易 強，王 平，王樹國，趙才友，劉偉斌

(1.中國鐵道科學研究院集團有限公司 鐵道建筑研究所, 北京 100081；2.西南交通大學 高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031)

鐵路軌道結構振動噪聲與結構中彈性波傳播特性密切相關。軌道結構具有明顯周期特征，既有研究表明彈性波在周期結構中的傳播具有帶隙特性，即在帶隙頻率范圍內，周期結構中的彈性波將無法自由傳播而呈現衰減特性[1]。周期結構中的彈性波帶隙特性可為結構振動噪聲控制提供新的研究思路和方法，因此鐵路軌道結構彈性波傳播特性研究得到了廣泛的關注。

一般區(qū)間路段鐵路軌道結構具有周期性以及近似無限長特征，目前常采用有限元方法建立軌道結構模型，為了消除邊界條件影響，模型長度通常較長，軌道結構自由度較多，為彈性波分析帶來困難[2]?；谥芷谔卣?，可將軌道結構彈性波分析轉移至一個基本元胞內進行，從而大幅度降低軌道結構自由度，提高計算效率。在軌道結構彈性波傳播分析方面，Mead等[1]率先開展了基于行波分析法的周期結構研究，將軌道結構簡化為無限長周期梁結構，提出傳遞矩陣法、空間諧波法等計算方法，并首次給出無限周期梁結構的彈性波帶隙特性。Heckl等[3]在Mead研究基礎上，在模型中增加軌枕和道砟的影響，將軌枕等效為質量塊，道砟層等效為彈簧，研究周期性支承Timoshenko梁中壓縮波、扭轉波、彎曲波的傳播特性。Abe等[4]將鐵路軌道考慮為離散支撐約束結構，得到軌道結構彈性波頻散曲線，并通過優(yōu)化軌枕間距以降低鋼軌在pinned-pinned頻率附近的響應幅值。Sheng等[5]采用2.5D有限元方法建立軌道結構的特征方程，得到軌道結構的振動傳遞系數，并分析了周期性軌道結構帶隙邊界頻率處對應的結構模態(tài)。為了分析高頻范圍內軌道結構彈波傳播特性，吳天行等[6]采用多梁模型模擬鋼軌橫向振動，其中軌頭和軌底采用Timoshenko梁描述，軌道結構采用多個有限長梁進行模擬，與有限元方法結果較為一致。Thompson[7-8]采用有限元方法建立10 mm長度短鋼軌模型，考慮截面形狀，結合周期結構理論研究了中高頻彈性波在自由鋼軌中的傳播特征，提取鋼軌彈性波波數，分析不同類型彈性波在鋼軌中的傳播衰減規(guī)律，并開展現場試驗驗證。Gry[9]將鋼軌截面進行網格劃分，采用有限的截面模態(tài)模擬鋼軌截面變形，進一步采用傳遞矩陣法建立相鄰兩跨鋼軌之間的傳遞矩陣，計算周期支撐鋼軌中的頻散曲線與頻率響應函數。

在軌道結構動力響應方面，基于結構周期特征可實現軌道結構動力響應的快速計算。馬龍祥等[10]采用周期傅里葉方法建立車輛-浮置板軌道結構動力響應計算模型，在計算中只需考慮一個浮置板長度范圍內的軌道結構自由度。Degrande等[11]和Chebli等[12]利用Floquet變換結合有限元、邊界元方法建立軌道-土體耦合模型，計算簡諧荷載作用下無限周期結構系統響應特征。Sheng等[13-14]采用廣義傅里葉變換方法和2.5D有限元方法計算移動簡諧荷載作用下周期性軌道結構動態(tài)響應。上述研究主要以平面半軌道結構模型為主，三維軌道結構中彈性波傳播特性尚待進一步研究。

