任 磊，郭云飛

(杭州電子科技大學自動化學院，杭州 310018)

0 引 言

隨著高分辨?zhèn)鞲衅骷夹g的飛速發(fā)展，擴展目標跟蹤(Extended Target Tracking，ETT)技術在邊海防監(jiān)控、海事探測、無人駕駛等軍事與民用領域應用日益廣泛。與傳統(tǒng)點目標跟蹤技術相比，ETT框架下的目標回波占據高分辨?zhèn)鞲衅鞯亩鄠€分辨單元，每幀產生多個隨機散射點，利用這些散射點產生的含噪測量，ETT不僅要準確估計目標的運動狀態(tài)(位置、速度等)，還要估計目標的輪廓狀態(tài)(大小、形狀等)[1]。早期的ETT算法包括序貫蒙特卡洛法、隨機矩陣法(Random Matrix, RM)[2]、隨機超曲面模型法(Random Hyper-surface Model, RHM)[3]等。2015年，Wahlstrom等[4]提出一種基于高斯過程(Gaussian Process, GP)的ETT算法。ETT算法運用GP強大的學習能力，對理想環(huán)境下星凸形狀擴展目標的輪廓函數進行在線學習，實現(xiàn)了非橢圓形狀擴展目標的遞推估計[5]?；诟咚惯^程的擴展目標跟蹤(Gaussian Process Extended Target Tracking，GP-ETT)算法在貝葉斯框架下能準確估計星凸形狀目標的輪廓及運動特征，在高分辨?zhèn)鞲衅魈綔y與監(jiān)控領域得到廣泛應用。進一步地，文獻[6-7]提出基于GP的概率數據關聯(lián)(Probabilistic Data Association, PDA) 技術，解決了雜波環(huán)境下星凸形狀擴展目標跟蹤問題，并推廣到多機動擴展目標跟蹤。上述GP-ETT技術中，通常忽略了目標局部坐標系中的角度測量估計的不確定性[8]。當測量誤差較大或目標運動狀態(tài)估計誤差較大時，破壞了GP的預測方差，影響了ETT的跟蹤性能[9]。文獻[8,10-11]從不同角度分析了帶輸入噪聲時GP的均值和協(xié)方差，并將其用于非線性濾波和地球遙感等領域。文獻[12]使用泰勒級數法修正了GP-ETT的模型輸出，但未深入分析輸入不確定性對GP預測協(xié)方差及性能界的影響。為此，本文提出理想環(huán)境下帶輸入噪聲的GP-ETT算法，通過推導得到預測協(xié)方差及狀態(tài)估計的后驗克拉美羅下界(Posterior Cramér-Rao Lower Bound, PCRLB)[13]。

1 高斯過程

1.1 標準高斯過程

GP是一種非參數的隨機過程，本質上是多維高斯分布的擴展。由于GP能夠利用訓練數據對一個未知函數進行建模和學習，廣泛用于信號處理、機器學習等領域[5]。假設待擬合函數如下：

y=f(x)+ε

(1)

式中，x∈Rd為輸入量，y∈R1為輸出量，f(·)為未知函數，觀測噪聲ε服從如下高斯分布：

ε～N(0,σ2)

(2)

給定包含n個訓練數據對的集合D=[X,y]，其中X=[x1,x2,…,xn]，y=[y1,y2,…,yn]分別為訓練輸入集與輸出集，則未知函數f(·)表示為如下高斯過程：

(3)

式中，a(x)和k(x,x′)分別為f(x)的均值函數和協(xié)方差核函數，通常，協(xié)方差核函數k(x,x′)選擇的平方指數(Square Exponential, SE)函數如下：

(4)

式中，σf和l為GP的超參數。在標準高斯過程中，假設測試輸入x*為精確已知量。對于測試輸入x*，其對應的GP預測值的后驗分布為：

(5)

式中，均值μ(x*)及協(xié)方差ν(x*)分別為：

(6)

(7)

1.2 帶輸入噪聲的高斯過程

在實際應用中，高斯過程的測試輸入有時難以準確獲取，存在輸入不確定性。該不確定性可以用輸入噪聲進行建模，假設該噪聲服從如下高斯分布：

(8)

式中，m(x*)與Σ*分別為測試輸入x*的估計均值與方差。式(8)中，含有輸入噪聲的測試輸入x*對應的GP概率分布為：

(9)

大多數情況下，式(9)難以獲得解析解，近似求解的思路主要有數值近似法和泰勒級數法(Taylor Series, TS)。數值近似法可采用Sigma采樣法(Sigma Sampling, SS)和蒙特卡洛采樣法(Monte-Carlo, MC)。本文分別采用Sigma采樣法、MC采樣法和泰勒級數法近似帶噪聲的GP的分布，提出3種基于帶噪聲GP的ETT算法，分別記為GP-TS，GP-SS和GP-MC。

2 基于GP的ETT算法

在傳統(tǒng)目標跟蹤領域中，通常僅關心目標的運動狀態(tài)，如位置、速度、航向角等，目標可用一個“點”來描述。當目標距離傳感器較近或者傳感器分辨率較高時，目標輪廓特征不可忽略，需要描述為“擴展目標”[1]。常用的ETT建模算法包括RM[2]，RHM[3]，GP[4]等。與其它算法相比，GP能夠更加準確地估計目標的形狀特征。

2.1 GP-ETT的動態(tài)模型

(10)

(11)

(12)

考慮到GP輸入θL的周期性，GP的均值函數及協(xié)方差函數建模如下：

(13)

(14)

式中，σf為輪廓徑向函數的標準差；σr為均值半徑的標準差；l為尺度因子。根據GP性質，式(12)可進一步改寫為[4]：

(15)

