戴中東孟 良高永攀項 偉

1空軍研究院工程設計研究所，北京，100068

2北京特種工程設計研究院，北京，100028

機場道面高程圖（也稱為板角高程圖）測量一般在機場改擴建設計前或者機場建設竣工后進行。板角高程測量精度至毫米［1］，一般尾數(shù)為估讀，且板角點相對臨近水準點高程中誤差不大于5 mm，極限誤差不大于1 cm，因此可認為，板角高程測量的精度要求優(yōu)于1 cm。傳統(tǒng)的測量方法將平面數(shù)據(jù)和高程數(shù)據(jù)分開進行采集，然后一一對應合并（一個機場大概3萬個數(shù)據(jù)），過程繁瑣，工作效率低下，且很容易出現(xiàn)錯誤。地面三維激光掃描儀（terrestrial laser scanner，TLS）發(fā)展已經(jīng)30多年，特別是近10年來，精度高、測速快的掃描儀已經(jīng)逐漸走進各個應用領域［2］，比如工程測量［3］、文物保護［4］、工業(yè)測量［5］、交通道路測量［6-8］等，極大提高了工作效率。

但根據(jù)機場道面高程測量中的精度要求，采用常規(guī)掃描儀流程，主要存在以下3個主要問題：一是靶標控制點的高程精度要足夠高，且測量過程中需要盡量減少“量高誤差”；二是由于道面測量對平面精度和高程精度要求不一致，特別是掃描儀沒有整平裝置時，平面坐標誤差會影響高程匹配的精度，且配套軟件沒有對權(quán)值進行設定；三是由于機場周邊地勢平坦，且無連續(xù)制高點，距離儀器越遠，道面測量點的反射角就越小，大于70 m幾乎就沒有回波數(shù)據(jù)，這樣就使得相鄰測站的距離不能太大。因此采用常規(guī)的三維掃描儀測量方法，不僅效率低，而且也不能滿足厘米級以內(nèi)的高程精度。

本文首先分析了使用加權(quán)整體最小二乘［9-11］進行坐標匹配轉(zhuǎn)換的算法，該算法公式經(jīng)過推導和向量化后，采用LM（Levenberg-Marquardt）算法求出最優(yōu)轉(zhuǎn)換參數(shù)，并對目標坐標和測站坐標的誤差來源進行分析，確定了權(quán)值；其次，為了減少靶標量高誤差和提高地面回波率，設計了一種控制點布設方案和測量方法；最后，通過實例數(shù)據(jù)的分析和比較，得出結(jié)論。

1 坐標匹配算法和權(quán)值的確定

1.1 加權(quán)整體最小二乘法坐標匹配算法

TLS外業(yè)測量時采用的是測站坐標系統(tǒng)，而目標坐標為測圖時采用的坐標系統(tǒng)，兩者之間需要轉(zhuǎn)換。由于測站坐標和目標坐標均含有隨機誤差，直接采用經(jīng)典最小二乘法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時，求出的結(jié)果會有偏差［12］。因此需要使用變量中存在誤差的EIV（errors-in variables）模型，求出最優(yōu)估計參數(shù)解。從測站坐標到目標坐標系統(tǒng)EIV模型公式為：

式中，[XY Z]T為目標坐標向量；[Vx Vy Vz]T為目標坐標誤差向量；[x y z]T表示測站坐標向量；[vx vy vz]T為測站坐標 誤差向 量，[ΔxΔyΔz]T為平移參數(shù)向量；λ代表尺度縮放參數(shù)，TLS的坐標轉(zhuǎn)換中，一般認為λ等于1；M為3個旋轉(zhuǎn)角組成的旋轉(zhuǎn)矩陣。

根據(jù)式（1）、式（2）可以得出：

由式（3）可以看出，在儀器整平的情況下，εx、εy為小角度，sinεx、sinεy也為極小值，cosεx、cosεy接近1，這時，目標坐標高程主要與測站坐標的z方向坐標分量、誤差、平移參數(shù)相關。但是，TLS一般沒有整平裝置，這時，目標坐標高程與測站3個坐標分量以及誤差、平移參數(shù)均相關。

