徐建忠

1四川省水利水電勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司測繪分院，四川成都，610500

根據(jù)《水利水電工程測量規(guī)范》SL197-2013，在大、中型工程測量中，控制網(wǎng)平面坐標(biāo)系統(tǒng)應(yīng)采用現(xiàn)行國家2000坐標(biāo)系統(tǒng)，或與其相聯(lián)系的獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)，主要目的是確保測量資源不浪費(fèi)。國家2000坐標(biāo)系統(tǒng)采用高斯-克呂格正形投影（簡稱高斯投影），即先由高程面投影到參考橢球面，再由參考橢球面投影到高斯平面，而高程面則投影到大地水準(zhǔn)面上。高斯投影將中央經(jīng)線投影為直線，其長度沒有變形，與球面實(shí)際長度相等，其余經(jīng)線為向極點(diǎn)收斂的弧線，距中央經(jīng)線愈遠(yuǎn)，變形愈大。而規(guī)范規(guī)定［1］，測區(qū)長度投影變形值不大于5 cm/km（即相對誤差為1/20 000）。對于東西走向、高差大的工程，國內(nèi)外文獻(xiàn)介紹得比較少，由于本工程處于水系發(fā)達(dá)的四川，工程投影只采用單一的抵償高程面或移動中央子午線都無法使長度投影變形滿足規(guī)范要求，為了本工程控制網(wǎng)的邊長變形能滿足大比例地形圖的施測，當(dāng)邊長的綜合變形較大而不能滿足相應(yīng)要求時(shí)，可采用抵償高程面和移動中央子午線的方法來改善測區(qū)內(nèi)邊長經(jīng)投影后的綜合變形［2，3］。根據(jù)工程的特點(diǎn)和要求，建立測區(qū)的獨(dú)立坐標(biāo)系，而獨(dú)立坐標(biāo)系的建立，關(guān)鍵在于合理地選擇投影帶和投影面。由于引大濟(jì)岷工程線路比較長，東西走向高差大，所以需采取分段投影方式進(jìn)行平差計(jì)算［4］。

1 引大濟(jì)岷工程抵償投影面和投影帶

1.1 工程概況

引大濟(jì)岷工程指四川省引調(diào)大渡河、青衣江水至岷江流域，解決成都天府新區(qū)水資源短缺的特大型跨區(qū)域調(diào)水工程。大渡河瀘定電站為取水口，途徑青衣江引入岷江成都段。引大濟(jì)岷工程長達(dá)200 km，途經(jīng)山區(qū)，再到成都平原，高程由1 500 m降至成都平原500 m左右，高程差達(dá)到1 000 m。為了解決任意帶高斯正形投影和高程面投影到參考橢球面的變形，從平原區(qū)向山區(qū)（乃至高原地區(qū)）延伸，測區(qū)高程面由500 m增加到1 500 m，由于高程面的不同所產(chǎn)生的長度變形對引大濟(jì)岷工程的影響是必須解決的問題。

1.2 引大濟(jì)岷工程國家1∶10 000地形圖換帶的確定

中國版圖的經(jīng)度范圍約為東經(jīng)73°30′～135°03′，可分成11個(gè)6°帶或22個(gè)3°帶，6°帶可用于中小比例尺（1∶25 000以下）測圖，3°帶可 用于大比 例尺（如1∶10 000）測圖［5］。分帶圖如圖1所示。

圖1 分帶劃分圖Fig.1 Zone Division Diagram

換帶原因：為了限制高斯投影的長度變形，以中央子午線進(jìn)行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)，使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成獨(dú)立帶的坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的控制點(diǎn)坐標(biāo)，工程測量中要求采用6°帶、3°帶或任意帶，因?yàn)閲铱刂泣c(diǎn)通常只有6°帶坐標(biāo)，需要時(shí)要將6°帶坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為3°帶坐標(biāo)。高斯投影的特點(diǎn)：離中央子午線愈遠(yuǎn)，長度變形愈大［6，7］。如圖2所示。

