張平 裘一能

【摘要】本文以“代數(shù)思維”這個大概念為切口，溯源“運(yùn)算定律”單元教學(xué)短板，重組“運(yùn)算定律”單元教學(xué)序列，在確定重組思路、說明重組意圖、以重組課例落實(shí)課堂教學(xué)五策略的過程中，緊緊握住本單元教學(xué)本質(zhì)，以準(zhǔn)變量思維引領(lǐng)學(xué)生由算術(shù)思維逐漸向代數(shù)思維過渡。

【關(guān)鍵詞】代數(shù)思維 運(yùn)算定律 準(zhǔn)變量思維 單元整體教學(xué)

【中圖分類號】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）04-0073-03

人教版教材四年級下冊第三單元“運(yùn)算定律”主要教學(xué)加法的交換律、結(jié)合律以及乘法的交換律、結(jié)合律、分配律，用字母表征運(yùn)算定律是代數(shù)思維在本單元的直接表達(dá)，這種表達(dá)方式在小學(xué)高年級乃至初中將被一直沿用。五條運(yùn)算定律作為“數(shù)學(xué)大廈的基石”，在整個運(yùn)算定律系統(tǒng)中發(fā)揮著重要的奠基作用。因此，本單元亦可稱為運(yùn)算定律教學(xué)的“種子單元”。

人教版《義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書·數(shù)學(xué)四年級下冊》（以下簡稱《四下教學(xué)用書》）在“運(yùn)算定律”單元的備課資料中，提供了一篇《代數(shù)思維及其教學(xué)》的文章，意在提醒教師關(guān)注本單元教學(xué)中的代數(shù)思維滲透。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師并未認(rèn)真閱讀此文，自然也沒有關(guān)注到代數(shù)思維這個概念。鑒于“運(yùn)算定律”單元在運(yùn)算定律教學(xué)中的獨(dú)特地位，本文將以“代數(shù)思維”這個大概念為切口，揭示本單元知識間的縱橫聯(lián)系，進(jìn)而構(gòu)建“運(yùn)算定律”單元整體教學(xué)的基本路徑。

一、單元整體教學(xué)的價值探討

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)決定了教學(xué)的主旨和方向。我們認(rèn)為，“運(yùn)算定律”單元學(xué)習(xí)內(nèi)容與代數(shù)思維有極大關(guān)聯(lián)。首先，所謂代數(shù)，顧名思義就是用字母或圖形符號等表示數(shù)。其次，代數(shù)思維與算術(shù)思維的本質(zhì)不同在于：算術(shù)思維是從條件出發(fā)，利用具體的數(shù)量計(jì)算來記錄思考的過程，左邊表示具體的計(jì)算，右邊則是計(jì)算的結(jié)果;代數(shù)思維研究的對象則是代數(shù)式及其運(yùn)算與變換，是通過聯(lián)系條件與問題，利用數(shù)量相等建立關(guān)系并將這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為表達(dá)式結(jié)構(gòu)的過程，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是對等關(guān)系。因此，代數(shù)思維既有代數(shù)的結(jié)構(gòu)化和符號化特點(diǎn)，又有數(shù)學(xué)思維的抽象化和概括化特點(diǎn)。從單元整體教學(xué)出發(fā)，本單元的教學(xué)價值主要體現(xiàn)在兩個方面。

（一）突顯基礎(chǔ)目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《2011年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》）關(guān)于第二學(xué)段（4—6年級）課程內(nèi)容“數(shù)的運(yùn)算”中有如下表述：探索并了解運(yùn)算律，會應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡便運(yùn)算。將運(yùn)算律與簡便運(yùn)算相提并論，關(guān)注了運(yùn)算律的應(yīng)用。人教版教材采用不完全歸納法抽象概括五條運(yùn)算定律，并用字母式表征運(yùn)算定律，體現(xiàn)了代數(shù)思維中的結(jié)構(gòu)化和符號化特點(diǎn)，為定律系統(tǒng)建立了基本模型。

（二）設(shè)計(jì)分層目標(biāo)