對于三維軌道結構的既有研究以傳統有限元方法為主，主要關注有限長軌道結構動力響應，無法直接應用于無限長周期軌道結構的彈性波分析及結構響應計算。近年來，國內外學者針對周期結構的分析提出傳遞矩陣法、平面波展開法、集中質量法等，但這些方法均有一定的限制性，如傳遞矩陣法容易出現矩陣病態(tài)問題[15]，且難以分析復雜三維結構模型。波有限元方法(WFE)的提出為復雜結構中彈性波分析提供了高效手段，波有限元方法可以由傳統有限元方法建立元胞有限單元模型，在元胞邊界施加周期邊界條件以研究周期結構彈性波的傳播特性[16]。波有限元方法中可建立詳細的元胞三維模型，從而可應用于軌道結構彈性波傳播研究與中高頻振動響應分析。

對于典型的周期性軌道結構，其彈性波傳播特性已有一定的研究，但主要結論均基于平面半軌道模型[17-18]。若將軌道結構簡化為平面半軌道模型，將忽略相鄰鋼軌之間的相互作用，且軌枕模態(tài)也無法被考慮，導致無法準確分析中高頻范圍內結構彈性波傳播。軌道結構振動衰減規(guī)律與相鄰兩根鋼軌之間的對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)密切相關，半軌道模型將過高估計部分頻段內振動的衰減[19]。因此，有必要建立三維軌道結構模型，以更加準確分析彈性波在軌道結構中的傳播規(guī)律。為了分析周期性三維軌道結構中彈性波耦合與轉換規(guī)律，本文以有砟軌道結構為例，采用波有限元方法建立其彈性波傳播分析模型，研究不同類型彈性波之間的耦合與轉換特征并闡明三維軌道結構中彈性波帶隙行為。

1 理論模型

采用波有限元方法建立軌道結構基本元胞模型，并提取其質量、剛度、阻尼矩陣。以有砟軌道結構為例，元胞長度等于軌枕間距，元胞結構為枕間距內軌道結構，如圖1所示，周期性邊界條件采用虛線表示。

圖1 有砟軌道結構元胞模型

元胞結構動態(tài)矩陣方程可表示為

(K+iωC-ω2M)U=F

(1)

式中：D=K+iωC-ω2M為一個基本元胞的動剛度矩陣；K為剛度矩陣；M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；U為廣義位移向量；F為廣義力向量。

根據節(jié)點位置可將U、F分為三個部分：左邊界節(jié)點，內部節(jié)點與右邊界節(jié)點，分別采用下標L，I和R表示，且左右節(jié)點自由度均為nc個，如圖1(c)所示。力向量與位移向量之間通過動剛度矩陣聯系，即

(2)

對于結構中自由波傳播，即無外界作用力下，消除內部自由度，在元胞邊界處力和位移滿足條件

(3)

式中：“～”表示消除內部自由度后的動剛度矩陣。

(4)

根據Bloch定理可知，元胞左右兩側狀態(tài)之間滿足[20]

UR=eiκlUL

(5)

FR=-eiκlFL

(6)

式中：κ為Bloch波數；l為元胞長度。

結合相鄰元胞之間的位移和力連續(xù)條件得

UR,ne=UL,ne+1=eiκlUL,ne

(7)

FR,ne=-FL,ne+1=-eiκlFL,ne

(8)

式中：ne為元胞編號。

因此，可構建廣義特征值矩陣為

(9)

對于頻率較高或結構尺寸較大的情況，以上矩陣可能出現病態(tài)問題，難以求解準確結果。因此，可根據相鄰元胞向量關系直接形成標準的多項式特征問題，從而求解波數及與之對應的特征向量為

(10)

在元胞左節(jié)點位置，廣義力向量與位移向量之間滿足

(11)

在右節(jié)點位置，廣義力向量與位移向量之間滿足

(12)