由式（1）、式（2）可以看出旋轉(zhuǎn)參數(shù)和系數(shù)矩陣呈非線性關系，無法直接使用整體最小二乘算法求解，一般將式（1）轉(zhuǎn)換成線性化的模型求解，但該方法僅僅適合于兩套坐標系間的旋轉(zhuǎn)角較小時的轉(zhuǎn)換，若旋轉(zhuǎn)角較大時，模型誤差會很大，甚至完全得不到正確的結(jié)果［13，14］。

將式（1）和式（4）聯(lián)立，坐標轉(zhuǎn)換模型轉(zhuǎn)化為非線性GM模型：

式中，l為式（1）和式（4）中目標坐標和測站坐標的向量化；V為誤差的向量化。假設A為測站坐標系統(tǒng)的n個坐標，βc為6個坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)，vec表示逐行向量化，則變量參數(shù)β可表示為：

其中，f(β)為式（1）和式（4）聯(lián)立后的方程的右半部分。

經(jīng)過向量化變化后，式（5）轉(zhuǎn)換為非線性方程的最優(yōu)化問題，加權(quán)整體最小二乘的最優(yōu)估計的函數(shù)可表示為：

式中，P表示權(quán)值。

對于非線性方程的最優(yōu)化問題，常見的方法有梯度法和高斯牛頓法。梯度法主要從負梯度方向進行迭代搜索，并最終找到極小值，該方法開始時下降較快，但靠近極小值時收斂速度很慢。高斯牛頓法中由雅克比（Jacobian）矩陣近似計算海森（Hessian）矩陣，避免了直接計算海森矩陣的復雜性，收斂速度快，但是該算法對初始值較敏感，容易陷入局部極小值。LM算法引入阻尼因子［15］，每次迭代時調(diào)節(jié)阻尼因子μ，使算法介于梯度法和高斯牛頓法之間，能有效克服常見缺點。對于本文的加權(quán)非線性方程的求解中，在梯度向量G和海森矩陣H更新時需要加入權(quán)值項。

每一次迭代時，h表示β值的更新值：

當梯度的無窮范數(shù)小于預定的一個極小值ε1，或者通過更新值h和變量參數(shù)的2-范數(shù)進行比較，當小于變量參數(shù)的一個極小比例ε2時，程序找到非線性最小二乘的最優(yōu)解β，由式（6）可知，解的前6個值就是旋轉(zhuǎn)角和平移量參數(shù)。本文中ε1、ε2均設置為1×10-10。

1.2 權(quán)值的確定

機場道面很平整，橫坡和縱坡最大也不超過2%［16］，即平面偏差5 cm，對高程影響也就1 mm。為了保證高精度的道面高程測量成果，同時又提高效率。靶標控制點的平面坐標使用GPS-RTK采集，高程則使用二等水準進行測量。道面測量采用RIEGL VZ-1000三維激光掃描儀（角度分辨率1.8″，小于100 m距離的測距精度5 mm），是一款高密度、高精度、高效率的掃描設備。

目標坐標系統(tǒng)下靶標點的測量誤差分為平面和高程兩個部分。由于平面坐標由GPS-RTK采集，有固定誤差，對中桿手握對中以及其他因素引起的偶然誤差，要準確計算每一個點的平面誤差比較困難。由于機場環(huán)境空曠，高度角大于15°的衛(wèi)星一般都能接收到信號，本文計算中統(tǒng)一設置為2.1 cm中誤差（兩個坐標分量都是1.5 cm的中誤差）。由于電子水準儀的普遍應用，水準測量的效率和精度都得到了很大提高，有的儀器甚至已經(jīng)達到了0.2 mm/km的高程中誤差，本案例的控制點采用二等水準測量，平差后高程中誤差為0.6 mm，加上放置靶標的誤差后，統(tǒng)一設置為2 mm。

測站坐標系統(tǒng)是掃描儀外業(yè)測量時采用的坐標系統(tǒng)，靶標位置在該系統(tǒng)的誤差包括兩部分：一是儀器的測量誤差，另一個是靶標識別的誤差。其中在測站坐標系統(tǒng)下，如圖1所示，儀器的觀測量為：水平角α、垂直角θ、以及斜距S。則儀器的測量中誤差在3個方向上分別為［17］：

