李鴻

（福州教育學(xué)院附屬中學(xué)，福建 福州 350013）

幾何綜合題在初中數(shù)學(xué)水平考試評(píng)價(jià)中是常見(jiàn)的一類評(píng)價(jià)試題，它常以基本圖形為載體，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題形成的過(guò)程、思維方式、思維水平、對(duì)相關(guān)知識(shí)方法理解的深度以及能否用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言有條理地?cái)?shù)學(xué)表達(dá)的數(shù)學(xué)思考等。［1］那么如何從綜合問(wèn)題的復(fù)雜圖形中拆解出基本幾何圖形，這是解決幾何綜合題的關(guān)鍵，這需要掌握好基本幾何圖形的識(shí)圖與構(gòu)圖。教師在教學(xué)中需要重視對(duì)幾何基本圖形的教學(xué)研究，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何基本圖形的特征，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用基本幾何圖形，化繁為簡(jiǎn)地解決復(fù)雜幾何圖形綜合問(wèn)題。

一、復(fù)雜圖形構(gòu)建的綜合問(wèn)題

（一）以圓與直線型幾何圖形結(jié)合的綜合問(wèn)題

1.由圓與直線組合構(gòu)建的復(fù)雜幾何圖形綜合問(wèn)題，圖形的復(fù)雜需要學(xué)生學(xué)會(huì)把組合的圖形變單一基本幾何圖形的來(lái)解決綜合性問(wèn)題，提升學(xué)生的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。［2］

2.復(fù)雜圖形中基本幾何圖形的隱蔽性，外顯變成內(nèi)隱，問(wèn)題解決意在評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)基本幾何圖形的認(rèn)識(shí)與理解的水平層次，是否具備創(chuàng)造性解決問(wèn)題思維水平。

比如圓與直線型幾何圖形結(jié)合時(shí)，原圖中并不出現(xiàn)圓，而是以其他直線型幾何圖形特征的存在直觀想象隱藏圓的存在，需將隱藏圓還原出來(lái)。而有的直線型幾何圖形的基本模型隱去一部分圖形，使得圖形并不完整，需要進(jìn)行構(gòu)圖，將基本模型還原。

3.增加圖形的抽象型、新穎度以及可能型，這類問(wèn)題在于考查學(xué)生的抽象概括能力以及知識(shí)的應(yīng)用遷移能力與思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。［3］

例1：如圖1，四邊形ABCD 內(nèi)接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足為E，點(diǎn)F 在BD 的延長(zhǎng)線上，且DF=DC，連接AF、CF.

圖1

（1）求證：∠BAC=2∠CAD；

解析：第（1）問(wèn)實(shí)際上是圓自身的“弧、弦、圓心角、圓周角”之間的基本性質(zhì)的AB 綜合應(yīng)用。由條件“AB=AC”可得因此∠ABC=∠ACB.而在△ABC 中，由三角形內(nèi)角和等于180°可得，；由條件“AC⊥BD，垂足為E”可得，在Rt△ABC 中，∠ADB=90°－∠CAD；從而∠BAC=2∠CAD。

第（2）問(wèn)實(shí)際上是由幾個(gè)常用的直線型幾何模型組合而成。如圖2（1）是軸對(duì)稱模型，由條件“DF=DC”可得∠BDC=2 ∠CFD，結(jié)合（1）的結(jié)論∠BAC=2∠CAD 以及∠BDC=∠BAC，∠CAD=∠CBD，可得∠CFD=∠CBD，又因?yàn)椤癆C⊥BD，垂足為E”，所以AC 垂直平分BF，因此AC=AB=AF=10；如圖2（3）是雙直角共邊直角三角形模型，應(yīng)用勾股定理建立方程102-AE2=，解得AE=6，所以CE=4，再在Rt△ABE 中用勾股定理求得BE=8；如圖2（3）是“X”型相似模型，可得，解得DE=3，所以BD=11；如圖2（4）是三角形的等積模型，可得AB·DH=BD·AE，即：10×DH=11×6，解得再在Rt△ADH 中用勾股定理求得所以