根據式(10)～式(12)即可求解由有限單元建立的周期結構彈性波傳播頻散曲線以及所對應的特征波模態(tài)。在給定頻率下，結構中可存在nc對特征波，每一對中包含了兩個幅值相同但傳播方向相反的彈性波。對于第j種彈性波，其波數為κj，將其正向傳播的彈性波表示為[κpj,ψpj,Θpj]，負向傳播的彈性波表示為[κnj,ψnj,Θnj]，其中ψ和Θ分別為力向量和位移向量，下標p和n分別表示正向傳播和負向傳播。

在求得所有的彈性波波數以及特征向量后，結合彈性波疊加方法即可求解外界荷載作用下有限或無限周期結構響應解[16]。元胞邊界位置處由自由波傳播產生的位移和力響應可表示為

(13)

式中：αj為第j類彈性波所對應的廣義波坐標。

對于半無限長周期結構，若在端點施加激勵，則只存在向左(左-半無限周期結構)或向右(右-半無限周期結構)傳播的彈性波，式(13)可進一步進行簡化。

對于左-半無限周期結構，由于只能激勵產生負向傳播的彈性波，因此端點處結構響應可寫為

(14)

通過矩陣方式可將式(14)改寫成

uR=Θ-α-FR=ψ-α-

(15)

式中：下標“-”表示負方向傳播彈性波所對應的特征向量和廣義波坐標。

因此，左-半無限周期結構右端點處動剛度矩陣為

D-R=FRuR-1=ψ-Θ--1

(16)

對于右-半無限周期結構，由于只能激勵產生正向傳播的彈性波，因此左端點處結構響應為

(17)

同理，右-半無限周期結構左端點處動剛度矩陣為

D+L=FLuL-1=ψ+Θ+-1

(18)

除此之外，實際軌道結構可能存在局部缺陷，如局部剛度突變或結構局部傷損，需要考慮彈性波在局部有限結構中的傳播與響應特性。對于有限結構，其結構響應則需要同時考慮兩個方向傳播的彈性波。當有限結構由多個元胞組成時，可利用周期性將其計算自由度大幅度縮減。有限結構中第m個元胞響應為

(19)

式中：N為有限結構包含的元胞個數。

則有限結構左右邊界處力和位移為

(20)

(21)

此時，該有限結構動剛度矩陣為

(22)

值得注意的是，此時結構動剛度矩陣只包含結構左右邊界處節(jié)點向量。因此，計算自由度為2nc，計算過程中的最大自由度為一個元胞自由度(用于求解波數與特征向量)，利用該方法可大大降低結構計算自由度，提升計算效率。

最后對于激勵源所處的元胞，由于元胞內部自由度存在外界激勵，根據式(2)，該受載元胞左右端點處力向量為

(23)

根據以上推導，結合不同類型周期結構邊界處位移、力的連續(xù)條件即可組建任意有限-無限周期結構方程進行求解。如無限周期性軌道結構在某一位置受外界荷載時，整體結構可視為由左-半無限周期結構+激勵單元+右-半無限周期結構組成。受載元胞左右邊界處與半無限周期結構端點處滿足連續(xù)條件

(24)

式中：F-inf,R、u-inf,R分別為左-半無限結構最右端力、位移向量；F0,L、u0,L分別為有限結構左端力、位移向量；F+inf,L、u+inf,L分別為右-半無限結構最左端力、位移向量；F0,R、u0,R分別為有限結構右端力、位移向量。

結合式(16)、式(19)、式(23)、式(24)可組建系統矩陣

(25)

式中：Fext為作用在結構上的外界荷載。

根據式(25)即可求解無限軌道結構動態(tài)響應。值得一提的是，上述方法中并不要求各區(qū)域周期結構基本元胞一致，因此可應用于更復雜工況分析。此外，由于結構計算自由度大量減小，可建立詳細的元胞結構有限元模型。

