洪 元，劉亮堂，楊立明，祝成民

(1 航天恒星科技有限公司，北京 100086；2 北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 102206)

0 引言

飛行器的熱防護(hù)設(shè)計(jì)需要計(jì)算殼體的溫度分布。計(jì)算的關(guān)鍵是得到準(zhǔn)確的輸入熱流等邊界條件信息。對(duì)氣動(dòng)加熱的分析方法主要包括經(jīng)驗(yàn)公式、數(shù)值分析和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)。風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)最準(zhǔn)確，但實(shí)驗(yàn)費(fèi)用昂貴，且受條件限制，實(shí)驗(yàn)的相似準(zhǔn)則參數(shù)在很多情況下達(dá)不到實(shí)際飛行時(shí)的參數(shù)值，只能在少數(shù)情況下使用。經(jīng)驗(yàn)公式方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但是適用范圍窄。數(shù)值分析方法可以得到詳細(xì)的熱流分布數(shù)據(jù)，在通過實(shí)驗(yàn)校正的情況下也有較高的精度，是目前使用比較廣泛的氣動(dòng)熱分析方法。已有的研究結(jié)果表明，氣動(dòng)熱計(jì)算會(huì)受到物體表面溫度的影響，而物體表面溫度是氣動(dòng)加熱和物體內(nèi)部傳熱與蓄熱互相平衡的結(jié)果。所以只有將氣動(dòng)加熱與被加熱物體傳熱耦合計(jì)算才能保證計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況相符。但是，氣動(dòng)熱數(shù)值分析計(jì)算量大、耗時(shí)長，造成耦合計(jì)算的代價(jià)太大，不適合工程設(shè)計(jì)。為了解決這個(gè)問題，研究人員提出了快速計(jì)算方法，但是這些方法還沒有在飛行器熱防護(hù)設(shè)計(jì)中實(shí)際應(yīng)用，其有效與否仍需通過實(shí)踐檢驗(yàn)。如何在保證分析精度的基礎(chǔ)上加快計(jì)算速度仍然是氣動(dòng)加熱熱防護(hù)設(shè)計(jì)中急需解決的問題。

文中借鑒經(jīng)驗(yàn)公式方法的原理，提出了一種氣動(dòng)熱與壁面?zhèn)鳠岬乃神詈嫌?jì)算方法，該方法應(yīng)用于氣動(dòng)加熱熱防護(hù)工程設(shè)計(jì)取得了較好的效果。

1 理論描述

1.1 物理模型

假設(shè)殼體為等厚度平板結(jié)構(gòu)，內(nèi)部熱源為恒溫?zé)嵩?，其外壁面承受均勻的氣?dòng)加熱，內(nèi)壁面通過對(duì)流和輻射與內(nèi)部熱源進(jìn)行熱交換。由于殼體上下表面?zhèn)鳠峋鶆颍瑲んw內(nèi)相同深度處的溫度在任何時(shí)刻都相同，所以只需考慮熱量沿深度方向的傳遞，殼體熱響應(yīng)可簡(jiǎn)化為一維非穩(wěn)態(tài)問題，如圖1所示。

圖1 物理模型示意圖

1.2 氣動(dòng)加熱計(jì)算模型

根據(jù)邊界層傳熱有關(guān)理論，通過邊界層對(duì)壁面的對(duì)流換熱可表示為：

=(-)

(1)

式中:氣體對(duì)壁面的熱流密度;,為邊界層外緣的氣體密度和速度;為斯坦頓數(shù);為恢復(fù)焓;為壁面處氣體的焓。令=，則式(1)可簡(jiǎn)化為：

=(-)

(2)

