蔣敏杰

【背景】

在數學教學中開展數學實驗，是指引導學生借助一定的物化工具，在實驗目的的引領下進行規(guī)范的實驗操作，并通過數學化分析理解數學概念、探索數學規(guī)律、驗證數學猜想、解決數學問題的一種數學學習方式。數學實驗活動有助于激活學生的學習興趣，促進學生數學地思考、理解并解決問題。

蘇教版六上《表面涂色的正方體》一課，是學生認識了長方體和正方體的基本特征，會進行體積計算后安排的一次“探索規(guī)律”活動課，旨在通過引導學生經歷探索規(guī)律的活動，使其產生對數學規(guī)律的興趣，初步形成探索規(guī)律的意識。筆者發(fā)現，學生雖經歷了探索規(guī)律的過程，但思維仍處于“接受”狀態(tài)，且歸納概括時常常束手無策。筆者分析得知，這主要是因為學生思維的深刻性、廣度不夠，空間想象缺乏支撐，認知不夠靈活，不能通過觀察、想象等進行形式化類推；教師則更多關注學生是否能概括出3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色、沒有涂色的小正方體個數的規(guī)律，而對于如何觀察、想象、說理、建立數學規(guī)律與圖形特征的內在關聯等缺少引領性指導。本文以《表面涂色的正方體》一課的教學為例，以數學實驗引導學生觀察、想象、實驗，展開規(guī)律探索，促進學生積累由特殊到一般、由具體到抽象探索簡單數學規(guī)律的經驗，發(fā)展數學思維能力和空間觀念。

【教學過程及分析】

一、提出問題，激活思維

師（出示正方體模型）：這是一個正方體，如果把這個正方體的表面涂上紅色，涂紅色的面一共有幾個？為什么？

師（課件演示）：將這個表面涂色的正方體的每條棱都平均分成10 份。像這樣切開，可以切成多少個小正方體？

生：大正方體被切成了1000 個一樣大的小正方體。

師：請同學們想象一下，這1000 個小正方體，是不是都是6個面被涂上了紅色？

生1：肯定不是，切開后的小正方體，有的是3 個面涂紅色，有的是2 個面涂紅色，有的是1個面涂紅色。

生2：不可能有6個面涂紅的，因為切開后，里面是沒有涂紅色的。

師：那會不會出現4個面、5個面涂紅色的？

生1：也不會有。我覺得最多只有3個面涂成紅色。只能在頂點這個地方，其他地方是2個面、1個面涂紅色。

生2：還可以有一些小正方體沒有涂紅色。因為它在大正方體里面。

師：將一個大正方體像這樣把每條棱平均分成10 份，切成1000 個同樣大的小正方體，這些小正方體的表面可能有3面涂色、2面涂色、1面涂色，也可能沒有涂色。

師：每一種類型的小正方體各有多少個呢？它們的個數與什么有關呢？這里面還藏著好多有意義的數學問題呢？今天，我們就一起來研究像這樣的“表面涂色的正方體”。（揭示課題）

上述教學中，教師首先激發(fā)學生探索的需求；其次啟發(fā)學生初步借助直觀想象和推理等方式，明確了要觀察和思考的對象，認識到涂色小正方體有不同類型；最后借助復雜問題解決，再次激發(fā)學生探索規(guī)律的心理需求。這樣組織教學，不僅使學生明確了研究的問題與思考的方向，也鍛煉了他們初步的空間想象能力，為后續(xù)實驗的設計與實施提供了支持。

二、實驗探索，初識規(guī)律

師：在數學中，為了便于研究、發(fā)現規(guī)律，一般從簡單的情況開始研究。我們先來研究可見的三類涂色正方體，沒有涂色的稍后研究。

師（提供棱長為2 厘米、3 厘米、4 厘米的正方體各1 個，把它們切成棱長為1 厘米的小正方體）：仔細觀察，它們的每條棱分別被平均分成了多少份？并想一想，切開后各有多少個小正方體，3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的小正方體分別在這些大正方體的哪個位置，有多少個？四人小組議一議。

生1：這個（棱長為2）切開后有8 個小正方體，它們都是3個面涂色。

生2：這個（棱長為3）切開后有27個小正方體，3 個面涂色的在頂點的地方；2 個面涂色的在棱中間；1個面涂色的在面上，一共有6個。

生3：這個（棱長為4）切開后有4×4×4=64（個）小正方體，3 個面涂色的有8 個，在頂點的地方；2個面涂色的在棱中間，一條棱上有2個，一共有24個；1個面涂色的在面上，一個面上有4個，一共有24個。

