沈佳興，潘子豪，徐 平，張興元，于英華

（1. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 礦產(chǎn)資源開(kāi)發(fā)利用技術(shù)及裝備研究院，遼寧 阜新 123000； 2. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

內(nèi)嚙合齒輪泵是一種由小齒輪、內(nèi)齒圈、月牙型隔板等結(jié)構(gòu)構(gòu)成的齒輪泵[1-2].內(nèi)齒輪泵具有結(jié)構(gòu)緊湊、自吸性能好、運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)[3-4]，但其內(nèi)齒圈易磨損致使其壽命較低，流量脈動(dòng)和壓力脈動(dòng)與柱塞泵等相比較大，在一定程度上限制其使用范圍.

目前最常使用的提高內(nèi)嚙合齒輪泵性能的方法是優(yōu)化齒輪泵的結(jié)構(gòu)參數(shù)[5-7]，這種方式在一定程度上能夠改善其性能，但沒(méi)有改變齒輪泵實(shí)際結(jié)構(gòu)，因此沒(méi)有從根本上改善齒輪泵的性能.為此，設(shè)計(jì)一種復(fù)合內(nèi)齒輪泵（簡(jiǎn)稱復(fù)合齒輪泵），利用復(fù)合齒輪泵多個(gè)內(nèi)嚙合子泵的流量疊加，既提高齒輪泵的流量又能改善其流量和壓力特性.同時(shí)復(fù)合齒輪泵的結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，其內(nèi)齒圈的徑向液壓力幾乎為零，進(jìn)而提高其使用壽命.

1 復(fù)合齒輪泵基本結(jié)構(gòu)及工作原理

復(fù)合齒輪泵的基本結(jié)構(gòu)，見(jiàn)圖1.小齒輪1為主動(dòng)輪，與驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)連接，小齒輪1與內(nèi)齒圈5嚙合使其轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)帶動(dòng)小齒輪2、小齒輪3繞自己的軸心轉(zhuǎn)動(dòng).在各小齒輪與內(nèi)齒圈嚙合處兩側(cè)分別布置有吸油口和出油口.星型密封塊將各嚙合內(nèi)齒輪分割開(kāi)并構(gòu)成3個(gè)獨(dú)立子泵.當(dāng)齒輪的輪齒個(gè)數(shù)設(shè)計(jì)合理時(shí)，各子泵的流量疊加既能增加齒輪泵的總流量又可以降低齒輪泵的流量脈動(dòng).

圖1 復(fù)合齒輪泵的基本結(jié)構(gòu) Fig.1 basic structure of the composite gear pump

2 復(fù)合內(nèi)齒輪泵優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 復(fù)合齒輪泵的瞬態(tài)流量

根據(jù)文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]，傳統(tǒng)內(nèi)嚙合齒輪泵的瞬態(tài)流量為

式中，ω1為主動(dòng)小齒輪角速度，rad/s；B為齒寬，mm；r1、r2分別為主動(dòng)輪節(jié)圓半徑、內(nèi)齒圈節(jié)圓半徑，mm；ha1、ha2分別為主動(dòng)輪齒頂高、內(nèi)齒圈齒頂高，mm；f為嚙合點(diǎn)位移，mm.

將r1=mz1/2，r2=mz2/2，f=rb2φ2，rb2=mz2cosαn/2，ha1=ha2=m，ω1/ω2=z1/z2代入式（1）可得

式中，m為齒輪模數(shù)，mm；z1、z2分別為主動(dòng)輪齒數(shù)、內(nèi)齒圈齒數(shù)；αn為壓力角，取20°；ω2為內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)速，rad/s；φ2為內(nèi)齒圈的轉(zhuǎn)角，rad；系數(shù)a、b分別為

復(fù)合齒輪泵內(nèi)部有3個(gè)子泵，為減小復(fù)合內(nèi)齒輪泵的流量脈動(dòng)，分析復(fù)合內(nèi)齒輪泵的內(nèi)齒圈齒數(shù)對(duì)其流量特性的影響規(guī)律.