圖2 高斯投影Fig.2 Gauss Projection

引大濟(jì)岷工程的地理位置范圍為北緯29°56′～30°47′、東經(jīng)102°12′～104°09′。在國家1∶10 000地形圖中共跨兩個(gè)投影帶：102°帶和105°帶。引大濟(jì)岷工程是一個(gè)整體，必須對國家1∶10 000地形圖進(jìn)行換帶，為了減小高斯投影變形對地形圖的影響，應(yīng)對102°帶和105°帶投影變形對地形圖影響的大小進(jìn)行確認(rèn)。

引大濟(jì)岷工程共布設(shè)三等GPS平面控制點(diǎn)34個(gè)點(diǎn)（編號為YD01～YD34），GPS控制點(diǎn)成果為2000國家大地坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)（6°帶），中央子午線經(jīng)度為105°（18帶）。高斯投影為正形投影，實(shí)際上僅有長度變形誤差，也即橢球面上的長度投影到高斯平面上的變形，離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。測區(qū)GPS控制網(wǎng)西邊緣距中央子午線105°最大值為Ymax=270 km，西邊緣距中央子午線最小值為Ymin=111 km，依據(jù)公式ΔL=Ym2/2R2可以求得：ΔLmax=0.899 m/km，ΔLmin=0.152 m/km（取R=6 368 km）?？刂泣c(diǎn)成果要轉(zhuǎn)為2000國家大地坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)（3°帶），中央子午線經(jīng)度為102°（34°帶），GPS控制網(wǎng)東邊緣距中央子午線102°最大值Ymax=176 km，西邊緣距中央子午線最小值為Ymin=21 km，依據(jù)公式ΔL=Ym2/2R2可以求得：ΔLmax=0.382 m/km，ΔLmin=0.0 054 m/km（Ym為西邊緣距中央子午線橫坐標(biāo)差、R為測區(qū)所在參考橢球曲率半徑，取R=6 368 km）。102°帶變形明顯小于105°帶的變形。為了減小高斯投影的變形，原坐標(biāo)GPS控制點(diǎn)成果進(jìn)行原中央子午線經(jīng)度到現(xiàn)中央子午線經(jīng)度換帶計(jì)算，再通過CASS9.1軟件換帶已有國家地形圖到102°帶。

1.3 高斯投影長度的綜合變形及其容許數(shù)值

如圖3所示，實(shí)測邊長水平距離歸化到測區(qū)參考橢球面上的改正數(shù)為［8］：

圖3 邊長歸化Fig.3 Side Length Normalization

式中，RH為測區(qū)所在橢球曲率半徑（取6 368 km）；H為長度所在高程面對于橢球面的高差；SH為實(shí)地測量的長度平距。

參考橢球面上的長度投影至高斯平面的改正數(shù)為［9］：

式中，Ym為邊長兩端離測區(qū)中央子午線的橫坐標(biāo)差（以測段起點(diǎn)為原點(diǎn)）；S為高斯平面上的邊長（取S≈SH）；R為測區(qū)所在參考橢球曲率半徑（取R=6 368 km）。

可得長度綜合變形為：

H（m）與Y（km）關(guān)系如圖4所示。圖4中適應(yīng)區(qū)表示長度綜合變形能滿足規(guī)范要求，不適應(yīng)區(qū)表示長度綜合變形不能滿足規(guī)范要求。

圖4 綜合變形適應(yīng)圖Fig.4 Comprehensive Deformation Adaptation Diagram

2 分段投影抵償高程面及中央子午線的選擇

引大濟(jì)岷工程平均高程面為800 m左右，須求取抵償高程面和中央子午線的適用范圍，以滿足測區(qū)長度投影變形值不大于5 cm/km（即相對誤差為1/20 000）的規(guī)范要求。在確定引大濟(jì)岷工程高程抵償投影面的過程中，為了使高程抵償投影面盡量接近測區(qū)工程面，根據(jù)GPS控制坐標(biāo)分布，如圖5所示，東西走向，高差起伏較大，為了使高程抵償投影面盡量接近測區(qū)工程面，通過測區(qū)高差和兩端離測區(qū)中央子午線橫坐標(biāo)差分析確定分為3段投影，如果分段投影過多，會導(dǎo)致施工過程中對不同帶的坐標(biāo)進(jìn)行頻繁轉(zhuǎn)換，不方便施工，利用抵償投影高程面和移動中央子午線來抵償兩項(xiàng)改正變形，即為高程抵償面的任意帶高斯正形投影［10，11］。