圖1 測站坐標示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Station Coordinate

靶標識別誤差主要和靶標上的點云密度有關，掃描儀道面掃描時使用的是6 cm×6 cm的平面靶標，放置在10 m位置時約有6 000個點，點間距約為0.8 mm；放置在120 m位置時就只有200個點，點間距約為4.2 mm。雖然掃描儀沒有對中和整平裝置，但是一般情況下，掃描儀在測量時基本保持水平，本文中將靶標識別誤差設定為點間距σxy≈σz2≈±d，其中x、y代表水平方向，即使用隨機軟件RiSCAN中的點云個數(shù)求出各靶標的點間距后，將水平方向的誤差、垂直方向的誤差設定為點間距。

如圖2所示，x、y、z方向的識別誤差分別為：

圖2 靶標誤差平面投影Fig.2 Plane Projection of Target Error

測站坐標的3個方向總誤差分別為：

目標坐標和測站坐標的誤差都計算出來后，就可以對整體最小二乘的權(quán)值進行確定，pi=σ02/σi2，其中σ02可以選定為σi2的最大值。權(quán)矩陣可表示為：

式中，diag代表生成對角化矩陣的符號，即將向量的成員作為矩陣對角線上的元素。這樣，權(quán)值即可確定。

2 實例數(shù)據(jù)采集和分析

2.1 數(shù)據(jù)的獲取

機場道面周邊無連續(xù)制高點，數(shù)據(jù)采集時使用專用腳架提高儀器的架設高度。普通腳架只能把儀器高度架設到1.5～1.7 m，使用工業(yè)級的專用腳架，把儀器高度架設到2.6～3.0 m。提高儀器高度，不僅可以測量得更遠，提高效率；同時，由于反射角的增大，反射率增加，也提高了測量精度。

如圖3所示，將靶標貼在平整長方體一面，直接將靶標的投影中心對準控制點平面中心，放置在控制點的最高處，靶標面朝向儀器中心，優(yōu)點在于避免了過大的對中誤差和量高誤差。需要注意的是，匹配該靶標點的高程應該為控制點高程加上3 cm（平面靶標的一半尺寸），平面坐標不變。

圖3 架設儀器和放置靶標Fig.3 Instrument Erection and Target Placement

靶標布設時要分布均勻，且避免靶標點共線和共面的情況，防止坐標匹配時無窮多解的情況。待匹配的靶標點布設在道面兩邊線外的助航燈基座螺母上，航燈的間距約為50 m，跑道寬度一般和機場等級有關，多數(shù)為45～60 m，如圖4所示。一個測站可以掃描12個靶標，其中8個在本測站掃描范圍內(nèi)，另外4個在范圍外附近。機場道面測量時，將掃描儀架設在跑道中心線上，為便于相鄰測站的結(jié)果進行檢核，使后一測站的點云和前一測站有重疊，使測站重疊區(qū)域離相鄰測站的最大距離在100 m左右。

圖4 靶標點布設示意圖Fig.4 Schematic Diagram of Target Placement

2.2 分析和比較

實驗1：采用8種坐標匹配方案，比較各種方案的匹配精度，具體匹配方案和匹配精度如表1、表2所示。

表1 坐標匹配方案Tab.1 Coordinate Matching Scheme

表2 坐標匹配精度統(tǒng)計比較/mmTab.2 Statistical Comparison of Coordinate Matching Precision/mm

在表2中，方案1只有必要的3個點參與參數(shù)計算，沒有多余點，無法平差，雖然內(nèi)符合精度很高，但從檢核點的精度統(tǒng)計可以看出高程的差值范圍很大，標準差最大，證實了采用本文算法的必要性。

由于EIV模型把誤差作為變量進行平差，考慮了目標坐標系統(tǒng)中存在誤差，所以在參與計算點的內(nèi)符合精度統(tǒng)計中，方案3和4的高程差值標準差比較大，但是檢核點的高程標準差最小。方案3的檢核點高程精度最高，平面精度符合實際RTK測量的情況，因此8個臨近的點的參數(shù)估計最穩(wěn)定。方案4的整體精度和方案3相近，也符合式（3）的εx、εy為小角度的情況。

