張鈺倩，張?zhí)?，侯雯珊，宋學(xué)力

（長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710064）

傳染病嚴(yán)重威脅人類的生命健康，給人類帶來了重大災(zāi)難。1347—1352 年鼠疫在歐洲流行，致使2 500 多萬人死于非命，死亡人數(shù)為當(dāng)時(shí)歐洲人口的近1/3［1］。1988—2020 年，全球至少出現(xiàn)了30 種突發(fā)性傳染病，如2003 年的SARS、2009 年的甲型H1N1、2013 年的H7N9、2014 年的登革熱和埃博拉病毒（Ebola virus）、2019 年的COVID-19。截至2022 年1 月19 日，全球220 多個(gè)國家和地區(qū)累計(jì)因COVID-19 死亡超過550 萬，并仍在持續(xù)擴(kuò)散?？梢妼?duì)傳染病的防控一直是衛(wèi)生防疫部門關(guān)注的重點(diǎn)之一。

研究發(fā)現(xiàn)，影響疾病傳播的因素很多，如環(huán)境衛(wèi)生狀況、人口密度、媒體報(bào)道、疫苗接種、人口遷移、氣候變化等。在信息化時(shí)代，大眾媒體與傳染病的傳播和控制之間存在復(fù)雜而密切的關(guān)系。每當(dāng)一種疾病暴發(fā)時(shí)，有關(guān)這種疾病的病例數(shù)和死亡人數(shù)等信息通過大眾媒體、電視、報(bào)紙、網(wǎng)絡(luò)等方式告知公眾。據(jù)觀察，這些信息會(huì)令個(gè)人行為發(fā)生變化，引導(dǎo)人們通過采取各種措施，如戴口罩、使用消毒液、保持社交距離等保護(hù)自己，從而減少傳染病的傳播和蔓延。近年來，學(xué)者們從不同角度建立了具有媒體報(bào)道的傳染病模型［2-6］，其中，最基本的具有媒體報(bào)道的SIR 模型為

其中，f(S(t)，I(t)，M(t))=βe-α1E-α2I-α3H為媒體函數(shù)，將其嵌入接觸傳播率或發(fā)生率。CUI 等［7］取f(S(t)，I(t)，M(t))=βe-mI，LI 等［8］取f(S(t)，I(t)，M(t))=β1-β2f(I)，LIU 等［9］認(rèn)為媒體函數(shù)不僅取決于感染人數(shù)，也取決于其變化率［10-12］。這些模型均間接地通過媒體報(bào)道量反映個(gè)體行為改變對(duì)傳染病的影響。YAN 等［13］主要用統(tǒng)計(jì)模型方法，直觀刻畫了媒體報(bào)道對(duì)個(gè)體行為的影響，并將其與傳染病動(dòng)力學(xué)模型耦合。隨后根據(jù)COVID-19 的特點(diǎn)建立了SEIR 類型的傳染病模型［14］，用戴口罩比例函數(shù)e-kp(t)作為媒體函數(shù)嵌入感染強(qiáng)度，以刻畫個(gè)體行為改變對(duì)COVID-19 疫情的影響?？紤]媒體報(bào)道量隨疫情和時(shí)間不斷變化，因此將其視為變量，使得到的數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)情形更接近。近年來，研究者發(fā)現(xiàn)媒體報(bào)道存在時(shí)間滯后現(xiàn)象，因此將時(shí)滯引入具有媒體報(bào)道的傳染病動(dòng)力學(xué)模型，研究結(jié)果不僅呈現(xiàn)了更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，而且擴(kuò)展了時(shí)滯微分方程的應(yīng)用范圍［15-17］。

