張 田，孫銘悅，何 理

（大連海事大學 交通運輸工程學院，遼寧 大連 116026）

0 引言

抗風設(shè)計是橋梁設(shè)計的重要組成部分，橋址區(qū)設(shè)計風速的推算是橋梁抗風設(shè)計的基礎(chǔ)，是保障橋梁抗風安全首要解決的問題.目前，推算橋址區(qū)風速的一般方法是按實測資料序列計算統(tǒng)計參數(shù)，包括均值、標準差σ、離差系數(shù)Cv、偏差系數(shù)Cs，由以上參數(shù)確定一條理論頻率分布曲線（極值-I型曲線或Pearson-III型曲線）[1-4]，再計算不同重現(xiàn)期下的設(shè)計風速值.然而，由于實測資料觀測年限與總體相比相差很遠，而且經(jīng)驗頻率點分布不是一條光滑連續(xù)曲線，直接由統(tǒng)計參數(shù)得到的理論頻率分布曲線與經(jīng)驗頻率點偏離較大.因此，借鑒水文學中推算設(shè)計流量的方法[5]，即適線法，通過調(diào)整統(tǒng)計參數(shù)值，以一定的準則選配出一條與經(jīng)驗頻率點擬合最好的理論頻率分布曲線，進而推算設(shè)計風速.

1 橋址區(qū)風速理論頻率分布曲線

由于氣象記錄中的極大風速值是觀測期內(nèi)的極大值，工程中可能遇到的極端風速情況不能簡單地取氣象資料中觀測到的極大值，而需要利用最大風速的頻率分布來推算橋位處的風速極值.常用的風速頻率分布曲線形式有極值-I型和Pearson-III型[6-9].

1.1 極值-I型分布曲線

極值-I型分布函數(shù)為

其超過保證率的函數(shù)為

式中，x為隨機變量；xp為頻率p時的隨機變量取值；α和μ分別為分布的尺度參數(shù)和位置參數(shù)，只要利用已知的樣本序列x1，x2，…，xn-1，xn，合理估計出參數(shù)α和μ的值，則F(x)就可確定.

重現(xiàn)期為T年（累積頻率為p=1/T）的風速值可表示為

對于參數(shù)α和μ的估計，可以采用矩法.由數(shù)學期望和方差的計算公式，進一步推導得

一般采用有限樣本容量的均值和標準差作為理論值Ex和σ的近似估計.

1.2 Pearson-III型分布曲線

設(shè)風速值為隨機變量x，則Pearson-III型曲線的密度函數(shù)為

式中，Γ(α)為α的伽馬函數(shù)，α、β和x0為曲線的參數(shù)，可以用樣本序列的3個統(tǒng)計參數(shù)即均值、離差系數(shù)Cv和偏差系數(shù)Cs來表示

式中，

式中，n為樣本數(shù)，σ為樣本推算總體的標準差.

計算時不計算α、β和x0，只計算、Cv和Cs，以及給定工程設(shè)計的標準，即重現(xiàn)期T的設(shè)計要求，則累積頻率p=1/T，于是有

對式（8）進行積分計算，就可以得到頻率分布曲線縱坐標值，即累積頻率p對應的隨機變量值為

式中，Φ為離均系數(shù)，是頻率和偏差系數(shù)的函數(shù)，

2 風速頻率分布曲線的適線調(diào)整

2.1 適線法及其準則

適線法為選定最優(yōu)理論頻率曲線的方法，即通過不斷優(yōu)化調(diào)整統(tǒng)計參數(shù)，繪制多條理論頻率曲線，選擇其中與實測資料吻合最好的曲線作為最終的理論頻率曲線.適線之前需要繪制經(jīng)驗頻率點圖，其步驟為：將已知的風速序列不論年序按數(shù)值大小遞減次序排列x1≥x2≥…≥xi≥…≥xn-1≥xn；按Weibull公式，即式（10），計算各風速值的經(jīng)驗頻率，并在海森機率格紙上繪出經(jīng)驗頻率點群.

式中，P為風速系列中第i項隨機變量的經(jīng)驗頻率；n為風速系列的容量；i為計算隨機變量的序號.

根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計相關(guān)計算方法，適線準則可以采用離（殘）差平方和最小準則（OLS準則）和離（殘）差絕對值和最小準則（ABS準則）.

①由OLS準則得目標函數(shù)為

②由ABS準則得目標函數(shù)為

2.2 對極值-I型曲線的適線調(diào)整

對極值-I型分布曲線，由上述兩種不同的適線準則給出的目標函數(shù)，將式（3）代入式（11）、式（12）得

以O(shè)LS準則為例給出計算過程，若Q1取最小值，則令和?Q1?α=0，則有

式（15）是關(guān)于α和μ的非線性方程組，可采用迭代法求解.令

設(shè)迭代的初始值為 1α和1μ，將式（4）計算結(jié)果作為初始值.將 1φ和 2φ在(1α,1μ)的鄰域作Taylor展開，略去高次項后的迭代方程組為

直到滿足下式時迭代終止，即

式中，1ε和 2ε為預先給定的允許誤差.

2.3 對Pearson-III型曲線的適線調(diào)整

對Pearson-III型分布曲線，將式（9）代入式（11）、式（12）得

以O(shè)LS準則為例，若Q1取最小值，則令和，有

由于經(jīng)驗頻率pi為已知，所以給定一個Cs，可以查表求出與pi相對應的Φi，由式（22）按上述迭代求解方法可解出此時使Q1最小的和Cv值.為此，將Cs從0開始，按步長Δ增長（取Δ為0.001），從而得到不同組值，每一組值都對應一條Pearson-III型理論頻率曲線，也對應一個按式（20）計算的Q1值，最后選用使Q1最小的一組作為計算結(jié)果.