從基礎(chǔ)目標(biāo)出發(fā)，設(shè)計(jì)“運(yùn)算定律”單元的第一層次目標(biāo)，應(yīng)是讓學(xué)生學(xué)會在一組相等的式子中厘清對等關(guān)系，發(fā)現(xiàn)對等思想的本質(zhì)，從中歸納概括相應(yīng)的運(yùn)算律;第二層次目標(biāo)，應(yīng)是讓學(xué)生學(xué)會靈活運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算。

二、“運(yùn)算定律”教學(xué)的短板溯源

（一）“運(yùn)算定律”教學(xué)短板分析

在“運(yùn)算定律”單元教學(xué)中，一線教師更加注重引導(dǎo)學(xué)生理解整數(shù)四則運(yùn)算的意義，體會運(yùn)算之間的關(guān)系，選擇合理的算法運(yùn)用運(yùn)算定律，而往往忽視了運(yùn)算定律產(chǎn)生及運(yùn)用的前提是式與式之間的對等關(guān)系。

人教版教材將“運(yùn)算定律”單元排在了“四則運(yùn)算”單元之后，目的就是告訴師生，運(yùn)算定律必須遵循四則運(yùn)算規(guī)則，在對四則運(yùn)算的原式進(jìn)行變式的過程中必須確保變式前后式與式的對等關(guān)系。然而，教師在教學(xué)中因?yàn)楹雎粤藢Α皩Φ汝P(guān)系”的強(qiáng)化，導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)入簡便計(jì)算后很容易產(chǎn)生各種認(rèn)知沖突。如，很多小學(xué)生會有這樣的疑問：35×49+35×51按照原先講的四則運(yùn)算的順序，應(yīng)該先計(jì)算乘法，再將它們的積相加;為什么到了簡便計(jì)算時又可以先算加法了呢？更多學(xué)生在學(xué)了運(yùn)算定律和簡便計(jì)算后，在進(jìn)行一般的四則混合運(yùn)算時錯誤率反而升高，原因竟是“亂用定律”“強(qiáng)行簡便計(jì)算”所致。

毫無疑問，靈活運(yùn)用運(yùn)算定律是數(shù)學(xué)教師對學(xué)生的共同期盼。但現(xiàn)實(shí)是，很多學(xué)生不會靈活運(yùn)用運(yùn)算定律。于是，教師落入俗套的做法便是多練，試圖以練促活，或者借一題多解訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算的技能，但結(jié)果總是不盡如人意。

（二）“運(yùn)算定律”教學(xué)短板歸因分析

從教材層面講，“運(yùn)算定律”單元編排體系清晰。8個例題都是從情境出發(fā)，通過不同方法的列式計(jì)算，得出兩個相等的式子;再通過類似例子的枚舉，歸納出運(yùn)算定律。這樣的編排，最顯性的體現(xiàn)就是引導(dǎo)教師從形的角度入手，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出定律，形成建模。而對等思想的呈現(xiàn)與字母式歸納成模只是浸潤在教材當(dāng)中，代數(shù)思維的培養(yǎng)相對隱蔽，容易被忽略。

從教師層面講，多數(shù)教師對“運(yùn)算定律”的教學(xué)是建立在經(jīng)驗(yàn)與目標(biāo)表象之上的，很少去深層次理解運(yùn)算定律背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)。

三、單元整體教學(xué)的序列路徑

（一）教學(xué)重組的基本思路

首先，立足學(xué)科高度，從具體內(nèi)容出發(fā)確立向“代數(shù)思維”過渡的大概念，形成由“對等”主線貫穿的單元知識體系。

其次，根據(jù)《2011年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》要求和學(xué)情分析，借助代數(shù)思維早期孕伏階段的學(xué)情基礎(chǔ)，在單元整體教學(xué)中啟用準(zhǔn)變量思維，解決算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的難題。準(zhǔn)變量思維的主要對象是非符號化的語句或表達(dá)式，其本質(zhì)是一種整體性思維、關(guān)系性思維、結(jié)構(gòu)性思維，而運(yùn)算定律中的對等思想便是關(guān)系思維的一種。如，第一學(xué)段的人教版教材中便已經(jīng)孕伏了與交換律、結(jié)合律、分配律相關(guān)的一些練習(xí)，如圖1所示。