隨著媒體的持續(xù)報(bào)道，公眾及政府對(duì)傳染病的發(fā)病周期和傳染率等越來越重視。當(dāng)傳染病暴發(fā)時(shí)，國家衛(wèi)健委迅速預(yù)判并采取嚴(yán)格的管控措施，對(duì)患病群體進(jìn)行隔離，以控制傳染源，防止傳染病蔓延擴(kuò)散。通過限制患病群體的活動(dòng)范圍，避免病毒通過患者的分泌物、排泄物、污染物及周圍環(huán)境中的病原體等媒介傳染給正常群體。歷史上隔離措施已被廣泛用于鼠疫、霍亂、麻疹、破傷風(fēng)、狂犬病等人類傳染病和豬瘟等動(dòng)物傳染病的控制，近年也用于手足口病、SARS、禽流感等疾病的控制［18-21］，特別是此次新冠肺炎疫情暴發(fā)，隔離措施得以進(jìn)一步完善，政府及時(shí)采取了精準(zhǔn)的追蹤隔離措施，有效控制了傳染病的傳播［22-25］。上述研究表明，對(duì)大多數(shù)傳染病而言，追蹤隔離是不可忽略的一項(xiàng)因素。

1 模型建立

將某一區(qū)域t時(shí)刻的總?cè)丝跀?shù)N(t)分成易感者S(t)、感染者I(t)、隔離者Q(t)和恢復(fù)者R(t)四類，建立了一類具有媒體效應(yīng)和追蹤隔離的SIQR 時(shí)滯模型。傳染病模型倉室示意圖如圖1 所示。

由圖1，得到時(shí)滯微分方程：

圖1 模型1 倉室示意Fig.1 Compartment diagram of model 1

其中，Λ表示人口的常數(shù)輸入，α表示去過病毒污染場(chǎng)所的易感者的比例，μ表示自然死亡率，η表示感染者的檢測(cè)率，r1，r2分別表示感染者和隔離者的恢復(fù)率，ζ1，ζ2分別表示感染者和隔離者的因病死亡率，τ表示媒體報(bào)道所產(chǎn)生的時(shí)滯。據(jù)文獻(xiàn)［26］，去過病毒污染場(chǎng)所的易感者的追蹤隔離率函數(shù)為

假設(shè)式（2）滿足初始條件：

S(θ)=φ1(θ)，I(θ)=φ2(θ)，θ=[-τ，0]。（3）φ=（φ1，φ2）T∈C，其中C表示全體從[-τ，0]映射到R2+的函數(shù)組成的巴拿赫空間C([-τ，0]，R2+)。設(shè)(S(t)，I(t))為式（2）滿足初值條件式（3）的解，顯然對(duì)任意的t≥0，有S(t)≥0，I(t)≥0。令N1(t)=S(t)+I(t)，由文獻(xiàn)［27］，知式（2）的解具有非負(fù)性，并將式（2）的2 個(gè)方程相加，得到

2 平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

由式（5）的第1 個(gè)方程，得

綜上，當(dāng)R0＞1 時(shí)，存在地方病平衡點(diǎn)E*=(S*，I*)。故式（2）存在無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)。

作為亳文化靈魂的老莊道家文化能有效地指導(dǎo)我們調(diào)試文化建設(shè)中自我身心、物質(zhì)與精神的關(guān)系，有利于提升公民道德文化素質(zhì)。同時(shí)亳文化譯介與國際傳播的重要任務(wù)是大力推進(jìn)地方文化建設(shè)，提高城市文化品位，打造亳州文化城市國際品牌。加強(qiáng)亳文化與其它區(qū)域文化的對(duì)比、對(duì)照、互識(shí)等譯介研究，將會(huì)進(jìn)一步拓展亳文化的精神與文化內(nèi)涵，推進(jìn)亳文化的傳承與創(chuàng)新，服務(wù)于亳州地方文化建設(shè)。

定理1 得證！

注1 研究無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的性態(tài)具有十分重要的意義。無病平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)疾病的消亡狀態(tài)，而地方病平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)疾病最終在人群中長(zhǎng)期存在，成為一種地方病的狀態(tài)。因此，研究平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，對(duì)了解疾病的最終發(fā)展趨勢(shì)具有重要的理論意義。

定理2 當(dāng)R0＜1 時(shí)，對(duì)任意的τ≥0，無病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0＞1 時(shí)，E0不穩(wěn)定。