圖2 （1）

圖2 （2）

圖2 （3）

圖2 （4）

（二）圓的性質(zhì)綜合應(yīng)用的問(wèn)題

圓相關(guān)知識(shí)綜合應(yīng)用的考查是中考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，圓作為一個(gè)考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的載體，除了上述常與直線形幾何圖形結(jié)合的考查外，常見(jiàn)的題目命制用到的重要性質(zhì)及技法有：①運(yùn)用圓是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形可以對(duì)相關(guān)結(jié)論作合理的猜測(cè)；②利用垂徑定理，通過(guò)在由半弦、半徑、弦心距組合成的直角三角形，運(yùn)用勾股定理或銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算；③在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距等量對(duì)等量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化相等關(guān)系；④由直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形以及與扇形面積有關(guān)的證明與計(jì)算也是圓的綜合題中的另一個(gè)熱點(diǎn)題型，求與圓有關(guān)的陰影部分的面積時(shí)，常常是通過(guò)把不規(guī)則圖形的面積，用扇形的面積和三角形的面積的和差來(lái)解決。

例2：如圖3，O 是Rt△ABC 斜邊BC 邊上一點(diǎn)，以O(shè) 為圓心的半圓與三角形的兩直角邊AB、AC 分別相切于D、E 兩點(diǎn)，連接OD.已知AD=3，OB=

圖3

求：（1）sin∠C；（2）圖中兩部分陰影面積的和.

解析：本題第（1）問(wèn)的命題背景是圓切線性質(zhì)的應(yīng)用，由條件“以O(shè) 為圓心的半圓分別與AB、AC 邊相切于D、E 兩點(diǎn)”，應(yīng)用圓切線的性質(zhì)，連接OE 后，圖中出現(xiàn)了Rt△COE，Rt△BAC，Rt△BOD，結(jié)合OD=OE，得到正方形ADOE，所以O(shè)D∥AC，OD=AD=3，所以∠BOD=∠C，所以在Rt△BOD 中，

第（2）問(wèn)是與圓有關(guān)的陰影部分的面積計(jì)算的考查，把不規(guī)則圖形的面積計(jì)算轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和差運(yùn)算，S陰影=S△BOD+S△COE-（S扇形DOM+S扇形EON），結(jié)合（1）中得到的結(jié)論便可進(jìn)行運(yùn)算。

二、基本幾何圖形的應(yīng)用

（一）應(yīng)用圓的基本性質(zhì)構(gòu)造常用的基本幾何圖形

1.如圖4，基于垂徑定理，涉及圓中有關(guān)弦長(zhǎng)、半徑、弦心距的計(jì)算問(wèn)題大都過(guò)圓心作弦的垂線段，構(gòu)造直角三角形。

圖4

2.如圖5，基于定理“直徑所對(duì)的圓周角是90°”，已知直徑，大都連接圓中的一些線段與直徑構(gòu)造直角三角形。

圖5

3.如圖6，基于切線的性質(zhì)定理，遇到直線與圓相切，常常連接圓心與切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)得到垂直，再利用直角三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

圖6

4.如圖7，基于三角函數(shù)概念的應(yīng)用，在圓中可得到一個(gè)常用的結(jié)論：一條圓的弦長(zhǎng)，及它所對(duì)的圓周角度數(shù)，直徑這三者的數(shù)量關(guān)系是：弦長(zhǎng)=直徑˙sin（弦所對(duì)的圓周角）。由此建立一個(gè)意識(shí)：圓中的弦長(zhǎng)、直徑、弦所對(duì)的圓周角，這三個(gè)量中已知兩個(gè)，第三個(gè)量一定可解。

圖7

（二）語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，還原圖形生成的過(guò)程

用好數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，還原圖形的生成過(guò)程或便可從中分離出基本圖形，理解圖形的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

例3：如圖8，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，P 是直線y=2 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為1，直線OQ 切⊙P于點(diǎn)Q，則線段OQ 的最小值為_(kāi)_____.

