王婷

數(shù)學(xué)是我國初中階段教學(xué)中較為復(fù)雜的一門學(xué)科，其具有嚴(yán)密的邏輯特點，是學(xué)生學(xué)好其他科目的基礎(chǔ). 初中數(shù)學(xué)教師要立足課本，根據(jù)學(xué)生的實際情況制定符合學(xué)生身心發(fā)展特點的教學(xué)方法，通過激發(fā)學(xué)生的興趣來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績. 分類討論思想是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)最主要的一種思想，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，同時也是考試的重點. 因此，初中數(shù)學(xué)教師要重視分類討論思想，在課堂教學(xué)中加強這一思想的教學(xué)，課下多布置分類討論思想的習(xí)題，使學(xué)生熟練掌握并運用分類討論思想.

1. 初中數(shù)學(xué)中分類討論思想應(yīng)用原則

1.1 同一性與相稱性原則

對于初中數(shù)學(xué)來說，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生明確分類討論的對象，只針對有特性的對象進(jìn)行分類，不需要分類所有的對象，且分類時要運用同一標(biāo)準(zhǔn)，分清楚主次. 例如，在講解三角形分類知識時，很多學(xué)生會將三角形分成鈍角、直角、銳角、等腰、等邊三角形等，而這種分類方法卻是錯誤的，既利用邊進(jìn)行分類，又利用了角.

1.2 互斥性與多層次性原則

互斥性是指進(jìn)行分類后的對象，其子項要互相排除，同一個子項中不可能包含相同的事物. 如，初二某班級中總共7名學(xué)生參加了球類與田徑比賽，其中有4名學(xué)生參加球類比賽，5名學(xué)生則是田徑比賽；這就說明在7名學(xué)生中有同時參加兩項比賽的學(xué)生，且是2名，不能將這7名學(xué)生簡單的分為球類與田徑比賽兩類，否則會犯邏輯性錯誤. 在解初中數(shù)學(xué)題目時，會遇到某些復(fù)雜的題目，部分情況下可采用“二分法”，根據(jù)對象的層次性將其逐層分類.

2. 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

2.1 分類討論思想在方程中的應(yīng)用

學(xué)生可通過消元、轉(zhuǎn)化、位移等方法解方程，然而，大部分學(xué)生會忽視方程的局限性問題，如：含絕對值的方程，其未知數(shù)的取值范圍不是全體實數(shù).

初中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生全面的思考、分析問題并進(jìn)行正確的解題. 如：七年級教師在講解“一元一次方程”這一章節(jié)內(nèi)容時，可在黑板上寫出|3 - x| + |x + 2| = 5這一方程，同時引導(dǎo)學(xué)生思考解含絕對值的方程的方法，首先將絕對值里面的公式分為三類：正數(shù)、負(fù)數(shù)和零. 初中數(shù)學(xué)教師要利用分類討論思想思考這一問題，分別對方程中的兩個公式|3 - x|與|x + 2|分類討論，公式|3 - x|有x > 3，x < 3，x = 3三種情況，且公式|x + 2|也有三種情況：x > -2，x < -2，x = -2，并將x的范圍畫在數(shù)軸上，結(jié)合數(shù)軸將原方程轉(zhuǎn)化為三種形式. 第一，當(dāng)x > 3時，|3 - x| < 0，|x + 2| > 0，原方程可轉(zhuǎn)化為-（3 - x） + x + 2 = 5，通過解方程可得x = 3，與假設(shè)x > 3不符，故x > 3時原方程無解. 第二，當(dāng)-2 ≤ x ≤ 3，|3 - x| > 0，|x + 2| > 0，原方程可轉(zhuǎn)化為3 - x + x + 2 = 5，方程恒成立，故-2 ≤ x ≤ 3時，x為全體實數(shù). 第三，當(dāng)x < -2時，|3 - x| > 0，|x + 2| < 0，原方程可轉(zhuǎn)化為3 - x - （x + 2） = 5，通過解方程可得x = -2，與假設(shè)x < -2不符，故x < -2時原方程無解. 初中數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論思想進(jìn)行問題的分析，并根據(jù)具體問題進(jìn)行合理的分類，進(jìn)而達(dá)到提高數(shù)學(xué)成績的目的.

2.2 分類討論思想在圓中的應(yīng)用

圓的對稱性、圓與直線、圓與正多邊形、圓與圓之間的關(guān)系都是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容. 分類討論思想是解決圓的對稱性以及圓的位置關(guān)系的重要且常用的解題方法，這種解題思想更能夠培養(yǎng)初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生可將題目中的變量找出，并根據(jù)圖形之間的關(guān)系進(jìn)行解題.

例如，初中數(shù)學(xué)教師在講解“圓的對稱性”這一章節(jié)內(nèi)容時，首先為學(xué)生講解課本上的例題：已知兩個相交圓的半徑分別為5 cm和4 cm，其公共弦長為6 cm，根據(jù)已知條件解出兩圓的圓心距. 通過判斷分析可知該圖形具有不確定性，要利用分類討論思想解答這道問題；由于圓具有對稱性，因此該公共弦有可能位于兩圓心之間，也可能位于兩圓心的同側(cè). 根據(jù)判斷可分為兩種情況，第一，當(dāng)公共弦位于兩圓心之間時，根據(jù)已知條件解出兩圓的圓心距為4 + ；第二，當(dāng)公共弦位于兩圓心同側(cè)時，根據(jù)已知條件解出兩圓的圓心距為4 - . 這種運用分類討論思想分析、解答數(shù)學(xué)問題的過程，能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生獨立解決問題的能力，符合初中學(xué)生的身心發(fā)展特點.

2.3 分類討論思想在三角形問題中的應(yīng)用

對于初中學(xué)生來說，有些復(fù)雜的三角形問題，也會用到分類討論思想. 當(dāng)題目所給的已知條件不能夠用一般方法解答時，只有運用分類討論思想才能解出來，如已知某等腰三角形的兩條邊的長度，求該三角形的周長與面積. 由于不知道三角形的腰與底邊長到底是哪個，需要運用分類討論法進(jìn)行假設(shè). 例如：已知某直角三角形的兩條邊長分別為4 cm與3 cm，求出該直角三角形第三條邊的長度. 第一，三角形兩直角邊為4 cm與3 cm，可得第三條邊為5 cm；第二，三角形的斜邊長度為4 cm，一直角邊為3 cm，另一直角邊為cm.

分類討論思想是初中數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵，初中學(xué)生要明確掌握分類討論思想的技巧，能夠根據(jù)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理地進(jìn)行對象分類，并根據(jù)分類逐步解出數(shù)學(xué)問題. 加強初中生運用分類討論思想，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生獨立思考、解決問題的能力.