揚州大學數(shù)學科學學院(225002)汪彩虹 陳建華

一、引言

學業(yè)質量標準是本學科核心素養(yǎng)及其表現(xiàn)水平在學生學業(yè)成就上的總體刻畫.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標》)指出“學業(yè)質量是學生自主學習與評價、教師教學活動與評價、教材編寫的指導性要求,也是相應考試命題的依據(jù).”數(shù)學抽象等六大數(shù)學核心素養(yǎng)按照學業(yè)質量標準被劃分成了三個水平.這三個水平反映了學生思維能力由簡單到復雜的發(fā)展過程,也反映了學生的認知指向深度學習的過程,體現(xiàn)了逐級進階的特征.

教育心理學家比格斯建立的可觀察的學習結果的結構-——SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome)分類理論,將思維結構的復雜程度由低到高分為五個層次,分別為前結構水平、單點結構水平、多點結構水平、關聯(lián)結構和拓展抽象結構水平,這五個層次用下圖表示:

SOLO 分類理論中的各思維結構水平,是根據(jù)學生答題時思維水平從低到高而呈現(xiàn)出逐層遞進的關系,契合《課標》中對數(shù)學核心素養(yǎng)的水平劃分.不同之處在于SOLO 分類理論更側重于根據(jù)學生思維操作和信息處理的復雜程度的不同來決定認知水平,在評價上具有操作簡單、路徑多元的獨特優(yōu)勢.

二、劃分標準與研究量表

在本文研究中,筆者對2021 新高考全國I 卷試題進行了SOLO 思維層次的分析,認為在同一章節(jié)中的知識點關聯(lián)性較強,而不同章節(jié)中的知識點關聯(lián)性較弱、需要學生主動建構.

此外,由于處于前結構水平的學生頭腦中不具備相關知識,對問題常表現(xiàn)為拒絕答復或瞎蒙,這顯然違背了高考命題中的基本原則,故試題中并未考查該層次.因此,試題中主要包括四個層次:

(1)單點結構水平(U)這一水平的試題問題情境熟悉,學生只需要回憶某一個知識點,經(jīng)過簡單的單一推理或運算就可以順利解決.

(2)多點結構水平(M)這一水平的試題需要學生回憶多個知識點,但無需構建它們之間的聯(lián)系,只經(jīng)過多步推理或計算就能解決.

(3)關聯(lián)結構水平(R)這一水平的試題需要學生挖掘題目隱含的信息,聯(lián)想不同章節(jié)的多個知識點,并根據(jù)題意構建這些知識點之間的聯(lián)系,經(jīng)過較復雜的歸納、類比和推理才能夠得以解決.

(4)拓展抽象結構水平(E)這一水平的試題問題情境較為新穎,能獲取的信息較少,需要學生深入挖掘題目隱含的知識,利用相關知識點并根據(jù)自己的理解對這些知識點進行創(chuàng)新性的組合和應用,經(jīng)過多步復雜的邏輯推理和數(shù)學運算,才能解決.

按教育部2020年頒布的《中國高考評價體系》,可以從“數(shù)學學科核心素養(yǎng)”和“SOLO 思維層次”兩個維度來解析高考題,為此,制定出指向數(shù)學核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次評價量表,其中,縱向維度包含六大數(shù)學學科核心素養(yǎng),橫向維度包含SOLO 分類的四個思維層次.

三、試題分析案例

筆者針對2021 新高考全國I 卷數(shù)學試題,采用上述指向數(shù)學核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次評價量表及劃分標準,選取其中三道試題作為研究案例進行分析.

案例1(第5 題)已知F1,F2是橢圓C:的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為( )

A.13 B.12 C.9 D.6

分析本題考查橢圓的方程、幾何性質及基本不等式的應用.學生在解題時首先根據(jù)橢圓定義得出MF1+MF2= 2a,即為6,然后利用基本不等式或二次函數(shù)的知識得出MF1和MF2乘積的最大值.主要考查了數(shù)學運算和邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).由于運算時需要將分布在不同章節(jié)的橢圓與基本不等式兩個知識點加以結合,需要學生主動構建二者之間的聯(lián)系,因此數(shù)學運算素養(yǎng)考查SOLO 分類中R 水平;此過程中,只需經(jīng)歷簡單的兩步推理即可解決,因此邏輯推理素養(yǎng)考查SOLO 分類理論中的M水平.如下表所示:

表1 指向數(shù)學核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次分析案例1

案例2(第16 題)某校學生在研究民間剪紙藝術時,發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折,規(guī)格為20dm×12dm 的長方形紙,對折1 次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm 兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240dm2,對折2 次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2= 180dm2,以此類推,則對折4 次,共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____;如果對折n次,那么=____dm2.