證明 將式（2）線性化，可得其在E0處的特征方程為

定理3 當(dāng)R0＜1 時(shí)，對(duì)任意的τ≥0，式（2）的無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定。當(dāng)R0＜1 時(shí)，由LaSalle不變集原理，得式（2）的無病平衡點(diǎn)E0全局吸引，結(jié)合定理2，可得E0全局漸近穩(wěn)定。

注2 局部穩(wěn)定性只能描述當(dāng)初始值落在平衡點(diǎn)附近時(shí)疾病是滅絕還是持續(xù)存在，而全局穩(wěn)定性則可將系統(tǒng)的初始值擴(kuò)充至在更大范圍內(nèi)變化時(shí)，研究疾病的最終狀態(tài)。

定理4 當(dāng)R0＞1 時(shí)，若τ=0，則地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。

證明 線性化式（2），可得其在E*處的特征方程為所以式（7）的根均有負(fù)實(shí)部。故當(dāng)τ=0 時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。

當(dāng)τ＞0 時(shí)，隨著τ的不斷增大，地方病平衡點(diǎn)失去平衡，產(chǎn)生Hopf 分支。

3 地方病平衡點(diǎn)的Hopf 分支

4 疾病的持久性

5 數(shù)值模擬

取初始值(S，I)=(1.5，0.5)，θ∈[-τ，0]，參數(shù)Λ=0.4，α=0.1，β1=0.5，β2=0.9，β0=0.45，β00=0.85，δ=0.075，μ=0.2，η=0.000 3，r1=0.1，ξ1=0.000 2，σ=200，計(jì)算得到基本再生數(shù)R0=3.594 0 ＞1，地方病平衡點(diǎn)E*=(1.683 0，0.210 8)，取k=0，經(jīng)計(jì)算可得，ω0=0.161 1，τ0=11.696 0。因此當(dāng)取τ=10.5 ＜τ0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定（圖2 和圖3），且p21-4p2=0.003 6，滿足式（11）條件（i）或（ii），與定理5 一致。隨著τ的增大，當(dāng)取τ=12.5 ＞τ0時(shí)，觀察到系統(tǒng)在地方病平衡點(diǎn)E*附近出現(xiàn)了分支周期解，如圖4 和圖5 所示。

圖2 當(dāng)τ=10.5 時(shí)地方病平衡點(diǎn)E*=(1.683 0，0.210 8)局部漸近穩(wěn)定Fig.2 The endemic equilibrium E*=(1.683 0，0.210 8)is locally asymptotically stable when τ=10.5

圖3 當(dāng)τ=10.5 時(shí)E*局部漸近穩(wěn)定的相位圖Fig.3 Phase diagram of local asymptotically stable E*when τ=10.5

圖4 當(dāng)τ=12.5 時(shí)式（2）出現(xiàn)分支周期解Fig.4 The branching periodic solution of system（2）appears when τ=12.5

圖5 當(dāng)τ=12.5 時(shí)E*的相位圖Fig.5 Phase diagram of E* when τ=12.5

為更清楚地觀察τ變化對(duì)式（2）的影響，繪制了易感者和感染者關(guān)于τ的分支圖（圖6）。由圖6 可知，起初正平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，當(dāng)τ大于臨界值τ0時(shí)，出現(xiàn)了周期解，這與定理5 一致，說明時(shí)滯導(dǎo)致地方病平衡點(diǎn)失穩(wěn)，產(chǎn)生周期性振蕩。

圖6 式（2）中易感者和感染者相對(duì)于τ 的分支圖Fig.6 Branching diagram of susceptible τ and infected persons relative to in system（2）

為研究媒體報(bào)道對(duì)系統(tǒng)的影響，固定τ=20，繪制以δ為分支參數(shù)的分支情況（圖7）。由圖7 可知，當(dāng)δ增大時(shí)，式（2）從周期性振蕩逐漸向平衡點(diǎn)靠近；系統(tǒng)越靠近平衡點(diǎn)，δ越大，媒體未對(duì)傳染病信息及時(shí)報(bào)道，感染者數(shù)量隨δ的增大而增多，由于總?cè)藬?shù)不變，易感者人數(shù)隨δ的增大而減少。