2 彈性波傳播特性分析

為了研究彈性波在三維軌道結構中傳播特性，以有砟軌道結構為研究對象建立其波有限元分析模型，如圖1所示。元胞模型中包含兩根鋼軌與一根軌枕，鋼軌、軌枕均采用Timoshenko梁單元進行建模，網格尺寸為0.05 m?？奂c枕下支撐采用彈簧單元模擬并考慮六個方向剛度，重點分析垂向彎曲波在軌道結構中的傳播規(guī)律。

軌道結構、扣件及道床剛度計算參數見表1、表2。

表1 有砟軌道結構參數

表2 扣件及道床剛度參數取值

2.1 與平面模型對比

首先進行三維模型與平面半軌道模型對比分析。在平面半軌道結構模型中，軌枕只能簡化為剛體且只能考慮一根鋼軌。為了分析兩種模型的差異，三維軌道結構中也將軌枕考慮為剛體，即只考慮軌枕的垂向運動及轉動，但三維模型中考慮了兩根鋼軌。為了更加直觀描述結構中可傳播的彈性波和衰減波，頻散曲線實部給出了虛部為0的正波數，而頻散曲線虛部則給出了波數虛部的最小絕對值。

兩種模型中垂向彎曲波(即結構發(fā)生z方向變形)頻散曲線對比結果如圖2所示，圖2(a)和圖2(b)給出了可自由傳播的彈性波頻散曲線，而圖2(c)和圖2(d)則給出了波數虛部的最小絕對值隨頻率的變化，即描述彈性波在結構中的衰減特性。由頻散曲線可知，垂向彎曲波在1 500 Hz頻率范圍內存在三個帶隙[18]，如圖2(c)中陰影部分所示，其帶隙邊界處特征模態(tài)由圖2(a)中Mode A — Mode E給出，這些特征波模態(tài)均對應軌道結構中的駐波模態(tài)，且已在參考文獻[17]中給出。相對于半軌道模型，三維模型中元胞邊界自由度增加一倍，因此結構中可傳播的彈性波類型增加一倍，對應波數個數增加一倍，在給定頻率下，存在4種正向傳播的垂向彎曲波。從計算結果可以看出，半軌道模型中頻散曲線與三維軌道結構頻散曲線部分吻合，但三維模型中存在另外一條頻散曲線，對應結構中存在非對稱波模態(tài)，即左右兩根鋼軌反相運動。由于此時將軌枕考慮為剛體，對稱模態(tài)和非對稱模態(tài)對應的頻散曲線差異不大，如圖2(a)所示。

圖2 平面半軌道與三維軌道結構中垂向彎曲波頻散曲線

圖3給出了三維軌道結構中Mode E對應的波模態(tài)。在任意一條頻散曲線起始或截止的位置附近均存在對稱和反對稱駐波模態(tài)，二者特征頻率接近。在高頻段內以鋼軌變形為主，不受軌枕影響，因此對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)頻率一致。由圖2(c)和圖2(d)可以看出，雖然平面模型與三維模型得到的頻散曲線結果基本一致，但三維軌道模型計算得到帶隙內彈性波衰減能力明顯降低。此外三維模型中包含了更多類型波模態(tài)，在外界激勵下產生更多可傳播彈性波。因此，有必要進一步研究三維軌道結構彈性波傳播及結構響應特征。

圖3 三維軌道結構中的對稱與反對稱模態(tài)

2.2 彈性波耦合與轉換

考慮軌枕變形，將軌枕簡化為Timoshenko梁建立三維有砟軌道結構模型。計算得到所有可傳播彈性波頻散曲線如圖4所示，同樣只顯示了具有純實部的頻散曲線。模型中相鄰元胞通過12個自由度進行耦合，因此在給定頻率下，可得到12對波數。此時，結構中包含4種類型彈性波：垂向彎曲波、橫向彎曲波、縱波和扭轉波。從圖中可以看出，此時頻散曲線中出現多條平直能帶，這些能帶由軌枕固有模態(tài)產生。由于不同類型彈性波之間發(fā)生相互耦合與轉換，從而難以根據頻散曲線直觀識別不同類型彈性波傳播特征。