最后，運(yùn)用符號系統(tǒng)促進(jìn)代數(shù)思維在“運(yùn)算定律”單元整體教學(xué)的落地實(shí)施。

（二）重組序列的課時說明

“運(yùn)算定律”單元，《四下教學(xué)用書》建議用7個課時。在“代數(shù)思維”大概念引領(lǐng)下，我們將本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容劃分成對等中的交換律（第一課時）、對等中的結(jié)合律（第二課時）、對等中的減法和除法的簡便計(jì)算（第三、第四課時）、對等中的分配律（第五、第六課時）四個學(xué)習(xí)板塊，并另辟了一個運(yùn)算定律融合練習(xí)板塊（第七課時），如表1所示。

教學(xué)內(nèi)容重組，希望達(dá)成如下教學(xué)意圖：第一，讓準(zhǔn)變量思維架接交換律思維的困點(diǎn)?！皫е柊峒摇笔沁B加連乘與減法除法交換位置進(jìn)行計(jì)算的有效方法。通常情況下，加法和乘法交換對等，學(xué)生比較容易接受;但減法和除法中的交換對等，學(xué)生較難處理。而準(zhǔn)變量思維有助于學(xué)生突破減法和除法交換對等的困境。第二，讓準(zhǔn)變量思維點(diǎn)亮結(jié)合律思維的盲點(diǎn)。去、添括號是加減混合運(yùn)算、乘除混合運(yùn)算中的“結(jié)合”盲點(diǎn)，同號結(jié)合易，異號結(jié)合難。借助準(zhǔn)變量思維連接，找準(zhǔn)去、添括號后的相等關(guān)系，是結(jié)合律教學(xué)的重點(diǎn)。第三，讓準(zhǔn)變量思維突破分配律學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。分配律的運(yùn)用一般包含著幾個幾加減幾個幾“等于”幾個幾的準(zhǔn)變量思維內(nèi)涵。找準(zhǔn)相同因數(shù)個數(shù)相等由淺入深地突破分配律的內(nèi)涵，消除為何乘法分配律中有加減的疑惑，感受分配對等下的定律。

重組后的教學(xué)，應(yīng)緊緊圍繞“代數(shù)思維”的大概念，在準(zhǔn)變量思維牽引下，讓學(xué)生感受交換、結(jié)合、分配等方法，靈活運(yùn)用“湊整”“相消”等計(jì)算工具完成巧算，得出相應(yīng)的運(yùn)算定律，進(jìn)而形成“內(nèi)核本質(zhì)出發(fā)→實(shí)踐運(yùn)用落實(shí)→代數(shù)符號表征”的教學(xué)序列。

（三）重組教學(xué)的課例枚舉

基于代數(shù)思維進(jìn)行運(yùn)算定律單元整體教學(xué)，我們以“分配律”教學(xué)為例，探討如何在教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)我們的前期思考，讓“運(yùn)算定律”單元整體教學(xué)走在代數(shù)思維相伴發(fā)生的路上。

策略一：喚醒早期代數(shù)思維經(jīng)驗(yàn)，形成對對等的直視。

出示情境：在嘉年華活動中買套環(huán)，購買紅色125個、藍(lán)色25個，每個4元，一共多少錢？

師：你會求嗎？會用幾種方法求？（要求不計(jì)算，只列式）

學(xué)生呈現(xiàn)兩種方法：125×4+25×4和（125+25）×4。兩種方法寫成等式是125×4+25×4=（125+25）×4。

師：“相等”體現(xiàn)在哪里？

生：都是求150個4，兩個式子相等。

設(shè)計(jì)意圖：以上情境，用于喚醒學(xué)生早期的代數(shù)思維經(jīng)驗(yàn)。要求只列式不計(jì)算，旨在將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引向式子之間的關(guān)系：如若進(jìn)行結(jié)果計(jì)算，容易對關(guān)系探索產(chǎn)生負(fù)遷移;弱化因果計(jì)算，便可以讓學(xué)生集中精力從表達(dá)意義上感受式與式之間的相等。