圖7 式（2）中易感者和感染者相對(duì)于δ 的分支圖Fig.7 Branching diagram of susceptible δ and infected persons relative to in system（2）

同時(shí)，β0和β00表示媒體影響可達(dá)到的對(duì)有效接觸率的最大抵消作用，反映媒體報(bào)道對(duì)有效接觸率的影響。固定τ=20，繪制以β0和β00為參數(shù)的分支圖，如圖8 所示。

由圖8 可知，當(dāng)β0和β00增大時(shí)，式（2）由平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)為周期性振蕩。當(dāng)系統(tǒng)趨于平衡狀態(tài)時(shí)，隨著β0和β00的增大，媒體影響因子對(duì)有效接觸率的抵消作用增強(qiáng)，有效接觸率變小，使易感者不易接觸感染者，感染者數(shù)量減少。由于總?cè)藬?shù)不變，易感者數(shù)量隨β0和β00的增大而增多。固定τ=10.5，研究媒體影響因子β0，β00，δ以及追蹤隔離影響因子σ的變化對(duì)感染者數(shù)量的影響，如圖9～圖12 所示。

圖8 式（2）中易感者和感染者相對(duì)于β0 和β00 的分支圖Fig.8 Branching diagram of susceptible and infected persons relative to β0 and β00 in system（2）

由圖9 和圖10 可知，媒體報(bào)道可大大削弱疾病的傳播。由圖11 知，δ越小感染者數(shù)量越少，說明媒體通過對(duì)傳染病信息的廣泛報(bào)道可減少疾病的傳播，從而減少感染數(shù)量。由圖12 知，σ越小感染者數(shù)量越少，說明通過提高媒體報(bào)道中相關(guān)信息的準(zhǔn)確率，可提高感染者的追蹤隔離率，從而減少感染者數(shù)量，有效控制疾病的爆發(fā)。

圖9 參數(shù)β0 對(duì)I(t)的影響Fig.9 The influence of parameter β0 on I(t)

圖10 參數(shù)β00 對(duì)I(t)的影響Fig.10 The influence of parameter β00 on I(t)

圖11 參數(shù)δ 對(duì)I(t)的影響Fig.11 The influence of parameter δ on I(t)

圖12 參數(shù)σ 對(duì)I(t)的影響Fig.12 The influence of parameter σ on I(t)

6 結(jié) 論

為研究因媒體報(bào)道的延遲所產(chǎn)生的時(shí)滯對(duì)疾病發(fā)展的影響，建立了一類具有媒體效應(yīng)且存在追蹤隔離的SIQR 時(shí)滯模型，研究了式（2）各個(gè)平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，討論了Hopf 分支的存在條件。數(shù)值模擬顯示，當(dāng)τ較小時(shí)，地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，隨著時(shí)滯τ的增大，式（2）出現(xiàn)分支周期解，與定理5 一致；隨著τ的增大，模型變得不穩(wěn)定，出現(xiàn)周期性振蕩，而固定τ、減小β0和β00、增大δ，會(huì)使感染者數(shù)量增加。此外，對(duì)影響因子β0，β00，δ和σ進(jìn)行了敏感性分析，得到采取媒體報(bào)道和追蹤隔離措施可有效控制傳染病的蔓延。

若對(duì)人群進(jìn)行更細(xì)致的劃分，模型將能更真實(shí)地反映疾病在現(xiàn)實(shí)復(fù)雜社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的傳播情況。后續(xù)工作可考慮建立復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的傳染病模型。另外，媒體報(bào)道對(duì)疾病控制的影響很大，可考慮將媒體報(bào)道的信息量作為獨(dú)立倉室，更嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致地研究媒體報(bào)道與感染者的關(guān)系，這將是很有意義的。