由式(2)可以看出，氣動(dòng)加熱中的對(duì)流換熱計(jì)算可以歸結(jié)為如何確定恢復(fù)焓和換熱系數(shù)的問題。為了解決這一問題，需要使用數(shù)值分析方法求解氣動(dòng)熱問題。首先設(shè)置氣動(dòng)熱計(jì)算的壁面邊界條件為絕熱壁得到恢復(fù)焓；然后設(shè)置壁面為恒溫邊界得到參考溫度下的壁面熱流，將這兩個(gè)計(jì)算得到的和代入式(2)可求得到換熱系數(shù)值。在得到恢復(fù)焓和換熱系數(shù)后，再計(jì)算壁面溫度因內(nèi)部傳熱而改變的最終情況。該熱流作為壁面熱傳導(dǎo)方程的邊界條件給出，從而實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)熱與物體內(nèi)部傳熱的松耦合計(jì)算。

1.3 傳熱方程

根據(jù)上述物理模型假設(shè)，物體內(nèi)部熱傳導(dǎo)控制方程為：

(3)

式中:為時(shí)間;為深度;(,)為物體內(nèi)部深度為的點(diǎn)在時(shí)刻的溫度;=()為熱擴(kuò)散系數(shù);為物體的導(dǎo)熱系數(shù);為物體密度;為物體的比熱容。

1.4 邊界條件

邊界條件包括外壁面邊界和內(nèi)壁面邊界，具體如下：

1)外壁面邊界條件

殼體外壁面承受氣動(dòng)加熱的作用，考慮到輻射散熱的影響，外壁面邊界為：

(4)

式中:=，為空氣定壓比熱容;為外表面輻射系數(shù)。

2)內(nèi)壁面邊界條件

殼體內(nèi)壁面邊界條件分為兩種情況：一種內(nèi)壁面與恒溫?zé)嵩粗苯咏佑|，則有:

=，=

(5)

另一種內(nèi)壁面與恒溫?zé)嵩赐ㄟ^對(duì)流和輻射進(jìn)行換熱，則有:

(6)

式中:為殼體厚度;為恒溫?zé)嵩?為內(nèi)壁面與恒溫?zé)嵩吹膶?duì)流換熱系數(shù);為內(nèi)表面輻射系數(shù);為恒溫源輻射系數(shù)。

2 數(shù)值計(jì)算

2.1 計(jì)算方法

熱傳導(dǎo)控制方程，即式(3)為二階拋物型偏微分方程，可以采用經(jīng)典的顯式中心差分格式求解。

如圖2所示，將由空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)構(gòu)成的計(jì)算域劃分為均勻網(wǎng)格?？臻g方向的網(wǎng)格間距為，時(shí)間方向上的網(wǎng)格間距為。圖中圓點(diǎn)代表上一時(shí)間步的已知量，叉代表待求量。

圖2 差分網(wǎng)格示意圖

經(jīng)典顯式中心差分格式的計(jì)算公式為：

,+1=(-1,-2,++1,)+,

(7)

式中,=，稱為網(wǎng)格比。根據(jù)偏微分方程數(shù)值穩(wěn)定性分析，當(dāng)≤12時(shí)，數(shù)值格式是穩(wěn)定的。

2.2 邊界條件處理

1)外壁面邊界

對(duì)于外壁面邊界條件，設(shè)：

則根據(jù)式(4)有(0,+1)=0。采用牛頓迭代法求解該方程：

(8)

式中′(·)為(·)的導(dǎo)數(shù)。迭代過程中選擇1,+1為初始條件。

2)內(nèi)壁面邊界

對(duì)于內(nèi)壁面邊界條件，設(shè)邊界節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)=。如果內(nèi)壁面直接與恒溫?zé)嵩唇佑|，則有：

,+1=

(9)

如果內(nèi)表面通過對(duì)流和輻射與恒溫?zé)嵩催M(jìn)行熱交換，設(shè)：

則根據(jù)式(6)有(,+1)=0。采用牛頓迭代法求解該方程：

(10)

式中′(·)為(·)的導(dǎo)數(shù)。

3 計(jì)算結(jié)果及有效性分析

為驗(yàn)證文中分析方法的有效性，以型號(hào)1、型號(hào)2兩種導(dǎo)彈的天線窗為例，選取其經(jīng)過飛行驗(yàn)證的樣本數(shù)據(jù)與文中計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。兩導(dǎo)彈的天線窗均采用石英聚酰亞胺材料，其物性參數(shù)如表1所示。