為了進一步分析不同類型彈性波在結構中的耦合與傳播規(guī)律，采用波模態(tài)分離方法實現不同類型彈性波分離。在波模態(tài)分析中，采用模態(tài)置信準則中MAC值評價兩種類型彈性波的相關性[21]，即

(26)

式中：ψA和ψX分別為模態(tài)A和模態(tài)X的特征向量。

MAC值表明這兩個模態(tài)之間的相關性，其值處于0和1之間。當MAC>0.9時，說明這兩個模態(tài)一致；而當MAC<0.6時，說明兩個模態(tài)相關性較弱[22]。

圖4 三維軌道結構頻散曲線

為提取與垂向彎曲波相關的頻散曲線，以波數κ=0時垂向彎曲波模態(tài)為初始參考進行波模態(tài)分離，并在波模態(tài)分離過程中隨著波數增大不斷更新參考波模態(tài)，得到與垂向彎曲波相關的頻散曲線如圖5所示。從分離后的頻散曲線中可以看出，軌道結構中扭轉波與彎曲波相互耦合。這是由于軌枕的作用，鋼軌扭轉帶動軌枕產生垂向彎曲變形，從而使另一鋼軌產生垂向彎曲波，即在三維軌道結構中存在彎曲波與扭轉波的耦合與轉換。值得注意的是，波模態(tài)轉換是隨著波數增大而逐漸形成的，因而在同一條頻散曲線中可存在不同類型的波模態(tài)。由于不同類型彈性波之間存在耦合與轉換，這為準確識別彈性波帶隙范圍帶來困難。此外，在耦合轉換位置的彈性波波模態(tài)及結構響應特性需進一步討論。

圖5 分離后得到與垂向彎曲波相關的頻散曲線

從圖5中可知，垂向彎曲波與扭轉波頻散曲線第一個交叉區(qū)域位于100～300 Hz。為了分析不同類型彈性波的耦合轉換，提取300 Hz頻率范圍內與垂向彎曲波相關頻散曲線及關鍵位置特征波模態(tài)如圖6所示。若只從頻散曲線來看，該范圍內垂向彎曲波只存在一個0～127 Hz低頻帶隙。但由于鋼軌扭轉波與彎曲波的耦合作用，同一條頻散曲線中可能存在不同類型的波模態(tài)。如圖6中200 Hz附近黑色頻散曲線，當κl=0時，結構波模態(tài)Mode S1表現為鋼軌扭轉，軌枕彎曲，此時垂向變形極小，表明該波模態(tài)以扭轉波為主；而當κl=2.8時，結構波模態(tài)Mode S2為明顯的鋼軌垂向彎曲，而鋼軌扭轉位移較小。對于該條頻散曲線，隨著頻率增加，其波模態(tài)由扭轉波向彎曲波轉變。而對于Mode S3和S4所在的頻散曲線，雖然該頻散曲線與垂向彎曲波相關，但在此處仍以扭轉波為主。

圖6 垂向彎曲波頻散曲線及波模態(tài)轉換

為了分析不同類型彈性波的耦合與轉換過程，以Mode S4所在頻散曲線為例，計算其群速度vg，得到如圖7所示的結果。從發(fā)生波模態(tài)轉換的位置可以看出，波模態(tài)轉換均在群速度發(fā)生突變的位置。發(fā)生波模態(tài)轉換時，群速度迅速降低，發(fā)生突變，如圖7(b)中的波模態(tài)Mode T0，此時鋼軌扭轉變形與彎曲變形相當。在發(fā)生波模態(tài)轉轉換前，彈性波傳播以扭轉波為主，如Mode T1；在發(fā)生波模態(tài)轉換后，則以彎曲波傳播為主，扭轉波成分逐漸降低，如Mode T2。發(fā)生波模態(tài)轉換前，以扭轉波為主，扭轉波群速度較高，而波模態(tài)轉換后以彎曲波為主，群速度明顯顯著降低，因而在群速度突變位置可視為波模態(tài)轉換位置。發(fā)生轉換的位置在圖6(a)中以空心圓形式標出。