分析本題以剪紙藝術為背景考查數(shù)列、數(shù)列求和公式以及錯位相減法.第一空中,學生根據(jù)題目比較容易得出對折3 次得到的四種規(guī)格的圖形,分別為:d m×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm×dm,對折4次得到五種規(guī)格的圖形,分別是:dm×12dm,dm×6dm,5dm×3dm,10dm×dm,20dm×dm.主要考查了邏輯推理的核心素養(yǎng),學生只需知道單一的對折知識便可求,因此該素養(yǎng)考查SOLO 分類理論中的U 水平.

第二空中,學生需要根據(jù)題中所給信息,發(fā)現(xiàn)每次對折后圖形的面積都減小為原來的一半,由此抽象出數(shù)列問題:每次對折后的圖形,不論規(guī)格如何,其面積為首項為120(dm2),公比為的等比數(shù)列,因此第n次對折后的圖形面積為對于第n次對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù),根據(jù)(1)的過程和結論,猜想為n+1 種,故得猜想,由此可以表示成等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積之后的前n項和,利用錯位相減法便可得出結果.主要考查了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).從對折過程中抽象出單一的數(shù)列問題對學生來說比較容易,因此數(shù)學抽象素養(yǎng)考查SOLO 分類理論的U 水平;學生在推理和建立模型的過程中只需回憶數(shù)列的多個相關知識,如通項公式與數(shù)列求和,方法是比較常規(guī)的錯位相減法,因此邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng)均考查SOLO 分類理論中的M 水平;該題在運用錯位相減法求和的過程中,除了數(shù)列相關公式的運用,還需要大量的化簡計算經(jīng)驗,因此數(shù)學運算素養(yǎng)考查SOLO 水平中的R 水平.如下表所示:

表2 指向數(shù)學核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次分析案例2

案例3(第22 題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性;

(2)設a,b為兩個不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b,證明:.

分析本題考查了用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及導數(shù)在證明不等式中的應用.

第(1)問中,學生直接通過求導得到函數(shù)的單調性,考查邏輯推理和數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).根據(jù)求導來求函數(shù)單調性的推理過程較為簡單,知識點單一,學生比較容易想到,因此邏輯推理素養(yǎng)考查SOLO 分類理論的U 水平;而運算過程中學生不僅要正確求出導函數(shù)表達式,還要能分別解出導函數(shù)在大于和小于零時x的取值范圍,因此運算素養(yǎng)考查SOLO 分類理論的M 水平.

不妨設b ＞a ＞0,所以x1＞1,0＜x2＜1.對于第一個不等式,當x1≥2 等式恒成立,只需證明1＜x1＜2等式成立即可,需構造新的函數(shù)g(x)=f(2-x)-f(x),求導知函數(shù)在(1,2)上單調遞減,g(x)＜g(1)= 0,因此在1＜x ＜2 時,f(x)＞f(2- x),代入x1從而證明f(2-x1)＜f(x1)=f(x2),由于2-x1與x2的范圍都是(0,1),由(1)知在該區(qū)間上單調遞增,可證2-x1＜x2,即x1+x2＞2,得證;

對于第二個不等式,先求出f(x)在(e,0)處的切線方程為y=e-x,構造函數(shù)h(x)=f(x)-(e-x)=x-xlnx-(e-x),即可利用導數(shù)大于0 證明f(x)=x-xlnx ＜e-x對0＜x ＜e 恒成立,設f(x1)=f(x2)=t,則即可得到x2+t ＜e,又因為t=f(x2)=x2(1-lnx2)＞x2,所以可得x1+x2＜x1+t ＜e,得證.

