蔣群群，王林峰

(南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226019)

假設(shè)M是一個(gè)帶度量g的n維完備流形。本文研究如下非線性p-Laplace方程

Δpu+aup-1lnu+λup-1=0,

(1)

如果p=2, 式(1)為

Δu+aulnu+λu=0。

(2)

文獻(xiàn)[1]得到Ricci曲率為負(fù)下界的完備流形上正調(diào)和函數(shù)的一個(gè)最優(yōu)微分不等式。λ為正時(shí)方程Δu+λu=0的微分不等式的證明方法類似于文獻(xiàn)[1]，也可參看文獻(xiàn)[2]。文獻(xiàn)[1]不等式中的等號(hào)能夠取到,因此這個(gè)微分不等式是最優(yōu)的，這也意味著著名的Yau的Liouville定理[3], 即在具有非負(fù)Ricci曲率的完備流形上不存在非常數(shù)正的調(diào)和函數(shù)。光滑度量測(cè)量空間上類似的最優(yōu)微分不等式在文獻(xiàn)[4]中被建立。

當(dāng)a<0時(shí)，Ma[5]得到式(2)的正解的一個(gè)微分不等式，還通過(guò)觀察式(2)與膨脹梯度Ricci孤立子之間的關(guān)系，說(shuō)明該微分不等式最優(yōu)。膨脹梯度Ricci孤立子由下式定義[6]

(3)

式中:f為勢(shì)函數(shù);a<0。Ma觀察到如果f是式(3)的勢(shì)函數(shù)，則對(duì)某個(gè)常數(shù)λ，u=e-f滿足式 (2)。

注意式(2)也與Perelman的W函數(shù)有關(guān)。定義

式中

文獻(xiàn)[7]證明在緊流形上λ可以由滿足

4Δu+2ulnu+λu=0

的正光滑函數(shù)u取到。文獻(xiàn)[6]利用這個(gè)最小化結(jié)果來(lái)排除緊致流形上非平凡收縮的梯度Ricci孤立子的存在性。在其他情況下W泛函的研究可以參看文獻(xiàn)[8-9]。由文獻(xiàn)[7]可知，式(2)也與著名的Gross對(duì)數(shù)Sobolev不等式密切相關(guān)。

對(duì)p>1，Kotschwar等[10]在截面曲率有下界的假設(shè)下建立p-調(diào)和函數(shù)的局部微分不等式。由這個(gè)微分不等式能推出Liouville定理，該定理表明在截面曲率非負(fù)的完備流形上不存在非常數(shù)正的p-調(diào)和函數(shù)。Wang等[11]在截面曲率有下界的非緊流形上證明方程 Δpu+λup-1=0正解的一個(gè)最優(yōu)微分不等式。與p-Laplace相關(guān)的Liouville定理的研究還可以參看文獻(xiàn)[12-13]及其中的參考文獻(xiàn)。

對(duì)于p>1和某個(gè)給定常數(shù)a，定義

式中

在緊致流形上能使λa,p取到的函數(shù)u滿足Euler-Lagrange方程(1)，式中λ=λa,p。關(guān)于p-Laplace方程的微分不等式已有不少研究[14-15]。本文將建立非線性p-Laplace方程(1)正解的微分不等式。

1 本文主要結(jié)果及預(yù)備知識(shí)

為方便起見，設(shè)

(4)

以及

(5)

下面結(jié)果是緊流形上的微分不等式。

定理1設(shè)M為Ricci曲率以-(n-1)K為下界的n維緊致流形，式中K≥0。假設(shè)u是式(1)的正解，令u=v，并且則

① 對(duì)a>0，如果p≥2，則

(6)

如果 1

(7)

② 對(duì)a<0，如果p≥2，則

(8)

如果1

(9)

定理1能推出如下Liouville定理。

定理2設(shè)M為Ricci曲率以-(n-1)K為下界的n維緊致流形，式中K≥0。假設(shè)u是a<0 時(shí)式(1)的正解。對(duì)p≥2，如果

(10)

流形非緊時(shí)也可以建立式(1)的微分不等式。引入截?cái)嗪瘮?shù)時(shí)計(jì)算中包含距離函數(shù)的Hessian，所以假設(shè)截面曲率有下界[10]。

(11)

如果a<0，則

(12)

如第3章推論2所述，由定理3能得到關(guān)于截面曲率為負(fù)的非緊流形的Liouville定理。

up-1|lnu|≤C(p,δ)max{1,up-1+δ}≤C(p,δ)max{1,Mp-1+δ},

(13)

對(duì)給定的滿足式(13)的函數(shù)v，定義算子L為

下面引理可以看作是Bochner公式的推廣(見文獻(xiàn)[17]式(2.5))。

(14)

式中

基于引理1可以推導(dǎo)出以下估計(jì)。

引理2設(shè)M為Ricci曲率以-(n-1)K為下界的n維完備非緊流形，式中K≥0。假設(shè)v=u是式(13)的解，則

(15)

證明由式(13)得

(16)

易知,

(17)

把式(16)、(17)代入式(14)，得

(18)

假設(shè)δ滿足

(19)

(20)

這里最后一個(gè)等式來(lái)自式(19)。因此式(20)在所有點(diǎn)都成立。由式(19)，

從而得到式(15)。證畢。

注1式(4)中選擇的是最優(yōu)的，因?yàn)?/p>

在式(18)的條件下達(dá)到最大值。

2 緊致流形

本章證明定理1和定理2。

(21)

首先考慮a>0的情況。如果p≥2，容易看出

(22)

把式(22)代入式(21)，得

因此，對(duì)任意x∈M,

從而得式(6)。

如果1

(23)

將式(23)代入式(21)，并與p≥2的情況類似進(jìn)行討論，得到式(7)。

對(duì)a<0的情況，當(dāng)p≥2時(shí)，將式(22)代入式(21)，得

現(xiàn)在證明定理2。

在定理2中令p=2得到對(duì)式(2)的Liouville定理。

3 非緊流形

本章將利用截?cái)嗪瘮?shù)給出非緊致流形上式(1)正解的微分不等式。由于計(jì)算涉及到距離函數(shù)的Hessian,需要假設(shè)截?cái)嗲视邢陆?。首先證明定理3。

定理3的證明設(shè)O∈M為定點(diǎn)，r(x)=dist(O,x)為由O決定的距離函數(shù)。對(duì)足夠大的R>0，用B(O,R)表示中心為O半徑為R的測(cè)地球。

考慮如下函數(shù)[15]

使得

(24)

(25)

(26)

在x0點(diǎn)，還有L(G)≤0。對(duì)任意σ∈(0,1)，有

(27)

令

以及

假設(shè)δσ滿足

與式(15)類似,有

由式(25)、(26)、 (27)，以及在x0處L(G)≤0，得在x0處有

易見

及

由0≤φ≤1，得

(28)

式中Ci,i=1,2,3,…是依賴于n、p、σ、K、σ的常數(shù)。由1

(29)

首先考慮a>0的情形。易知

(30)

(31)

將式(30)、(31)代入式(29)，得

因此，對(duì)所有x∈B(O,R),

令R→∞，對(duì)所有x∈M，

(32)

注意當(dāng)σ1時(shí)，σ→，Aσ→A,在式(32)中令σ1，得

這個(gè)不等式意味著式(11),通過(guò)類似討論可以得到式(12)。證畢。

推論2在具有非負(fù)截面曲率的n維非緊流形上，當(dāng)a<0，且1