范雪敏

摘要：n次方根與分數(shù)指數(shù)冪這節(jié)內(nèi)容，目標在于掌握根式的性質(zhì)、根式與分數(shù)指數(shù)冪間的互化，了解指數(shù)冪中指數(shù)從整數(shù)到有理數(shù)的拓展過程，理解有理數(shù)指數(shù)冪的意義與運算性質(zhì).為了在課堂中滲透課程思政的思想，特選取雙十一成交額及GDP的指數(shù)爆炸型增長、新疆北鯢碳14斷代法等實例作為線索，落實立德樹人總目標.

關鍵詞：n次方根，分數(shù)指數(shù)冪，課程思政

一、思政點睛

章前引言通過介紹距今5000多年前就存在的良渚遺址，指出它對研究中華五千年文明的起源具有重要意義，也是弘揚中華文化的寶貝素材.自然地引出考古學家是借助碳14斷代法這個指數(shù)函數(shù)模型來推測其年代的，為學習指數(shù)函數(shù)提供了實際背景.此外，章前引言還列舉了其他背景實例，如細胞分裂、人口增長、放射性物質(zhì)的衰減等問題，進一步指出本單元需要類比前一單元冪函數(shù)的研究方法，研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，這為后面的學習提供了現(xiàn)實背景方向，強調(diào)這兩種函數(shù)模型的現(xiàn)實意義以及重要性，同時滲透數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

二、教學構(gòu)想

作為本單元的起始課，n次方根與分數(shù)指數(shù)冪是拓展實數(shù)指數(shù)冪的基礎，具有奠基性作用，更是為研究指數(shù)函數(shù)做好準備.本課時教學環(huán)節(jié)設計如下圖：

三、教學環(huán)節(jié)

（一）章前引言

師：雙十一余熱還在，這個視頻反映了歷年雙十一成交金額的變化情況，請大家直觀感受購買力變化?。úシ乓曨l）每年雙十一成交金額都會遠超前一年，呈指數(shù)爆炸型增長，這日益強大的購買力背后，是我們穩(wěn)步走向全面小康的底氣！小到我們的購買力，大到國家的GDP，近幾十年的變化都反映了中國在以指數(shù)爆炸般不斷壯大！

這里的指數(shù)爆炸其實是本章所要學習的指數(shù)函數(shù)模型，本章我們將類比冪函數(shù)的研究方法，深入研究指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，學會根據(jù)實際情況選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學模型，從而反映現(xiàn)實問題.

◆思政點睛：

從身邊正在發(fā)生的問題（雙十一）出發(fā)，借助視頻直觀感受指數(shù)爆炸增長，引出指數(shù)函數(shù)模型，為介紹本章知識脈絡做鋪墊，反映數(shù)學在現(xiàn)實生活中的重要作用;引導學生關注強大購買力背后的真相——中國日益強大，全面進入小康社會，培養(yǎng)學生的愛國情懷和國家認同感、自豪感.

（二）情境引入

學生觀看新疆北鯢圖片，猜是什么動物.

師：它叫做新疆北鯢，它的祖先生活在2億5千萬年前，和恐龍一起生活過，但后面隨著地殼的運動，大部分新疆北鯢滅絕了，還有一小部分極幸運地活下來了，可以說是活化石了！它們目前就生活在博樂溫泉縣，大家有機會可以去溫泉縣北鯢基地看看！你知道考古學家是怎么判斷出來它生活在2億5千萬年前的呢？

生：碳14法.

師：碳14斷代法，人們發(fā)現(xiàn)生物體內(nèi)的碳14含量P，會隨著死亡時間t的變化而變化，得到了這個關系式.它說明，當死亡時間為5730年，碳14含量P= ，當死亡時間為6001年，碳14含量P= ，當指數(shù)冪中的指數(shù)從整數(shù)變成分數(shù)時，這個式子的意義和運算性質(zhì)究竟是什么？帶著這些問題，我們一起走進今天的內(nèi)容.

◆思政點睛：

通過我們新疆本地的“活化石”北鯢，一方面引出考古學家是怎樣斷定新疆北鯢生活的年份問題，從而介紹碳14斷代法，自然地引出分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算問題，引出本節(jié)課的主題;另一方面向?qū)W生科普我們身邊的“活化石”，培養(yǎng)學生保護瀕危動物的決心，以及對故鄉(xiāng)的認同感和自豪感.

◆設計意圖：

n次方根的第一個性質(zhì)比較簡單，可以直接通過其意義得到，故直接由學生口答即可，但第2個性質(zhì)對于學生來說稍微復雜些，涉及到分類討論思想，故交給學生小組探究完成;借助探究2中的眾多例子，將難度降低，由淺及深，幫助學生從具體到一般歸納性質(zhì).