當(dāng)內(nèi)齒圈齒數(shù)為z2=3k（k為正整數(shù)）且小齒輪均布置在內(nèi)齒圈的120°角分線上時(shí)，各小齒輪與內(nèi)齒圈的嚙合點(diǎn)具有中心對(duì)稱性，即各子泵與內(nèi)齒圈的嚙合點(diǎn)的相對(duì)位置相同，見(jiàn)圖2，所以復(fù)合齒輪泵的總流量實(shí)質(zhì)為3個(gè)完全相同的子泵的流量和，其對(duì)于減小流量脈動(dòng)無(wú)實(shí)際意義，但其流量可以提高為

圖2 z2=3k時(shí)嚙合位置示意 Fig.2 schematic of meshing position when z2=3k

當(dāng)內(nèi)齒圈齒數(shù)為z2=3k+1且小齒輪均布置在內(nèi)齒圈的120°角分線上時(shí)，各小齒輪將均分內(nèi)齒圈多出的一個(gè)輪齒，各嚙合點(diǎn)的相位差為2π/(3z2)，各子泵的流量曲線見(jiàn)圖3.

圖3 子泵流量 Fig.3 sub-pump flow

由圖3可知，在區(qū)間(-π/z2，-π/(3z2)和區(qū)間(-π/(3z2)，π/(3z2))，及區(qū)間(π/(3z2)，π/z2))內(nèi)復(fù)合齒輪泵的瞬時(shí)流量是相同的，分析復(fù)合齒輪泵在區(qū)間(-π/(3z2)，π/(3z2))內(nèi)的瞬時(shí)流量為

齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)[9]為瞬時(shí)流量的波動(dòng)幅值與理論流量之比為

式中，qmax、qmin、分別為復(fù)合齒輪泵瞬時(shí)流量的最大值、最小值和理論流量，

根據(jù)分析可知：當(dāng)φ2=0時(shí)，式（4）有最大瞬時(shí)流量，為

當(dāng)φ2=±π/(3z2)時(shí)，式（4）有最小瞬時(shí)流量，為

將復(fù)合齒輪泵的最大流量和最小流量代入式（5），可得其流量脈動(dòng)系數(shù)為

2.2 復(fù)合齒輪泵參數(shù)優(yōu)化

優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，以理論流量為50 L/min、額定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min、額定工作壓力為10 MPa的齒輪泵為優(yōu)化對(duì)象.

（1）設(shè)計(jì)變量的確定

根據(jù)式（4）可知復(fù)合齒輪泵的瞬態(tài)流量和流量脈動(dòng)系數(shù)均與齒輪的角速度、主動(dòng)輪齒數(shù)z1和內(nèi)齒圈齒數(shù)z2、齒寬B、模數(shù)m有關(guān).但根據(jù)已知條件可知齒輪泵的轉(zhuǎn)速已經(jīng)給定，所以優(yōu)化時(shí)的設(shè)計(jì)變量為X=[z1，z2，B，m]T=[x1，x2，x3，x4]T.

（2）目標(biāo)函數(shù)的確定

齒輪泵的瞬時(shí)流量對(duì)泵的流量脈動(dòng)系數(shù)及壓力脈動(dòng)均有較大影響.工程中常用流量脈動(dòng)系數(shù)表征齒輪泵流量特性的好壞，因?qū)?fù)合內(nèi)齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)最小視為一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，則

從降低成本和節(jié)省安裝空間的角度考慮，復(fù)合輪泵的體積越小，制造的材料成本越低且能夠在一些狹小空間使用，所以復(fù)合齒輪泵的體積越小越好.將齒輪泵的體積最小視為另一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù).為簡(jiǎn)化分析，用復(fù)合齒輪泵的內(nèi)齒圈和3個(gè)外齒輪的體積作為評(píng)價(jià)指標(biāo)[10]，則它們的總體積為

該優(yōu)化問(wèn)題是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題且兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的量綱和量級(jí)均不同，首先對(duì)各目標(biāo)函數(shù)用最大值最小值法無(wú)量綱化處理后，再采用等權(quán)重線性疊加的方式將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)，如下式

式中，f1min(X)、f1max(X)分別為流量脈動(dòng)系數(shù)目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值；f2min(X)、f2max(X)分別為體積目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值.