策略二：相等關(guān)系多層表達(dá)，建立對對等的代數(shù)深思。

師：你能用畫圖、寫意義、算結(jié)果、建聯(lián)系等多種方法來表示這兩個式子都是在求150個4嗎？很直觀地讓我們看到這兩個式子確實(shí)存在相等的關(guān)系。

學(xué)生實(shí)踐，表達(dá)交流。

設(shè)計(jì)意圖：“相等”作為運(yùn)算定律應(yīng)用的首要條件，可以通過畫圖、寫意義、算結(jié)果、建聯(lián)系四個不同的角度加以說明。這種相等思維超越因果，構(gòu)成聯(lián)系，是對對等的代數(shù)深思。

策略三：代數(shù)思維一舉勾連，跨越式發(fā)展形成符號表征。

師：你能舉一個類似的例子嗎？

生1：蘋果和梨各5千克，蘋果3元一千克，梨8元一千克，共多少錢？

生2：客車每小時行65千米，貨車每小時行36千米，兩車同時出發(fā)，7小時后相遇，兩地相距多少千米？

……

讓學(xué)生先列出等式，再交流下面的問題：你能用一個式子把這些例子中所要表達(dá)的關(guān)系表示出來嗎？

生順利列出等式（a+b）×c=a×c+b×c。

設(shè)計(jì)意圖：每個例子都能形成一個等式，完成關(guān)系的勾連。一組等式用字母式表征，則是對式與式關(guān)系的勾連。代數(shù)思維是形成勾連的前提，字母式表示運(yùn)算定律是形成勾連的結(jié)果。

策略四：準(zhǔn)變量思維助力，搭建計(jì)算思維向代數(shù)思維過渡的橋梁。

師：式子對等在計(jì)算上有用嗎？

生：可以讓計(jì)算簡單。如65×7+35×7，先乘后加計(jì)算復(fù)雜;（65+35）×7，先加后乘容易。

師：101×36，你能在找相等的幫助下進(jìn)行計(jì)算嗎？

生：101=100+1，式子就成了（100+1）×36，分配計(jì)算就簡單了。

設(shè)計(jì)意圖：小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到準(zhǔn)變量思維。101=100+1這類對等的式子是運(yùn)算定律建構(gòu)的前提。在課堂教學(xué)中強(qiáng)化師生討論，對學(xué)生進(jìn)行準(zhǔn)變量思維的啟發(fā)、引導(dǎo)，有助于學(xué)生從計(jì)算思維向代數(shù)思維順利過渡。

策略五：多層次遞進(jìn)練習(xí)，代數(shù)思維助推分配律活用。

層次1.判斷下面哪些算式運(yùn)用了乘法分配律。

（1）132×3+132×7=132×（3+7）

（2）25×（4×6）=25×6×4

（3）9×a+a×6=（9+6）×a

層次2.根據(jù)運(yùn)算定律填空。

18×（11+12）=18×（? ）+12×（? ）

52×a-（? ）×b=（? ）×（a-b）

層次3.填空。

（1）在（? ）里填上合適的數(shù)，并進(jìn)行簡便計(jì)算：25×（? ）+43×（? ）

（2）在橫線上填寫數(shù)與運(yùn)算符號，使式子能簡便計(jì)算：25×43

設(shè)計(jì)意圖：層次性練習(xí)由淺入深，在代數(shù)思維的助推下，學(xué)生靈活運(yùn)用乘法分配律的能力得以形成。

總之，基于代數(shù)思維這個大概念開展“運(yùn)算定律”單元整體教學(xué)，握住的是本質(zhì)核心，邁向的是深度思維，實(shí)現(xiàn)的是教學(xué)通透。

參考文獻(xiàn)

[1]李星云.論小學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)[J].廣西教育，2019（40）：65-68.

[2]頓繼安，何彩霞.大概念統(tǒng)攝下的單元教學(xué)設(shè)計(jì)[J].基礎(chǔ)教育課程，2019（18）：6-11.

作者簡介：張平（1983— ），小學(xué)一級教師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);裘一能（2002— ），在讀本科，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 白聰敏）