師：各類涂色小正方體的個數與什么有關？在什么位置？又有什么規(guī)律呢？這就需要我們做實驗，通過數據來說明與發(fā)現。

師：你打算怎樣做這個實驗，發(fā)現規(guī)律呢？

生：把正方體沿著均分線切開，分別數一數各類小正方體的個數，看一看它們的位置在哪里、有什么特點。

呈現實驗探究單（如圖1）。

圖1 《表面涂色的正方體》實驗探究單

生自主開展實驗，小組內交流獲得初步結論。

師：通過剛才的實驗，同學們獲得了數據，完成了表格，誰能告訴老師，你有怎樣的發(fā)現？請同學們來交流。

第一層次：發(fā)現3面涂色的規(guī)律

生：我們發(fā)現，無論每條棱均分的份數怎樣變，3面涂色的小正方體都是8個。

師：你能結合圖形特征說說理由嗎？

生：3 面涂色的小正方體都處于大正方體的頂點位置，3 條棱相交于頂點，這樣就有3 個面相鄰，正方體有8 個頂點，所以無論怎樣切，3個面涂色的都只有8個。

師：是的，頂點連接3 條棱，與3 個面有關，這就是3面涂色的小正方體只有8個的原因。

第二層次：發(fā)現2面涂色的規(guī)律

生（上臺指）：2 面涂色的小正方體分別是0個、12 個、24 個。因為棱2 等分時，都是3 面涂色的，所以2 面涂色的沒有。棱3 等分時，每條棱上有1 個，這樣12 條棱上就有12 個。4 等分時，每條棱上有2個，這樣12條棱上就有24個。

師：這樣看來，等分得越多，2 面涂色的小正方體就越多。那么，為什么棱3 等分后，每條棱上只有1個2面涂色的小正方體呢？

生：我們來看，棱3 等分后，每條棱上頭和尾的小正方體都在頂點上，是3 個面涂色的，去掉這2 個，剩下的就是2 面涂色的，這樣就只有中間的1個小正方體是2個面涂色的。

師（課件直觀呈現）：大正方體的棱幾等分，每條棱上就有幾個小正方體；兩端的小正方體連接3 個面，是3 面涂色的；棱上的這些連接2個面，自然切開后是2 面涂色的。所以，這個1我們還可以寫成（3-2）。

生：這樣就可以是（3-2）×12=12（個）。

師：棱4等分呢？

生：（4-2）×12=24（個）。

師：也就是說，2 面涂色小正方體的個數是幾的倍數？（12）

第三層次：發(fā)現1面涂色的規(guī)律

生：1 面涂色小正方體的個數都是6 的倍數。因為每個面上的個數是一樣多的。

師：結合數據與圖形，誰來具體說說？

生：1 個面涂色的小正方體在每個面的中間。比如這個（3 等分），每個面上有1 個，一共有1×6=6（個）；這個（4 等分）是每個面上有4個，一共有4×6=24（個）。

師：你的發(fā)現很直觀。還有什么想說的嗎？

生：棱3等分時，面上是1個正方形（學生從平面上理解，實際表示的是正方體），可以寫成1×1，棱4等分時，面上是4個正方形，可以寫成2×2。

師：結合圖形特征，“1×1”“2×2”與原來正方體的棱長有什么關系？

生：可以這樣看，去掉頭和尾，剩下的正好是一個正方形。1就是（3-2），2就是（4-2）。

師：是的。（課件呈現直觀圖）這樣看，就發(fā)現了1個面涂色的規(guī)律。

師：同學們剛才通過做實驗、觀察圖形、記錄數據，發(fā)現了3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方體的位置，以及它們的個數與棱長的關系。請大家結合圖和表，再把我們的發(fā)現在小組內說一說。

本環(huán)節(jié)教學，重在引導學生通過數學實驗的設計、實施與分析，結合獲得的數據、圖形的特征、不同類型小正方體的位置特點等，進行基于事實的數學說理分析。教師并不急于讓學生獲得規(guī)律，而是將更多時間留給學生，引導學生從數據變化中發(fā)現規(guī)律，并與圖形特征進行關聯，使學生認識到頂點處連接3 個面，切開后3面涂色的小正方體只有8 個；每條棱連接2 個面，2面涂色的小正方體在棱上，數量是12的倍數；1 面涂色的小正方體在面上，數量是6 的倍數。實驗成為學生探索規(guī)律的重要方式，一方面理解實驗對象，進行實驗設計，另一方面結合空間想象與邏輯推理，對數據進行數學化分析。在分析數學實驗的過程中，教師主要引導學生在數與形之間建立關聯，促進他們展開深度思考，提高探索規(guī)律的能力。

三、應用驗證，抽象表征

1.遷移研究棱5等分的情況。

師（出示棱5等分的正方體）：帶著剛才的發(fā)現，我們一起來研究棱5等分的情況。思考一下，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體分別在什么位置？有多少個？能用算式表達出來嗎？

