李 亮

(安徽省蚌埠第二中學(xué) 233000)

今年五月的皖淮名校聯(lián)考，高一數(shù)學(xué)試卷填空題第16題考了一道三角求值題.從考試結(jié)果來看，得分率很低.究其原因，筆者認(rèn)為還是同學(xué)們對三角求值題缺乏必要的認(rèn)識，方法選取不恰當(dāng)，平時練的少，對復(fù)雜計算駕馭能力有待提升，值得反思.鑒于此，筆者以此題為例，和同學(xué)們一起從不同視角來探究，以期提升同學(xué)們的數(shù)學(xué)計算、邏輯推理等能力.

1 試題呈現(xiàn)

題目sin220°+cos250°+sin20°cos50°=____.

2 解法探究

2.1 常規(guī)思路，通性通法

解法1(遇平方就降冪，積化和差、和差化積)

解法2(先積化和差、和差化積，再平方降冪)

原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

=(sin20°+sin40°)2-sin20°sin40°

=[2sin30°cos(-10°)]2

評注本解法需要學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)的變形降冪公式以及誘導(dǎo)公式，同時還要靈活運用三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式.

2.2 對比分析，合理拆分

解法3(一般角與特殊角之間的加一加、減一減)

原式=sin220°+cos2(20°+30°)+sin20°·cos(20°+30°)

評注本解法要關(guān)注角與角之間的內(nèi)在聯(lián)系，把一般角與特殊角聯(lián)系起來，常用技巧可以把兩個角加一加、減一減、乘以2，等等，很多題目可以迎刃而解.

2.3 合情猜想，演繹推理

解法4(大膽假設(shè)，小心求證)

因為sin215°+cos245°+sin15°cos45°

猜想：

證明如下：

所以猜想成立，這樣本題可以推廣到一般形式.從而可以作以下同解變形：

sin220°+cos250°+sin20°cos50°

=sin215°+cos245°+sin15°cos45°

圖1

2.4 結(jié)構(gòu)聯(lián)想，幾何直觀

解法5(利用正、余弦定理，構(gòu)造三角形)

原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°，

由此聯(lián)想到余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA.

再利用正弦定理變形為

sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.

到此可構(gòu)造△ABC，如圖1，使

A=120°,B=20°,C=40°，

則sin2120°

=sin220°+sin240°-2sin20°sin40°cos120°.

所以，

原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

評注正弦定理、余弦定理是對三角形邊角關(guān)系的量化刻畫，解題時要仔細(xì)觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，合理聯(lián)想，構(gòu)造符合題意的三角形，可簡化代數(shù)運算，發(fā)展學(xué)生思維.

2.5 對偶構(gòu)造，同構(gòu)變形

解法6(構(gòu)造互余對偶式)

令x=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，

構(gòu)造y=cos220°+sin250°+cos20°sin50°，

則x+y=2+sin70°，

兩式相加整理,得

評注通過對題目結(jié)構(gòu)特征的觀察，利用互余函數(shù)構(gòu)造對偶式，從而獨辟蹊徑，出奇制勝.其實，兩種對偶式的本質(zhì)是一樣的，利用了三角函數(shù)變換中的平方關(guān)系.

2.6 恒等變形，曲徑通幽

解法7(運用三角恒等式)

由正弦與余弦的和角公式和差角公式可得以下恒等式：

sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)，

cos2α-sin2β=cos(α+β)cos(α-β).

它們的結(jié)構(gòu)和代數(shù)中的平方差公式很像，所以也把它們稱之為三角函數(shù)的平方差公式.解題時靈活運用它們會使我們的化簡、計算大大簡化.

原式=sin220°-sin250°+sin20°cos50°+1

=sin70°sin(-30°)+sin20°cos50°+1

通過以上解法，我們可以看出三角函數(shù)的化簡與求值常常從以下幾個方面突破：減少函數(shù)名稱、減少角的個數(shù)、注意式子的結(jié)構(gòu)等.當(dāng)然教材基本公式的記憶與常見變形是我們解題的基礎(chǔ).本題看似平常，其實值得研究，筆者只是從常規(guī)入手，多視角突破，以期起到拋磚引玉的作用，不足之處敬請大家批評指正.