農(nóng)夫山泉有點(diǎn)甜——論韓少功《山南水北》中的鄉(xiāng)土?xí)鴮?…………………………………………………………… 甘林全（4/70）

圖5 GPS控制網(wǎng)圖Fig.5 GPS Control Network Diagram

2.1 根據(jù)分段測區(qū)平均高程確定抵償投影高程面

抵償投影高程面的選擇分為以下幾段，如表1所示。

表1 引大濟(jì)岷工程分段抵償投影高程面分段表Tab.1 The Segmentation of Yindajimin Project Offsets the Projection Elevation Face Segment Table

1）YD01～YD08：平均高程為1 248 m，抵償投影高程面取值測區(qū)平均高程附近值1 200 m，則高程面投影變形系數(shù)為：

β=-HΔ/RH

β最高點(diǎn)=-（1 507.7-1 200）/6 368 000=-1/20 695

β最低點(diǎn)=-（978-1 200）/6 368 000=1/28 684

由此可知所取高程面投影變形系數(shù)絕對值都小于1/20 000，說明YD01～YD08高程抵償面的選擇合理。

2）YD07～YD14：平均高程為844 m，抵償投影高程面取值測區(qū)平均高程附近值850 m，則高程面投影變形系數(shù)為：

β=-HΔ/RH

β最高點(diǎn)=-（1 127-850）/6 368 000=-1/22 989

同理可知所取高程面投影變形系數(shù)絕對值都小于1/20 000，說明YD07～YD14高程抵償面的選擇合理。

3）YD13～YD34：平均高程為554 m，抵償投影高程面取值測區(qū)平均高程附近值550 m，則高程面投影變形系數(shù)為：

β=-HΔ/RH

β最高點(diǎn)=-（709-550）/6 368 000=-1/40 050

β最低點(diǎn)=-（484-550）/6 368 000=1/96 484

同理可知，所取高程面投影變形系數(shù)絕對值都小于1/20 000，說明YD13～YD34高程抵償面的選擇合理。

2.2 分段獨(dú)立坐標(biāo)系投影改正及中央子午線的確定

分段測區(qū)高程抵償面保持不變，不同投影帶是因?yàn)檫x擇了不同經(jīng)度的中央子午線的原因，如果合理選擇中央子午線的位置，使測區(qū)邊長投影到某一投影帶所產(chǎn)生的變形，恰好抵償這一長度投影到抵償高程面所產(chǎn)生的變形，這種能抵償長度變形的投影帶為“抵償投影帶”［12］。

根據(jù)長度綜合變形式（3）和投影綜合改正相對誤差δ/S≤1/20 000，確定中央子午線點(diǎn)位橫坐標(biāo)西面與起點(diǎn)橫坐標(biāo)的差值，得到移動中央子午線橫坐標(biāo)，根據(jù)高斯投影坐標(biāo)反算公式可由（x，y）推出（B，L），見式（5），須滿足以下3個(gè)條件（見圖6）：①x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸；②x坐標(biāo)軸投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。

圖6 高斯投影Fig.6 Gaussian Projection

式中，Bf為反算坐標(biāo)點(diǎn)垂足緯度。高斯投影坐標(biāo)反算計(jì)算過程比較復(fù)雜，可以通過Excel編程計(jì)算求得，在此不作具體闡述。本文中引大濟(jì)岷工程的中央子午線經(jīng)度計(jì)算采用華測CGO軟件，通過坐標(biāo)平移后計(jì)算求得，各段中央子午線的確定分別如表2、表3、表4所示。