（3）約束條件的確定

1）齒數(shù)約束.若齒輪齒數(shù)過(guò)少，齒輪將發(fā)生根切現(xiàn)象，這不僅會(huì)降低齒輪的強(qiáng)度，還會(huì)使齒輪泵的泄漏流量增加，降低容積效率，因此要求

齒輪泵需要有封油區(qū)間，由文獻(xiàn)[11]可知每個(gè)密封區(qū)間至少要保有3個(gè)齒.根據(jù)連續(xù)傳動(dòng)條件，同一時(shí)間內(nèi)處于嚙合狀態(tài)的輪齒至少應(yīng)保證為2個(gè).同時(shí)考慮到小齒輪與內(nèi)齒圈的裝配關(guān)系所以初步設(shè)定內(nèi)齒圈的齒數(shù)范圍為

2）流量誤差約束.對(duì)泵類元件一般要求其瞬時(shí)流量與理論流量的誤差不超過(guò)5%[8]，則

3）齒寬約束.若齒輪泵的齒寬過(guò)大，會(huì)使齒輪軸及其軸承的載荷過(guò)大易使齒輪泵失效.通常對(duì)齒輪泵的齒寬和模數(shù)[8]有如下要求

4）流量脈動(dòng)約束.通過(guò)第2節(jié)分析可知，要復(fù)合齒輪泵具有較小的流量脈動(dòng)系數(shù)，內(nèi)齒圈的齒數(shù)應(yīng)當(dāng)不是3的倍數(shù)，則

式中，%為取余符號(hào).

5）齒輪軸強(qiáng)度約束.復(fù)合齒輪泵中，齒輪材料為20CrMnTi，因齒輪泵工作時(shí)齒面接觸強(qiáng)度較小，所以考慮主動(dòng)輪和內(nèi)齒圈的齒根彎曲強(qiáng)度約束為

式中，σ1F、σ2F分別為主動(dòng)輪、內(nèi)齒圈的彎曲強(qiáng)度；[σF]為20CrMnTi的許用彎曲強(qiáng)度，取512 MPa.

由式（9）、式（11）～式（15）可知該優(yōu)化問(wèn)題為非線性優(yōu)化問(wèn)題，利用Matlab優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)能夠求解[12-13].求解前先區(qū)分線性和非線性不等式約束，并寫成矩陣形式，然后統(tǒng)一將約束條件、目標(biāo)函數(shù)及求解范圍按照f(shuō)mincon函數(shù)格式編寫.m文件，并在Matlab中求解.優(yōu)化解為：z1=x1=18；z2=x2=47；B=x3=11.2 mm；m=x4=3 mm.將優(yōu)化后的各參數(shù)代入式（4）得到復(fù)合齒輪泵的瞬時(shí)流量，見(jiàn)圖4.

圖4 優(yōu)化后復(fù)合齒輪泵流量 Fig.4 optimized composite gear pump flow

由圖4可見(jiàn)，齒輪泵的最大流量為50.69 L/min，最小流量為 50.48 L/min，其理論流量為50.585 L/min，流量脈動(dòng)系數(shù)為0.41%，其遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)內(nèi)嚙合齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)2%～5%.

3 復(fù)合齒輪泵壓力脈動(dòng)分析

齒輪泵的流量脈動(dòng)會(huì)使其產(chǎn)生周期性的壓力脈動(dòng)，該壓力脈動(dòng)會(huì)產(chǎn)生周期性的徑向液壓力易使齒輪軸和軸承發(fā)生疲勞破壞.因此研究復(fù)合齒輪泵在額定壓力下的壓力脈動(dòng)也具有現(xiàn)實(shí)意義.

3.1 齒輪泵的職能模型

分析優(yōu)化后復(fù)合齒輪泵的壓力脈動(dòng).根據(jù)齒輪泵各結(jié)構(gòu)的功能，將其視為圖5的職能模型.圖中q(t)為齒輪泵的瞬態(tài)流量，其大小為2.1節(jié)計(jì)算的瞬態(tài)流量；qp(t)為齒輪泵的實(shí)際出口流量；Pp(t)為齒輪泵的工作壓力；ΣΔqi(t)為齒輪泵的內(nèi)泄流量；V為齒輪泵的工作腔容積；P0為齒輪泵的泄漏流量的出口壓力，取0 MPa.

圖5 齒輪泵職能模型 Fig.5 Gear pump function model

由齒輪泵的流量連續(xù)性方程[14]可知

式中，K為介質(zhì)的體積彈性模量.

根據(jù)式（16）可知，要求得齒輪泵的瞬態(tài)壓力，需要求得齒輪泵的工作腔容積和總泄漏流量.

工作腔容積可以近似認(rèn)為是除去嚙合輪齒的各齒槽的體積和[9]，為

式中，V1為主動(dòng)輪齒槽體積，20.8 mL；V2為內(nèi)齒圈齒槽體積，17.1 mL.

3.2 復(fù)合齒輪泵的泄漏流量

復(fù)合齒輪泵的泄漏與傳統(tǒng)齒輪泵一樣，主要包括：徑向泄漏、軸向泄漏、傳動(dòng)不良導(dǎo)致的嚙合線處泄漏[15].