圖1 菱形目標的徑向函數及其輪廓

GP-ETT的動態(tài)模型可寫為：

(16)

2.2 測量模型

ETT的一個典型特征是一個目標在單幀內包含多個隨機散射點，能產生多個測量。這些散射點可能分布在目標輪廓邊緣，也可能分布在目標輪廓內部[4]。本文旨在討論輸入噪聲對GP-ETT的影響，為了簡便計算，假設散射點分布在輪廓邊緣。

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

3 帶輸入噪聲的GP-ETT算法

3.1 GP的噪聲輸入方差

(25)

(26)

根據式(24)，測量噪聲的方差記為Rk。假設測量在各坐標軸擁有相同的不確定度，即令

(27)

(28)

進而得該矩陣的相似對角陣Psim，

(29)

根據隨機誤差傳遞公式[14]，GP輸入的方差Σβ表示為：

(30)

3.2 泰勒級數法

(31)

其相應的均值和協(xié)方差為[9]：

(32)

(33)

對標準高斯過程的預測均值函數μ(x*)在x*=m(x*)處進行一階泰勒展開，可得：

(34)

(35)

同理，對ν(x*)進行一階泰勒展開，可得：

(36)

忽略其余項，求其均值，可得：

(37)

最后，對μ(x*)進行一階泰勒展開，可得：

(38)

對其求方差，可得：

(39)

所以，運用泰勒級數法可求得帶有噪聲輸入的高斯過程的預測均值函數和協(xié)方差函數，分別為：

(40)

(41)

式中，μ′(m(β))分別為μ(β)關于β的一階偏導在m(β)處的取值，

(42)

其中，

(43)

將(42)代入式(41)，即可得到GP-ETT中帶輸入噪聲的GP預測均值與預測協(xié)方差。

3.3 數值近似法

數值近似法通過采樣點對無法獲得解析解的積分進行近似求解。常用的數值近似法有Sigma采樣法和MC采樣法。

則有輸入噪聲的GP預測均值函數和協(xié)方差函數為：

(44)

(45)

(46)

(47)

從式(41)可以看出，增加一個噪聲項，增加了GP模型的不確定性，所以，帶有噪聲的GP模型的協(xié)方差大于標準GP模型的協(xié)方差。

4 PCRLB

(48)

式中，Jk為Fisher信息矩陣，其遞推表達式為：

(49)

(50)

(51)

(52)

5 仿真實驗及分析

通過一個復雜形狀的擴展目標進行仿真實驗，其目標輪廓及半徑函數如圖2所示。

圖2 目標輪廓及半徑函數

目標作近似勻速直線運動，初始運動狀態(tài)的均值為X0=[10 m,2 m,10 m,2 m,π/4 rad,0 rad/s]T，協(xié)方差為P0=diag{1 m2,0.1 m2/s2,1 m2,0.1 m2/s2,0.1 rad2,0.001 rad2/s2}，目標的輪廓狀態(tài)初值為半徑為1的圓。假設跟蹤期間輪廓時不變，輪廓狀態(tài)轉移矩陣為Ff=IN，其中IN表示N維單位矩陣，過程噪聲Qf=0。傳感器位于坐標原點，測量噪聲標準差為σz=1 m，測量時長為100 s。目標散射點的個數服從泊松分布，泊松參數為λt=0.8。高斯過程的超參數為σr=2，σf=2，l=π/18。Monte Carlo仿真次數為100。

使用基于RM和GP的ETT算法進行仿真，跟蹤效果如圖3所示。

圖3 基于RM和GP的ETT算法的跟蹤效果

從圖3可以看出，在理想環(huán)境下，2種算法均能估計目標的運動狀態(tài)和擴展狀態(tài)?；贕P模型的ETT算法可以對目標輪廓進行精確估計，而RM模型只能利用橢圓對擴展目標大小進行估計，不能精確估計其形狀。

當k=100 s時，分別采用GP, GP-TS, GP-SS, GP-MC算法對目標輪廓進行估計，結果如圖4所示，4種算法的輪廓估計誤差棒圖如圖5所示。

圖4 4種GP算法輪廓估計

圖5 4種算法的輪廓估計誤差棒圖

從圖4可以看出，4種算法都能較好地對目標輪廓進行精確估計。從圖5可以看出，本文提出的帶輸入噪聲的3種GP算法的不確定度區(qū)間對真值覆蓋情況更好，二階估計更加合理。

選擇擴展目標輪廓均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)、PCRLB與馬氏距離(Mahalanobis Distance, MD)等指標來衡量算法的跟蹤性能。4種算法的性能指標如表1所示。

表1 4種算法的性能指標

從表1可以看出，4種算法的RMSE比較接近，其中GP-MC最優(yōu)；帶輸入噪聲的3種GP算法的MD指標更優(yōu)，得到的PCRLB最保守，并且都獲得了最更小的MD。總體看來，相比于標準GP算法，本文提出的帶輸入噪聲的GP算法的估計性能更好。

6 結束語

本文定量分析了輸入噪聲對GP預測結果的影響，提出3種帶輸入噪聲的GP-ETT算法，并推導理想環(huán)境下帶輸入噪聲的GP-ETT的最優(yōu)理論性能界，得到更加合理的二階估計和更加保守的PCRLB。本文進行算法模型設計時，假設的環(huán)境較為理想，比如無雜波理想環(huán)境、目標形狀無形變等，但在實際應用環(huán)境中，難免會有一些偏差。后續(xù)將考慮更多實際因素，進一步優(yōu)化模型，使其更貼近實際應用。