表2 YD01～YD08中央子午線確定表Tab.2 YD01～YD08 Central Meridian Determination Table

表3 YD07～YD14中央子午線確定表Tab.3 YD07～YD14 Central Meridian Determination Table

表4 YD13～YD34中央子午線確定表Tab.4 YD13～YD34 Central Meridian Determination Table

3 測區(qū)實(shí)測邊長與獨(dú)立坐標(biāo)系平差邊長比較

由于引大濟(jì)岷工程GPS控制點(diǎn)作為首級網(wǎng)，GPS控制點(diǎn)彼此不通視，無法利用全站儀觀測邊對平差邊長進(jìn)行檢驗(yàn)，因此下面采用兩種全站儀近似邊長對平差邊長進(jìn)行檢校，如表5～表10所示。

表5 YD01～YD08測區(qū)測點(diǎn)高斯邊長投影到邊長平均高程面對比Tab.5 YD01～YD08 Survey Point Gauss Side Length Projection to Side Length Average Elevation Comparison

表6 YD08～YD14測區(qū)測點(diǎn)高斯邊長投影到邊長平均高程面對比Tab.6 YD08～YD14 Survey Point Gauss Side Length Projection to Side Length Average Elevation Comparison

表7 YD14～YD34測區(qū)測點(diǎn)高斯邊長投影到邊長平均高程面對比Tab.7 YD14～YD34 Survey Point Gauss Side Length Projection to Side Length Average Elevation Comparison

表8 YD01～YD08測區(qū)GPS基線解算橢球平距對比Tab.8 Ellipsoid Horizontal Distance Comparison of GPS Baseline Calculation in YD01～YD08 Survey Area

表9 YD08～YD14測區(qū)GPS基線解算橢球平距對比Tab.9 Ellipsoid Horizontal Distance Comparison of GPS Baseline Calculation in YD08～YD14 Survey Area

表10 YD14～YD34測區(qū)GPS基線解算橢球平距對比Tab.10 Ellipsoid Horizontal Distance Comparison of GPS Baseline Calculation in YD14～YD34 Survey Area

1）高斯邊長投影到平均高程面的邊長比較。

根據(jù)DG=Sm（1+Ym2/2R2），Ds=Sm（1+H/R）

化簡得到投影公式為：

式中，Ds為歸算至測點(diǎn)平均高程面上的邊長；DG為高斯平面邊長；Sm為參考橢球面邊長；R為測區(qū)中心處的平均曲率半徑，本測區(qū)中取R=6 368 km；Ym為邊長兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)平均數(shù)；H為邊長兩端點(diǎn)的平均高程。

2）利用GPS基線解算橢球平距進(jìn)行對比。

通過高斯邊長投影到邊長平均高程面的改算，以及GPS基線解算橢球平距與平差邊長的對比，邊長的相對誤差都小于1/20 000，說明本測區(qū)分段獨(dú)立坐標(biāo)系的抵償高程面和中央子午線的移動很好地抑制了測區(qū)長度變形。這種方法受測區(qū)長度和高差限制比較大，而引大濟(jì)岷工程測區(qū)長，測區(qū)東西走向，高差大，采用分段選擇抵償高程面投影和移動中央子午線相結(jié)合的方法來解決投影的綜合變形，本方法易被測繪人員掌握，斜軸墨卡托投影也能解決投影變形問題，但投影前期計(jì)算相對復(fù)雜，不易掌握。

4 結(jié)束語

大型水利工程中，通常采用高斯投影和移動中央子午線的方法來解決測區(qū)長度變形，本文對引大濟(jì)岷工程分段合理地選擇投影帶和投影面進(jìn)行了淺析。由于測區(qū)處于跨帶區(qū)域，先要確定測區(qū)橫坐標(biāo)到所處帶中央子午線的距離，從高斯投影變形大小，確定是否進(jìn)行換帶計(jì)算，以減小高斯投影的變形對測區(qū)已有地形圖使用的影響。在抵償高程面投影的選擇時(shí)，宜選分段測區(qū)平均高程來做投影抵償高程面，這有利于測區(qū)投影變形均勻，使測區(qū)投影長度變形值不大于5 cm/km（即相對誤差為1/20 000），滿足《水利水電工程測量規(guī)范》SL197-2013的要求。本文的方法適合GPS點(diǎn)不通視，無法使用全站儀邊長進(jìn)行檢驗(yàn)的工程。