通過例1鞏固n次方根的概念與性質(zhì)，教材中沒有第4問，但從第3題直接跨度到第5題對學生來說稍難，故設置了第4題進行過渡，由易到難，將難點拆解.

（四）再探新知

問題3：根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運算（a>0）： ， ，這是被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時的情況，當不能整除時，根式是否也可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式（a，b，c>0）？試完成下列式子的化簡：

師：我們希望整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，如（ak）n=akn，對分數(shù)指數(shù)冪仍然適用.因此作出規(guī)定，正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是 .

◆設計意圖：

通過被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除的情況實例，類比給出不能被整除的情況，并自然地給出正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪意義的規(guī)定，由于教材上略去了規(guī)定合理性的說明，考慮到學生的實際學情，此處不展開探究;此外小練習是以講練結(jié)合的形式，幫助學生從特殊到一般，再從一般到特殊進一步理解結(jié)論.

追問1：類比負整數(shù)指數(shù)冪的意義，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是什么？

教師引導學生類比初中學過的負整數(shù)指數(shù)冪的意義，不難得到正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義 ，講練結(jié)合，學生口答負分數(shù)指數(shù)冪化根式的練習

追問2：類比0的整數(shù)指數(shù)冪的意義，0的正分數(shù)指數(shù)冪和負分數(shù)指數(shù)冪的意義是什么？

教師引導學生類比初中學過的0的整數(shù)指數(shù)冪的意義，不難得到0的正分數(shù)指數(shù)冪是0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.教師引導學生發(fā)現(xiàn)，規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義以后，冪ax中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù).

解決剛才的問題：考古學家正是利用了有理數(shù)指數(shù)冪的知識，計算出生物死亡6001年后體內(nèi)碳14含量P的值為 即生物死亡6001年后體內(nèi)碳14含量P約為原來的48.4%.

◆思政點睛：

類比初中學過的負整數(shù)指數(shù)冪的意義、0的整數(shù)指數(shù)冪的意義，學生能夠得出正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義以及0的正分數(shù)、負分數(shù)指數(shù)冪的意義，引導學生體會類比思想在數(shù)學學習中的重要性.

學生在得到結(jié)論后仍難以發(fā)現(xiàn)冪中指數(shù)已從整數(shù)拓展到有理數(shù)，這里教師要加強引導，讓學生感受到指數(shù)范圍的擴充，體會到數(shù)學知識間的聯(lián)系性和整體性.再前后呼應回到之前的問題，解決了碳14斷代法中分數(shù)指數(shù)冪的意義和計算問題，能夠幫助學生加深對分數(shù)指數(shù)冪的理解，并體會到數(shù)學的實際應用意義.

（五）習題演練

◆設計意圖：

將整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)拓展到有理數(shù)指數(shù)冪后，有理數(shù)指數(shù)冪的功能就更加強大了，此處的練習旨在幫助學生體會運算性質(zhì)的綜合應用，同時能夠引導學生將底數(shù)換成合適的冪形式，簡化問題，為學生獨立完成例2、例3做鋪墊.

（六）課堂小結(jié)

小結(jié)：回顧這節(jié)課，你有什么收獲呢？請以小組為單位，從知識和思想方法的角度展開討論，完成思維導圖.

結(jié)語：數(shù)學史上最早將指數(shù)的范圍從整數(shù)擴充至有理數(shù)的，是數(shù)學家John Wallis，有了這個基礎，我們才能在下節(jié)課將指數(shù)的范圍繼續(xù)擴充到實數(shù)，這樣就給我們將來研究指數(shù)函數(shù)奠定了堅實的基礎！

希望大家這兩節(jié)課打好基礎，將來去研究生活中更多的指數(shù)爆炸模型，來感受中國各個方面的飛速發(fā)展！

◆思政點睛：

為更好地幫助引導學生梳理本節(jié)知識脈絡，以思維導圖的方式讓學生小組合作完成，幫助學生養(yǎng)成梳理知識點的學習方法.

通過結(jié)語部分：為了親自感受到中國方方面面的高速發(fā)展，我們要打好指數(shù)運算的基礎，以此再次激發(fā)起學生認真學習指數(shù)這一節(jié)的興趣，這其中滲透學科育人環(huán)節(jié)，在課堂中貫徹落實立德樹人的根本任務.

參考文獻：

[1]汪曉勤，鄒佳晨.高中數(shù)學教學中實施課程思政的路徑[J].數(shù)學教學，2021（08）：1-6.