方案5～方案8為匹配點在一側(cè)的情況，另一側(cè)的檢核點高程出現(xiàn)較大的偏差，這是由于靶標分布不均勻造成的，這個結(jié)論也符合文獻［18］的結(jié)論。方案6、方案8使用了兩個近130 m的靶標，靶標的分辨率過低引起這兩個方案的高程整體精度不如方案5和方案7。

實驗2：TLS多數(shù)沒有整平和對中系統(tǒng)，儀器的坐標平面和目標坐標平面產(chǎn)生夾角在所難免，主要體現(xiàn)在以坐標x軸和y軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)，本文假設產(chǎn)生0～10°的旋轉(zhuǎn)，使用測站周邊的8個點作為參數(shù)計算點，剩下的4個點作為檢核點，對不加權(quán)和加權(quán)進行比較。

如圖5所示，等權(quán)的情況下，參與計算點的內(nèi)符合高程轉(zhuǎn)換差值的標準差在1.3～1.8 mm之間，檢核點的高程轉(zhuǎn)換差值的標準差在3.5～5.5 mm之間。不論是內(nèi)符合還是檢核點的精度，都隨著旋轉(zhuǎn)角的加大而增加，最大的情況出現(xiàn)在x軸和y軸同時旋轉(zhuǎn)10°的情況?？梢钥闯觯?°旋轉(zhuǎn)角的范圍內(nèi)，高程的轉(zhuǎn)換誤差還算穩(wěn)定，也就是旋轉(zhuǎn)角度較小的情況。

圖5 等權(quán)情況下的精度統(tǒng)計圖Fig.5 Precision Statistical Diagram Under Equal Weight

如圖6所示，加權(quán)的情況下，參與計算點的高程差值的標準差非常平穩(wěn)，保持在1.3 mm，檢核點的轉(zhuǎn)換差值標準差也較穩(wěn)定，保持在3.5～3.7 mm。對比圖5、圖6可以看出，符合式（3）的推導，即沒有整平裝置時，目標坐標高程和測站3個坐標分量以及誤差、平移參數(shù)都相關的結(jié)論。加權(quán)的情況下保持著等權(quán)差值的最小值，并非常穩(wěn)定，說明了該算法具有通用性和強壯性。

圖6 加權(quán)情況下的精度統(tǒng)計圖Fig.6 Precision Statistical Diagram Under Weighted

由于兩站重疊部分的點云距離兩測站都最遠，該處的掃描精度最低，外業(yè)時使用常規(guī)的方法（水準儀）抽樣測量了幾個測站重疊部分的高程，共計119個點，與TLS點云過濾分類后的結(jié)果進行比較得出，差值范圍在-12.1～8.7 mm之間，大于1 cm差值的點只有3個，且都位于道面邊緣處，是源于該處有覆土或者植被的影響，所有差值的均值為2.2 mm，差值標準差為±4.6 mm，也就是精度優(yōu)于1 cm，可以認為本文的方法完全能滿足機場道面測量的要求。

3 結(jié)束語

本文分析了加權(quán)整體最小二乘算法的理論和實現(xiàn)方法，并且對TLS的目標坐標系統(tǒng)和測站坐標系統(tǒng)誤差進行了分析確定，并針對某機場實測的數(shù)據(jù)進行計算比較，得出結(jié)論：由于測量效率的需要，匹配點的目標坐標采用不同的設備采集，這樣就需要使用加權(quán)整體最小二乘法進行轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解，這樣才能得到最優(yōu)的參數(shù)估計，并有效減小三維激光掃描儀不能整平帶來的誤差。同時在高精度的道面高程測量的應用中，采用此方法可以有效的提高高程精度，最終達到優(yōu)于1 cm的高程精度要求。

傳統(tǒng)方式測量一個機場的板角高程需要4人（一名觀測員、一名記錄員、兩名跑尺員），15 d左右才能完成工作。采用本文方法只需要3人（兩名儀器操作員，一名靶標擺設人員），3 d就可完成同樣工作。無論從人力需求上還是工作效率上都明顯得到了提高，而且避免了傳統(tǒng)方式平面和高程分開采集，最后融合易產(chǎn)生的錯誤。本文方法對于其他一些對單一方向有高精度要求的測量工程，如道路、特殊構(gòu)件的平整度測量等，都有很好的借鑒作用。