采用平行平面間隙的壓差—剪切流理論計(jì)算復(fù)合齒輪泵的徑向泄漏[15].由圖1可知復(fù)合齒輪泵的星型密封塊與小齒輪1、2、3有3條徑向泄漏通道，星型密封塊與內(nèi)齒圈有3條泄漏通道，所以復(fù)合齒輪泵的總徑向泄漏為

式中，h1為徑向間隙，取0.01 mm；v1、v2為小齒輪和內(nèi)齒圈齒頂圓線速度，取4.71 m/s、4.42 m/s；S1、S2分別為小齒輪齒頂厚度、內(nèi)齒圈的齒頂厚度，分別取2.04 mm、2.31 mm；Z1、Z2分別為小齒輪和內(nèi)齒圈的密封齒數(shù)，分別取13、9；μ為介質(zhì)動(dòng)力黏度，取0.391 Pa·s.

采用平面間隙二維流理論計(jì)算齒輪泵的軸向泄漏流量[15].復(fù)合齒輪泵的軸向泄漏主要由小齒輪的端面間隙引起，由圖1可知每個(gè)小齒輪有一個(gè)當(dāng)量高壓區(qū)間角θ1，每個(gè)小齒輪有兩個(gè)泄漏端面，因此復(fù)合齒輪泵總軸向泄漏為

式中，h2為軸向間隙，取0.02 mm；Rf1為小齒輪的齒根圓半徑，取23.25 mm；Rzf1為小齒輪的齒輪軸半徑，取12.5 mm；θ1為當(dāng)量高壓區(qū)間角，取π/2.

當(dāng)齒輪泵正常工作時(shí)，嚙合線處泄漏約為徑向泄漏和軸向泄漏總流量的5%[9]，所以復(fù)合齒輪的總泄漏流量為

3.3 復(fù)合齒輪泵壓力脈動(dòng)仿真分析

根據(jù)式（17）～式（20）分別計(jì)算復(fù)合齒輪泵的工作腔容積、徑向泄漏、軸向泄漏、總泄漏流量，再結(jié)合圖5利用AMEsim軟件搭建復(fù)合齒輪泵的仿真模型，分別將各式的計(jì)算結(jié)果代入圖6模型中.圖中Q為流量源，用于模擬齒輪泵的瞬態(tài)流量.圖中Ch為壓力容積，用于模擬齒輪泵的工作腔容積.圖中的兩個(gè)黏性泄漏模塊用于模擬小齒輪和內(nèi)齒圈的徑向泄漏，右側(cè)節(jié)流閥用于模擬軸向泄漏.

圖6 復(fù)合齒輪泵AMEsim模型 Fig.6 composite gear pump AMEsim model

復(fù)合齒輪泵的壓力脈動(dòng)仿真結(jié)果見(jiàn)圖7.由圖7可知，在復(fù)合齒輪泵啟動(dòng)時(shí)發(fā)生振蕩后迅速穩(wěn)定，然后壓力曲線變化形式與流量脈動(dòng)相對(duì)且應(yīng)呈近似二次曲線變化；復(fù)合齒輪泵穩(wěn)定工作時(shí)的最大壓力為10.880 MPa，最小壓力為10.830 MPa，平均壓力為10.865 MPa，壓力脈動(dòng)為0.46%.復(fù)合齒輪泵壓力脈動(dòng)已經(jīng)顯著降低，因此，復(fù)合齒輪泵能夠減小內(nèi)部結(jié)構(gòu)件受到的壓力脈動(dòng)，進(jìn)而提高結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命.

圖7 復(fù)合齒輪泵壓力脈動(dòng) Fig.7 compound gear pump pressure pulsation

4 結(jié)論

（1）建立復(fù)合內(nèi)齒輪泵的理論流量模型，理論流量為50 L/min、額定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min、額定工作壓力為10 MPa的復(fù)合內(nèi)齒輪泵的最優(yōu)參數(shù)分別為：齒輪模數(shù)m=3 mm，小齒輪齒數(shù)z1=18，內(nèi)齒圈齒數(shù)z2=47，齒寬B=11.2 mm.

（2）優(yōu)化后復(fù)合內(nèi)齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)為0.41%，壓力脈動(dòng)為0.46%，流量脈動(dòng)和壓力脈動(dòng)遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)同等規(guī)格的內(nèi)齒輪泵，證明復(fù)合內(nèi)齒輪泵的優(yōu)越性.