2.4 模擬退火算法計算統(tǒng)計參數(shù)

對極值-I型或Pearson-III型分布曲線的參數(shù)，雖然可以由上述的迭代方法求解，但從推導過程可以看出，該方法需要推求偏導數(shù)矩陣，且涉及到矩陣的求逆過程，求解復雜，收斂速度較慢.可以采用模擬退火算法[10-13]，該方法對優(yōu)化目標要求較低，一般只需要知道其數(shù)值關(guān)系，不受函數(shù)連續(xù)性、光滑性的限制，避免了大量求導數(shù)計算.

采用模擬退火算法對于一般無約束優(yōu)化求最小值問題的求解過程[14-17]如下.

（1）給定起始溫度T0、終止溫度Tfinal和初始解x0.

（2）在x0的鄰域內(nèi)模擬產(chǎn)生隨機擾動Δx.

（3）計算擾動引起的目標函數(shù)值的變化ΔE.

（4）若ΔE≤0，接受新值x→x0+Δx，轉(zhuǎn)向步驟（5）；否則，若exp(ΔE/T)＞rand(0,1)，rand(0,1)表示0～1內(nèi)的隨機數(shù)，也接受新值x→x0+Δx，轉(zhuǎn)向步驟（5）；否則就拒絕x→x0+Δx，轉(zhuǎn)向步驟（6）.

（5）按退火策略進行降溫T→update(T).

采用指數(shù)退溫方式，設(shè)tk、tk-1分別為第k和k-1次迭代時的溫度，t0為初始溫度，η為參數(shù)，tk=η·tk-1.

（6）是否滿足T＞Tfinal?若滿足，則輸出求解結(jié)果，結(jié)束迭代計算；否則，轉(zhuǎn)向步驟（2）.

3 計算實例

作為實例，以貴州省興仁縣氣象站1966-1998年的實測風速資料按不同的推斷方法推算氣象站10 m高度處的設(shè)計風速值，經(jīng)高度換算后的實測資料[7]列于表1，其中1975年、1992年的資料缺失.

表1 興仁縣10 m高度，年最大10 min平均風速 Tab.1 annual maximum 10 min average wind speed data at 10 m altitude in Xingren County

根據(jù)表1的觀測資料可以計算經(jīng)驗頻率點群圖，同時計算各統(tǒng)計參數(shù)的初始值，即α0、μ0，、Cv0、Cs0.為了使理論頻率曲線與經(jīng)驗頻率點群吻合得更好，采用文中提出的模擬退火算法，按2種適線準則逐步調(diào)整統(tǒng)計參數(shù)以獲得最優(yōu)解，計算的統(tǒng)計參數(shù)和目標函數(shù)結(jié)果列于表2.

表2 不同方法獲得的參數(shù)及目標函數(shù)值 Tab.2 parameters and objective function values obtained by different methods

從表2可以發(fā)現(xiàn)，無論采用那種準則，應用模擬退火算法計算出的統(tǒng)計參數(shù)均優(yōu)于直接計算方法.利用上述方法求出的統(tǒng)計參數(shù)，來擬合理論頻率曲線，見圖1，進而求出不同重現(xiàn)期的設(shè)計風速列于表3.分布曲線的吻合程度可以通過直接觀察分布曲線與經(jīng)驗頻率點群圖像或判定系數(shù)檢驗、誤差平方和檢驗等方法確定.在圖1中將理論頻率分布曲線與經(jīng)驗頻率點群分布比較，可以直觀地看出Pearson-III型曲線作為理論頻率分布曲線與經(jīng)驗頻率點群吻合得更好.

圖1 經(jīng)驗頻率點及擬合頻率 Fig.1 empirical frequency point and fitting frequency

表3 不同重現(xiàn)期時采用模擬退火算法推算的設(shè)計風速 Tab.3 design wind speed calculated by simulated annealing algorithm in different return periods

由表3和圖1可以發(fā)現(xiàn)，若采用Pearson-III型曲線作為理論頻率分布曲線，運用模擬退火算法計算出的統(tǒng)計參數(shù)，所得的不同重現(xiàn)期時的設(shè)計風速差別不大，可見模擬退火算法計算統(tǒng)計參數(shù)是有效可行的.

4 結(jié)論

（1）提出適線法，通過不斷調(diào)整統(tǒng)計參數(shù)，使理論頻率曲線與經(jīng)驗頻率點群盡可能吻合良好，同時給出相應的適線準則及采用模擬退火算法優(yōu)化統(tǒng)計參數(shù)的步驟.

（2）通過實例計算，得到：①基于經(jīng)驗頻率點群，采用適線法優(yōu)化統(tǒng)計參數(shù)比由觀測數(shù)據(jù)直接計算統(tǒng)計參數(shù)能使理論頻率曲線與經(jīng)驗頻率點群擬合得更好；②給出適線準則：離（殘）差平方和最小準則（OLS準則）和離（殘）差絕對值和最小準則（ABS準則），兩種目標函數(shù)都能很好用于優(yōu)化統(tǒng)計參數(shù)；③采用模擬退火算法，可避免求解統(tǒng)計參數(shù)時大量的求導運算，迭代過程簡單，對兩種適線準則，都能使目標函數(shù)快速收斂.