表1 天線窗材料物性參數(shù)

3.1 案例1

型號(hào)1導(dǎo)彈天線窗厚度為5 mm，包含37 s、140 s、240 s三種飛行工況：

1)飛行工況1

飛行時(shí)間37 s，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，整個(gè)氣動(dòng)加熱過程存在兩個(gè)峰值，本模型計(jì)算結(jié)果與樣本數(shù)據(jù)基本一致，二者最大偏差為24.5 ℃，其相對(duì)誤差約為4.9%。

圖3 型號(hào)1天線窗壁溫計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖(飛行工況1)

2)飛行工況2

飛行時(shí)間140 s，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出，整個(gè)氣動(dòng)加熱過程存在3個(gè)峰值，本模型計(jì)算結(jié)果與樣本數(shù)據(jù)基本一致，二者最大偏差為5 ℃，其相對(duì)誤差約為2%。

圖4 型號(hào)1天線窗壁溫計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖(飛行工況2)

3)飛行工況3

飛行時(shí)間240 s，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，整個(gè)氣動(dòng)加熱過程存在兩個(gè)峰值，本模型計(jì)算結(jié)果與樣本數(shù)據(jù)基本一致，二者最大偏差為7 ℃，其相對(duì)誤差約為3.3%。

圖5 型號(hào)1天線窗壁溫計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖(飛行工況3)

3.2 案例2

導(dǎo)彈天線窗厚度為7 mm，其飛行時(shí)間為418 s，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

從圖中可以看出，整個(gè)氣動(dòng)加熱過程存在3個(gè)峰值，本模型計(jì)算結(jié)果與樣本數(shù)據(jù)基本一致，二者最大偏差為24 ℃，其相對(duì)誤差約為5%。

圖6 型號(hào)2天線窗壁溫計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

3.3 結(jié)果分析

通過對(duì)比可以看出，文中模型的計(jì)算結(jié)果與樣本數(shù)據(jù)整體符合性較好，計(jì)算誤差可控制在5%以內(nèi)，滿足工程設(shè)計(jì)的需求，證明了文中模型的正確性及工程應(yīng)用的可行性。

此外，文中模型采用氣動(dòng)熱與物體熱傳導(dǎo)的松耦合計(jì)算方式，其計(jì)算資源和計(jì)算時(shí)間主要集中在恢復(fù)焓和恒壁溫?zé)崃鞯挠?jì)算；傳熱計(jì)算基于一維傳熱模型完成，資源占比較小，計(jì)算時(shí)間一般不超過1 min。在氣動(dòng)熱防護(hù)設(shè)計(jì)時(shí)，由于氣動(dòng)外形變化很小，工程上可假定恢復(fù)焓和恒壁溫?zé)崃鞯葰鈩?dòng)熱環(huán)境數(shù)據(jù)一定。在這種情況下，每次迭代設(shè)計(jì)采用文中模型可在幾分鐘內(nèi)完成計(jì)算。相比于氣動(dòng)熱與熱傳導(dǎo)的緊耦合計(jì)算模型，文中模型可將計(jì)算效率提高一個(gè)量級(jí)，非常適合氣動(dòng)熱防護(hù)設(shè)計(jì)的工程應(yīng)用。

4 結(jié)論

文中建立的松耦合計(jì)算方法可以正確評(píng)估氣動(dòng)加熱對(duì)飛行器殼體等相關(guān)部件的熱響應(yīng)問題；使用恢復(fù)焓和傳熱系數(shù)解耦氣動(dòng)熱與物體熱傳導(dǎo)計(jì)算的方法具有極高的計(jì)算效率，相比于傳統(tǒng)緊耦合計(jì)算方法效率提高一個(gè)量級(jí)，滿足氣動(dòng)熱防護(hù)工程設(shè)計(jì)需求，并為高超聲速飛行器的氣動(dòng)熱防護(hù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供技術(shù)支撐。