圖7 彈性波耦合與波模態(tài)轉換

結合波模態(tài)分析可以看出，軌枕發(fā)生彎曲共振，使得兩根鋼軌之間彈性波發(fā)生耦合，垂向彎曲波可通過軌枕彎曲運動在另一鋼軌形成扭轉波。因此，三維軌道結構中發(fā)生彈性波耦合與轉換的根本機制是軌枕的局域共振作用。

通過以上分析可知，只有確定波模態(tài)的轉換位置后，才能確定彈性波帶隙特征，且在發(fā)生波模態(tài)轉換位置(圖6)出現帶隙截止頻率。在300 Hz頻率范圍內存在三個垂向彎曲波帶隙：0～127.2 Hz、181.0～197.7 Hz、200.0～246.4 Hz。隨著頻率的升高，扭轉波與彎曲波耦合作用逐漸降低，在1 085～1 129 Hz存在第四個垂向彎曲波帶隙。

相對于平面模型，三維軌道結構中由于存在彈性波之間的耦合轉換，彈性波帶隙被抑制。此外，周期結構中局域共振單元的存在會形成局域共振帶隙，即局域振子自身共振與結構中行波相互作用，從而抑制其傳播[17]。但對于三維軌道結構，存在對稱波與反對稱波，軌枕局域共振只能與其中一類彈性相互作用形成局域共振，但另一類波仍然可自由傳播，如圖8所示。

圖8 局域共振與鋼軌長波形成的單一耦合

在600 Hz附近，存在軌枕彎曲共振，此時軌枕彎曲共振模態(tài)為對稱模態(tài)，可以與鋼軌中對稱波相互作用形成局域共振帶隙，但不影響非對稱波的傳播。單一的局域共振模態(tài)將無法在三維軌道結構中形成完全局域共振帶隙，因而該不完全帶隙可稱之為對稱型局域共振帶隙，只有在對稱荷載激勵下才能表現為帶隙。只有當軌枕局域共振模態(tài)與鋼軌中的對稱波和反對稱波同時產生耦合作用，才能形成完全的局域共振帶隙。

3 振動響應及傳遞規(guī)律

為了進一步分析和驗證彈性波傳播特性，基于波有限元方法(WFE)計算無限長三維軌道結構振動響應。與此同時，建立由70個元胞組成的軌道結構有限元模型(FE)，在扣件上方一側鋼軌施加垂向單位簡諧荷載，加載位置處鋼軌位移響應見圖9。

圖9 有砟軌道結構響應(單側非對稱荷載)

由圖9可見，兩者吻合良好，因此可以驗證上述理論分析的正確性。除了利用波有限元方法可大大降低計算時間以外，由于軌道結構具有無限長特征，傳統有限元模型難以消除邊界彈性波的反射作用，從而使得結構響應在通帶頻率范圍內形成波動，無法得到準確結果，如圖9(a)中通帶位置。

由于只在單側鋼軌施加荷載，因此可同時激勵產生軌道結構中的對稱與反對稱波模態(tài)，從而在帶隙邊界出現兩個峰值，對應結構的對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)，如圖9(b)和圖9(c)所示。但當在兩根鋼軌施加對稱荷載時，則只能激勵產生對稱波模態(tài)，從而在帶隙邊界表現為單一峰值，如圖10所示。與此同時，在外界荷載激勵下，結構頻響函數在波模態(tài)轉換位置(f=197.7 Hz)出現了峰值。雖然該頻率并不對應任何駐波模態(tài)，但由于波模式轉換位置彈性波群速度降低至谷值，形成近似駐波。

圖10 有砟軌道結構響應(對稱荷載,WFE)

