安徽省合肥市第八中學(xué)合肥市蒲榮飛教育名師工作室(230071)蒲榮飛

圓中有許多優(yōu)美的性質(zhì),本文先給出一個(gè)有關(guān)相交弦的結(jié)論,并從不同視角給出兩種證明方法,然后將其類比推廣到橢圓.

性質(zhì)如圖1,已知點(diǎn)C是圓O上任一點(diǎn),以C為圓心作一個(gè)圓,其與圓O的直徑MN相切于點(diǎn)D,與圓O相交于點(diǎn)A,B,則AB必平分CD.

圖1

證法1(幾何法)如圖2,延長線段CD分別交圓C和圓O于P,Q兩點(diǎn),則在圓C中利用相交弦定理可得AH · HB=PH · HD=(PC+CH)· HD=(CD+CH)· HD.在圓O中利用相交弦定理可得AH·HB=CH·HQ=CH·(HD+DQ)=CH·(HD+CD).從而有(CD+CH)· HD=CH ·(HD+CD),即CD ·HD+CH ·HD=CH ·HD+CH ·CD,也即CH=HD,故AB平分CD.

圖2

證法2(解析法)如圖3,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以線段MN所在直線作為x軸,以其中垂線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)C(x0,y0),則線段CD的中點(diǎn)于是,圓C的方程為圓O的方程為x2+y2=R2.兩方程相減得公共弦AB所在直線方程為中點(diǎn)滿足上方程,故AB平分CD.

圖3

眾所周知橢圓可看作由圓通過伸縮變換而得到的,圓也可以看作是橢圓的極端圖形,那么將該性質(zhì)中能類比推廣到橢圓呢? 由于兩個(gè)圓必是相似的,為了敘述方便,先給橢圓相似下個(gè)定義.

定義形如與的橢圓稱為同位相似橢圓,λ稱為其相似比.

顯然同位相似橢圓的離心率相同,焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸也相同.于是,上性質(zhì)類比到橢圓可以得到

推廣如圖4,已知點(diǎn)C是橢圓O上任一點(diǎn),以C為中心作一個(gè)與橢圓O同位相似且與其長軸MN相切于點(diǎn)D的橢圓C,并且與橢圓O相交于點(diǎn)A,B,則AB必平分CD.

圖4

圖5

圖6

圖7