該題考查了數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).首先,將題目中的已知條件和求證抽象成函數(shù)的過程中,需要學生聯(lián)想對數(shù)運算法則,思維跨度較大,因此該素養(yǎng)考查SOLO 分類理論的R 水平;其次,邏輯推理和數(shù)學運算的過程中,由于題目中信息量很少,有大量的隱含知識需要學生自己深入挖掘,比如日常積累的函數(shù)、不等式與導數(shù)應用等知識,學生必須對其進行創(chuàng)新性的組合與運用,通過大量的復雜推理與運算才能使問題得以解決,這對學生的思維能力要求非常高,因此邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng)考查的是SOLO 分類理論的E 水平.如下表所示:

表3 指向數(shù)學核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次分析案例3

四、整卷研究結果

通過對2021 新高考全國I 卷試題中每一道題考查的數(shù)學核心素養(yǎng)及最高SOLO 思維層次進行深入分析,將各題號填入量表中,其中對于設置了多個空或者多個小問的題目,則選擇其考查的所有數(shù)學核心素養(yǎng)和最高思維層次作為該題的最終結果,得到如下所示的表格:

表4 指向數(shù)學核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次評價統(tǒng)計表

為直觀起見,將試題中六大核心素養(yǎng)和四大SOLO 分類水平的考查比例繪制成如下所示分布圖:

指向數(shù)學核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次分布圖

從2021 新高考全國I 卷試題對數(shù)學核心素養(yǎng)考查的情況可以看出,新高考試題雖然涵蓋了所有的數(shù)學核心素養(yǎng),但是在分布上卻呈現(xiàn)出失衡現(xiàn)象.邏輯推理和數(shù)學運算作為高考考查的方法素養(yǎng),是學生解題過程中應當必備的關鍵能力,因此,對這兩個素養(yǎng)要求會比較高,二者比重之和幾乎達到70%.數(shù)學建模素養(yǎng)在新高考試題中占比較低,可見新高考試題在考查學生應用數(shù)學模型解決實際問題的能力上有所欠缺.數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)主要分布在“概率與統(tǒng)計”主題中,與其他主題關聯(lián)度不大,而“概率與統(tǒng)計”主題在整個高中數(shù)學中分布較窄,這也是高考考查該素養(yǎng)比較少的原因之一.

在數(shù)學核心素養(yǎng)所考查的SOLO 水平上,四個水平都有所涉及,這反映出了高考作為全國選拔性考試,其目的是區(qū)分出不同學生的思維水平.其中R 水平占比最多,達到了43.04%,說明試題在注重學生基礎知識和基本能力的同時,更突出考查的是知識點的聯(lián)想與遷移能力;E 水平占比最少,為10.05%,該水平對學生的要求比較高,需要學生有一定的創(chuàng)新思維,以便有效的發(fā)掘出滿足現(xiàn)代社會發(fā)展的高水平人才.此外,U、M 水平占比較為適中,對學生思維要求都不高,在一定程度上保證了試題的基礎性.

五、對高中解題教學的啟示

通過以上對試題的分析,數(shù)學運算和邏輯推理作為高考中著重考查的兩大核心素養(yǎng),要求教師在解題教學中不僅要始終聚焦核心素養(yǎng),還要尤其重視學生的邏輯思維能力和基本的運算技能培養(yǎng),重視從現(xiàn)實情境出發(fā)的數(shù)學問題,培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng),從多方位考查并增強學生的應用和創(chuàng)新意識.

教師要完善學生的知識體系,加強知識之間的關聯(lián)性,凸顯高中數(shù)學知識的廣度與深度,這不僅是高考對于關聯(lián)結構水平和拓展抽象水平考查的要求,也是提高學生問題解決能力的重要基礎;其次,教師在編制或選擇習題時應充分考慮到學生的思維水平發(fā)展,結合高考試題的層次性、綜合性、靈活性、創(chuàng)新性等特點,在考查“雙基”的同時,進一步考查學生對知識點的遷移能力和創(chuàng)新意識;教師還可以為數(shù)學習題制定符合SOLO 分類標準的參考答案,以便教師或學生對作答結果進行批改或自評時,可以根據(jù)參考答案對其所處的思維結構水平進行診斷;或者在習題講解的過程中,為了給不同思維層次的學生呈現(xiàn)不一樣的思維方式,可適當采用一題多變和一題多解的教學方式,由此在提高學生解題興趣的同時還能實現(xiàn)教學“因材施教”.