生1：3面涂色的在頂點上，有8個。

生2：2 面涂色的在棱上，有（5-2）×12=36（個）。

師：請解釋一下這個算式的意思。

生：每條棱上去掉頂點上3 面涂色的2 個，中間就是2面涂色的小正方體。12表示正方體有12條棱。

師：1個面涂色的呢？誰能完整地表達？

生：1個面涂色的在面上，每個面上有5-2=3（個），3×3=9（個），所以一共有9×6=54（個）。

師：都同意嗎？（課件直接演示）確實如同學們所想所說。同學們現在不僅能依據圖形特征進行思考，而且能通過推理應用規(guī)律了。

2.歸納概括規(guī)律。

師：現在可以解決一開始的問題了，正方體的棱10 等分，請快速思考一下，先想到在哪個位置，再將個數計算出來。

生：3 面涂色8 個；2 面涂色（10-2）×12=96（個）；1面涂色（10-2）×（10-2）×6=384（個）。

師：如果涂色正方體的每條棱都平均分成n份，切成若干個同樣大小的小正方體，那么，切成的小正方體一共有多少個？其中，3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的小正方體各有多少個？先獨立思考，再在小組內交流，之后全班交流。

生1：切成的小正方體有n×n×n=n3（個）。

生2：3 面涂色的有8 個；2 面涂色的有（n-2）×12（個）；1面涂色的有（n-2）×（n-2）×6（個）。

生3：1面涂色的還可以寫成（n-2）2×6（個）。

師：用含有字母的式子可以概括地表達我們發(fā)現的規(guī)律。（n-2）×12是什么意思？

生：棱被n等分，2 面涂色的小正方體在棱上，每條棱上有（n-2）個，一共有12 條棱，所以是（n-2）×12個。

師：那（n-2）2×6呢？

…………

師：同學們，我們從簡單問題入手，在數學實驗中觀察、想象、分析數據，并結合圖形的特征發(fā)現了數學規(guī)律?；仡櫶剿骱桶l(fā)現規(guī)律的過程，你有哪些體會？

實驗獲得的結論需要具有可重復性。在學生通過棱2、3、4 等分初步發(fā)現了“表面涂色的正方體”中蘊含的規(guī)律后，引導他們對棱5 等分的情況進行實驗數據驗證，使規(guī)律更加可靠。用含有字母的式子歸納發(fā)現的規(guī)律也是本課的難點。讓學生用字母進行簡單替換不難理解，教師將重心放在引導學生解釋說理上，并通過直觀圖示幫助學生進一步從具體的數量過渡到抽象的符號，不僅使學生的抽象表達更加自然，也使他們認識到規(guī)律需要從數據變化和圖形特征中提煉，促進了其探索規(guī)律能力的形成。

四、深度學習，拓展思維

師：這些小正方體中還有一類——無涂色的小正方體，這些小正方體在大正方體的什么位置？個數可以怎樣計算？你打算怎樣研究？

…………

師：還是要回歸數據，這次的想象更加困難了。（課件演示棱3 等分的情況，觀察到只有1個）你有什么想說的？

…………

師：它們都在大正方體的正中間，我們可以通過實驗，把這些沒有涂色的小正方體找出來。先想象再看演示，并將數據記錄在表格中。你有什么發(fā)現？

生：我發(fā)現個數可以是（n-2）3，比如1×1×1=13，2×2×2=23，3×3×3=33。

師：你能試著解釋嗎？

…………

師：今天，我們研究了表面涂色的正方體。同學們如果感興趣，還可以像這樣來研究研究表面涂色的長方體，看看它有怎樣的規(guī)律，與正方體有什么相同的地方與不同的地方。

課尾將重心放在沒有涂色的小正方體的個數上，由于空間想象要求較高，因而教學中通過呈現直觀圖示，幫助學生主動遷移。最后提出研究長方體中涂色情況的話題，豐富研究對象，激發(fā)學生后續(xù)研究的興趣。

綜上所述，開展“探索規(guī)律”活動有助于改進學生的學習方式，培養(yǎng)學生發(fā)現、提出、分析和解決問題的意識和能力，使學生初步學會從數學的角度觀察與分析客觀現實，提升數學素養(yǎng)。數學實驗引導學生圍繞問題，在觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證等活動中學習，能極大地豐富學生探究的視角與方式。在本課教學中，數學實驗建立在學生對不同類型小正方體有直觀感知、形成初步認識的基礎上，是對個人思考的驗證與再發(fā)現。課始，在學生觀察、猜測后，教師指出需要做實驗，通過數據來說明與發(fā)現。接著以想一想位置、猜一猜個數、切一切方塊、數一數個數、記一記數據的實驗設計，有梯度地引導學生經歷基于思考的結論驗證、發(fā)現過程。在觀察、想象、操作、分析等探索的關鍵環(huán)節(jié)，教師有針對性地引導學生展開相應的探索活動，形象、直觀地把握3面、2面、1面涂色小正方體的位置、個數與圖形特征間的聯系，把不易理解、無法看見的數學知識轉變成直觀表象，進而促進學生開展高質量的數學思考。在實驗過程中，教師注重引導學生基于對圖形的觀察和得到的數據進行說理，通過問題驅動引發(fā)學生從現象走向數學實質，促進學生獲得分析和解決問題的基本方法，提升其探索規(guī)律的能力。