為了驗證彈性波的傳播規(guī)律，在單側鋼軌處施加垂向單位簡諧荷載以模擬非對稱激勵，在兩根鋼軌同時施加同相位的垂向單位簡諧荷載以模擬對稱激勵。以激勵位置為參考點，提取距激勵點6 m處結構響應并計算不同激勵下振動傳遞系數，如圖11所示。

圖11 有砟軌道結構振動傳遞規(guī)律

從結果可以看出，第一階垂向彎曲振動帶隙為0～127 Hz，而對于181～254 Hz范圍內局域共振帶隙則較為復雜。由于彎扭耦合的存在，在局域共振帶隙內振動傳遞系數曲線形成多個峰值(如f=188、204 Hz)，這些峰值是由于垂向激勵作用使得鋼軌產生扭轉共振(對應圖6(a)中κ=0的情況)，從而增強垂向彈性波沿結構傳遞能力，但并不會形成通帶。軌枕的一階彎曲共振使得垂向彎曲波與扭轉波產生轉換，在198～200 Hz區(qū)間形成窄通帶，通帶起始頻率對應波模式轉換位置，且在該通帶范圍內無明顯的振動傳遞峰值。根據前文分析可知，該通帶由扭轉波與彎曲波之間的轉換所形成，在結構中無法形成駐波模態(tài)，因此振動傳遞曲線在該通帶內無法形成明顯的峰值。此外，對稱激勵與非對稱激勵可得到不同的帶隙范圍，對稱激勵產生的帶隙范圍更寬。如圖11(c)所示，在非對稱荷載激勵下，可同時產生對稱模態(tài)峰值與非對稱模態(tài)峰值，帶隙截止頻率由254 Hz降低至246 Hz，因而帶隙寬度降低，且?guī)秲葘椥圆ǖ乃p能力也大幅度減小。

此外，軌枕對稱/非對稱型局域共振帶隙表現行為也與激勵類型密切相關。如600 Hz附近軌枕對稱共振模態(tài)，該局域共振模態(tài)只與結構中對稱彈性波產生耦合作用形成對稱型局域共振帶隙。因此，在非對稱荷載激勵下，產生的非對稱波可自由傳播，而在對稱激勵下，則在614～619 Hz范圍內形成局域共振帶隙，如圖12所示。

圖12 不同激勵方式下帶隙特征

在實際軌道結構中，輪軌激勵會同時產生對稱和非對稱激勵，軌道結構中的不完全局域共振帶隙將無法有效抑制彈性波的傳播。因此，三維軌道結構中的彈性波耦合效應明顯降低了局域共振帶隙對彈性波傳播的抑制作用。

4 結論

為了分析彈性波在三維軌道結構中的傳播規(guī)律，采用波有限元方法建立軌道結構元胞模型，結合周期性邊界條件求解三維軌道結構中彈性波頻散曲線，分析不同類型彈性波在軌道結構中的傳播、耦合及轉換規(guī)律。主要結論如下：

(1)相對于平面軌道結構模型，三維軌道結構模型中相鄰元胞耦合自由度增加一倍，因此結構中可傳播的彈性波類型增加一倍。當將軌枕考慮為剛體時，平面軌道模型中與三維模型部分頻散曲線基本吻合，但三維模型中還存在反對稱波模式，且?guī)秲葟椥圆ㄋp能力降低。

(2)基于模態(tài)置信準則可以實現不同類型彈性波的分離，由于軌枕局域共振作用，三維軌道結構中垂向彎曲波與扭轉波存在耦合與轉換，表現為在同一條頻散曲線中可存在不同類型為主的波模態(tài)。結合波模態(tài)分析可知，軌道結構中波模態(tài)轉換發(fā)生在群速度突變的位置。

(3)由于軌道結構存在對稱波與反對稱波，軌枕局域共振只能與單一類型波模態(tài)相互作用形成局域共振帶隙，但另一類波模態(tài)仍然可自由傳播。三維軌道結構中的彈性波耦合作用明顯降低了局域共振對彈性波傳播的抑制作用。