圖8

解析：由條件“直線OQ 切⊙P于點(diǎn)Q”可得到PQ⊥OQ，由“P 是直線y=2 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為1”可得到⊙P是一個(gè)半徑確定，圓心運(yùn)動(dòng)的圓，那么由這兩個(gè)條件的符號(hào)語(yǔ)言結(jié)合圖形語(yǔ)言可轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言理解為“直角三角形OPQ 中，邊PQ=1 是確定的，點(diǎn)P 是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q 是被動(dòng)點(diǎn)，那么根據(jù)勾股定 理 知，在Rt△OPQ中，OQ=，那么線段OQ 的長(zhǎng)度大小由OP 決定，OP最小則OQ 最小”，這樣通過(guò)文字語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化理解題意后，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“垂線段最短”的公理的模型應(yīng)用，當(dāng)OP 垂直于直線y=2 時(shí)候，線段OP 長(zhǎng)度最小為2，那么本題得到解決。

（三）以基本幾何圖形為主結(jié)構(gòu)，補(bǔ)全構(gòu)圖，激活核心條件

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注基本幾何圖形結(jié)構(gòu)特征，激活問(wèn)題中的核心條件。從題目顯性條件的基礎(chǔ)上，挖掘題目的隱性條件，在問(wèn)題“核心條件”的激活上思考，通過(guò)添加輔助線，補(bǔ)全構(gòu)圖，以達(dá)到目標(biāo)問(wèn)題的順利解決。

例4：如圖9，⊙O 為等邊△ABC 的外接圓，半徑為2，點(diǎn)D 在劣弧AB 上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A，B 重合)，連接DA，DB，DC.探究四邊形ADBC 的面積S 是線段DC的長(zhǎng)x 的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

圖9

解析：本題激活核心條件“等邊△ABC”，如圖10，補(bǔ)全手拉手模型的構(gòu)圖：延長(zhǎng)DB 至H，使得DH=DC，連接CH,結(jié)合∠BDC=∠BAC=60°□等邊△DHC，結(jié)合等邊△ABC,構(gòu)圖了手拉手模型□△ADC≌△BHC □四 邊 形ADBC的 面 積S=S△ADC+S△BDC=

（四）復(fù)雜圖形分解為基本幾何圖形的基本思路

復(fù)雜的圓幾何綜合題通常是由圓與直線型、圓與圓型的幾何圖形的組合，使得圖形復(fù)雜化，應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把復(fù)雜的圖形拆解成基本幾何圖形，還原圖形原來(lái)的模樣。

例5：已知四邊形ABCD 是⊙O 的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O 的直徑，DE⊥AB，垂足為E,延長(zhǎng)DE 交⊙O 于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC，F(xiàn)B 交于點(diǎn)P，如圖11（1），求證：PC=PB,（2）過(guò)點(diǎn)B 作BG⊥AD，垂足為G，BG 交DE 于點(diǎn)H，且點(diǎn)O 和點(diǎn)A 都在DE 的左側(cè)，如圖11（2），若AB=DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE 的大小.

圖11 （1）

圖11 （2）

解析：本題第（1）問(wèn)只需從題目條件從原圖中分離出以下幾個(gè)基本圖形：

從條件“四邊形ABCD 是⊙O 的內(nèi)接四邊形”中分離出圖12（1）可推得∠BAD=∠PCB,

從條件“AC 是⊙O 的直徑”中分離出圖12（2）可推得∠CBA=∠CDA=90°，

從定理“同弧所對(duì)的圓周角是90°”中分離出圖12（3）可推得∠DAB=∠F，

從條件“DE⊥AB”以及∠CBA=90°中分離出圖12（4）可推得∠CBP=∠F

從以上分離出的四個(gè)基本圖形及其得到的結(jié)論可得到∠CBP=∠PCB,從而PC=PB.

