yōu)化

約束條件下的數(shù)學(xué)算例函數(shù)表達(dá)式為：

(13)

式中，x1,x2∈[0,1]。該函數(shù)的真實(shí)全局最優(yōu)解為x*=[0.195 4,0.404 4]，對(duì)應(yīng)真實(shí)最小值為0.599 8。函數(shù)在較大連通可行域內(nèi)，存在一個(gè)全局最優(yōu)點(diǎn)和多個(gè)局部最優(yōu)解[3]，容易陷入局部最優(yōu)區(qū)域，尋優(yōu)困難。因此，這類函數(shù)需要更多的函數(shù)估值，算法的不同，對(duì)這類函數(shù)的尋優(yōu)影響較大。

圖3 3種優(yōu)化算法的收斂曲線

通過拉丁超立方抽樣得到10個(gè)初始樣本點(diǎn)，分別使用本文算法、CEI單點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則和EI-PoF兩目標(biāo)約束并行加點(diǎn)準(zhǔn)則優(yōu)化算例(13)，一直加點(diǎn)至總樣本數(shù)為60。每種算法分別重復(fù)運(yùn)行20次，得到平均收斂曲線如圖3所示，橫坐標(biāo)為樣本點(diǎn)數(shù)，縱坐標(biāo)為絕對(duì)誤差A(yù)，A=|fmin(x)-freal(x)|，fmin(x)為函數(shù)最小值,freal(x)為真實(shí)最小值。

從圖3中可以看出，本文算法得到的曲線收斂最快，到達(dá)收斂近似區(qū)域所用點(diǎn)數(shù)較小，迭代次數(shù)最少，且優(yōu)化結(jié)果精度最高。

3種優(yōu)化算法的函數(shù)優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 3種優(yōu)化算法的函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

從表1可以看出，和CEI及EI-PoF算法相比，本文算法的迭代次數(shù)分別減少了68.40%和36.80%；達(dá)到收斂所需樣本數(shù)相差不大；絕對(duì)誤差分別減少了48.17%和46.03%；計(jì)算時(shí)間最少，和CEI算法的差別比較明顯。由此可見，本文算法的精度和效率最高。因?yàn)楸疚乃惴ú⑿屑狱c(diǎn)，減少了迭代次數(shù)，效率得到提高；加入CPEI準(zhǔn)則和IBS準(zhǔn)則探索未知點(diǎn)，精度也得到提高，驗(yàn)證了本文算法的可行性和有效性。

4 工程實(shí)例

4.1 港口集裝箱起重機(jī)軌道夾模型

本文主要針對(duì)嚴(yán)重風(fēng)負(fù)載條件下的鉗口型軌道夾進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。軌道夾與軌道直接接觸，使軌道夾與軌道夾緊或分離。文獻(xiàn)[14]確定了對(duì)軌道夾鉗口有重要影響的關(guān)鍵性結(jié)構(gòu)參數(shù)，本文通過Solidworks軟件，得到如圖4、圖5所示的三維模型，將鉗口三維模型導(dǎo)入Ansys軟件進(jìn)行仿真分析，并通過靜力學(xué)分析處理后，得到如圖6所示的鉗口有限元分析圖。

圖5中，變量的初始值設(shè)置為：結(jié)構(gòu)厚度t1=30.0 mm，t2=30.0 mm，t3=30.0 mm，孔中心和曲率中心之間長(zhǎng)度l1=30.0 mm，鉗口的重量w=43.5 kg。圖6中，初始設(shè)計(jì)區(qū)域產(chǎn)生最大應(yīng)力σmax=545 MPa。鉗口材料為42CrMo，屈服極限不低于823 MPa，根據(jù)歐洲起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范安全系數(shù)取為1.5，許用應(yīng)力σa=549 MPa。

圖4 楔形軌道夾三維模型

圖5 軌道夾鉗口三維模型

圖6 鉗口應(yīng)力輪廓圖

4.2 軌道夾的鉗口結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化

4.2.1 優(yōu)化模型

選取t1，t2，t3，l1作為設(shè)計(jì)空間，以鉗口受到的最大應(yīng)力σmax為約束函數(shù)，以鉗口質(zhì)量w為目標(biāo)函數(shù)，得到鉗口結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

minw(t1,t2,t3,l1)

(14)

4.2.2 鉗口結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果

通過拉丁超立方抽樣得到21組樣本點(diǎn)，采用Ansys軟件進(jìn)行仿真分析，部分結(jié)果如表2所示。

表2 21組軌道夾鉗口結(jié)構(gòu)樣本數(shù)據(jù)

利用21組樣本建立軌道夾鉗口質(zhì)量和應(yīng)力的初始Kriging代理模型，分別采用本文算法、CEI算法和EI-PoF算法對(duì)Kriging模型不斷優(yōu)化加點(diǎn)，并及時(shí)更新Kriging模型，優(yōu)化加點(diǎn)后獲得最優(yōu)解如表3所示。

表3 優(yōu)化前后軌道夾鉗口參數(shù)對(duì)比

從表3可以看出，采用本文提出的自適應(yīng)代理優(yōu)化算法對(duì)岸橋軌道夾鉗口進(jìn)行優(yōu)化后，質(zhì)量減少了13.1%，滿足強(qiáng)度約束條件；對(duì)比CEI算法和EI-PoF算法，本文算法的優(yōu)化次數(shù)最少，質(zhì)量最輕，故優(yōu)化效率更高，精度更好。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)岸橋軌道夾優(yōu)化過程中存在的問題，本文提出一種自適應(yīng)約束代理優(yōu)化算法?；贙riging模型，結(jié)合IBS準(zhǔn)則和CPEI準(zhǔn)則，增加了對(duì)可行域邊界的刻畫，使得產(chǎn)生的樣本點(diǎn)精確收斂于約束優(yōu)化問題的真實(shí)最優(yōu)解，有效減少了約束函數(shù)仿真次數(shù)，提高仿真效率；并在滿足強(qiáng)度約束條件下，對(duì)岸橋軌道夾結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，解決了優(yōu)化效率低的問題。但是，本文算法對(duì)復(fù)雜約束函數(shù)下最優(yōu)解的搜索能力有所欠缺，后續(xù)將針對(duì)復(fù)雜約束下的函數(shù)最優(yōu)解問題展開進(jìn)一步研究。