本題第（2）問(wèn)從題目條件和原圖中分離出以下幾個(gè)基本圖形可以得到順利解決：

從條件“BG⊥AD”結(jié)合第（1）的證明過(guò)程得到的∠ADC=90°，可得到BH∥DC，由（1）已證BC∥DH，故分離出圖12（5），四邊形DHBC 是平行四邊形，設(shè)DH與OC 交予N 點(diǎn)，則∠ONH=∠ACB=60°，∠BDE=∠DBC,從條件“AB=，DH=1”結(jié)合第（1）問(wèn)的證明過(guò)程得到的∠ABC=90°，可得到AC=2，即⊙O 的半徑=1，故分離出圖12（6）,可得到長(zhǎng)度等于半徑的線段有OD=OA=OC=BC=DH，從圖（6）得到的結(jié)論可分離出圖12（7）和12（8）可得到等腰△ODH 和等腰△OAD,從條件∠OHD=80°結(jié)合圖12（7）得到的結(jié)論可得到∠ODH=20°，再結(jié)合已得到的結(jié)論“∠ONH=60°”可得到∠DOC=40°，結(jié)合圖12（8）得到的結(jié)論可得到∠ADO=20°，結(jié)合從原圖中分離出的圖12（9）得到的∠ADB=∠ACB=60°可得到∠BDE=∠ADB－∠ADO－∠ODH=20°，故問(wèn)題（2）得到解決。

圖12 （1）

圖12 （2）

圖12 （3）

圖12 （4）

圖12 （5）

圖12 （6）

圖12 （7）

圖12 （8）

圖12 （9）

（五）隱藏圓的應(yīng)用

1.如圖13，根據(jù)圓的定義構(gòu)造圓，圓，一中同長(zhǎng)也——《墨子·經(jīng)上》

圖13

2.常見(jiàn)的“四點(diǎn)共圓”基本模型

如圖14，在中考題中涉及的“四點(diǎn)共圓”就是共斜邊且異側(cè)雙直角與同側(cè)雙直角模型

圖14

例6：如圖15，以直角△ABC 的斜邊BC 為邊在△ABC 的同側(cè)作正方形BCEF,設(shè)正方形的中心為點(diǎn)O，連接AO，如果AB=4,AO=，則AC=

圖15

解析：本題由條件可得，∠BAC=90°，∠BOC=90°，這就構(gòu)成了以BC 為公共斜邊的同側(cè)雙直角模型可推得點(diǎn)B、A、O、C 四點(diǎn)共圓，可得到∠OAC=∠OBC=45°，所以∠BAD=45°，所以△ABD 和△ACG 是等腰直角三角形，結(jié)合條件AB=4，可得到，再結(jié)合條件，得 到，由“K 形圖”結(jié)合OB=OA，可推得△ADO≌△OCG，所以CG=OD=由已得到的△ACG 是等腰直角三角形可得到AC=16.

圖16

3.定角定弦的隱圓_建立應(yīng)用圓周角定理構(gòu)造圓的意識(shí)

如圖17，點(diǎn)D 是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、B 是定點(diǎn)，當(dāng)滿足∠ADB=α（α 是一個(gè)固定值），那么點(diǎn)D 的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以I 為圓心，IA為半徑的優(yōu)弧AB 和以AB 為對(duì)稱軸的另一側(cè)的優(yōu)弧AB，結(jié)合一個(gè)定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)D的距離，可求最大值與最小值問(wèn)題。

圖17

幾何綜合題圖形構(gòu)建復(fù)雜，問(wèn)題解決需要綜合思考，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用以上解決問(wèn)題基本思考方法，學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中還原命題原來(lái)的基本幾何圖形模型，培育學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物；促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成常態(tài)化的思維習(xí)慣，培育學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考；合理表達(dá)如何從復(fù)雜圖形分解成基本幾何圖形，借助基本幾何圖形將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思維過(guò)程，培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)，達(dá)到提升學(xué)生解決這類綜合問(wèn)題的能力。［4］