項麗紅 逯彥周

(甘肅省永登縣第六中學(xué) 730300)

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和豐富的物理背景.向量具有幾何與代數(shù)雙重屬性，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，同時高中的平面向量知識是進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).2012年—2021年十年間，我國高考數(shù)學(xué)命題經(jīng)歷了考試大綱、課程標準并存指導(dǎo)，到終止考試大綱，完全依據(jù)課程標準的過程.對這十年高考數(shù)學(xué)全國卷中的平面向量試題在宏觀層面從類型、題數(shù)、分值、難易程度進行統(tǒng)計分析，在微觀層面從試題考查知識點、融合其他知識點進行統(tǒng)計分析，并以此為依據(jù)對教師教學(xué)提出一些建議.

1 十年高考全國卷平面向量試題宏觀統(tǒng)計分析

以2012—2021十年高考全國卷(共29套)中的平面向量試題(共38道)為研究對象，將38道平面向量試題從宏觀層面按類型、題數(shù)、分值、難易程度進行統(tǒng)計，結(jié)果如表1所示.從類型看，38道題目中，選擇題共20道，填空題共14道，解答題共4道，占比分別為52.6%、36.9%、10.5%.從題數(shù)看，29套試卷中，21套試卷的平面向量試題均為1道，占比72.4%，分值為5分；4套試卷的平面向量試題均為2道，占比13.8%，分值為10分；3套試卷的平面向量試題均為2道，占比10.3%，分值為17分；僅有1套試卷中平面向量試題為3道，分值為22分.從難易程度看，38道試題中，難度為易、中的試題分別為20道、12道，占比分別為52.6%、31.6%，較難題為6道，占比15.8%.

表1 2012—2021全國卷平面向量試題統(tǒng)計

年份卷別選擇題填空題解答題題目數(shù)量分值易中難2012全國大綱卷1151新課標卷11512013全國大綱卷221011新課標Ⅰ卷1151新課標Ⅱ卷11512014全國大綱卷1151新課標Ⅰ卷112102新課標Ⅱ卷11512015新課標Ⅰ卷221011新課標Ⅱ卷11512016新課標Ⅰ卷1151新課標Ⅱ卷1151新課標Ⅲ卷1151

續(xù)表

年份卷別選擇題填空題解答題題目數(shù)量分值易中難2017新課標Ⅰ卷1151新課標Ⅱ卷112172新課標Ⅲ卷11512018新課標Ⅰ卷22102新課標Ⅱ卷1151新課標Ⅲ卷11217112019新課標Ⅰ卷11132212新課標Ⅱ卷1151新課標Ⅲ卷11512020新課標Ⅰ卷1121711新課標Ⅱ卷1151新課標Ⅲ卷11512021全國甲卷1151全國乙卷1151新高考Ⅰ卷1151新高考Ⅱ卷1151

2 十年高考全國卷平面向量試題微觀知識點分析

2.1 試題考查知識點統(tǒng)計分析

將平面向量試題考查知識點按照線性運算及其幾何意義、向量平行、平面向量基本定理、平面向量的數(shù)量積及模與夾角、向量垂直、平面向量坐標運算進行統(tǒng)計(只要試題有體現(xiàn)就計數(shù))，結(jié)果如表2所示.由表2知，38道試題中，考查線性運算及其幾何意義、平行、垂直、平面向量基本定理、數(shù)量積及模與夾角的試題分別有5道、4道、5道、4道、14道，占比分別為13.2%、10.5%、13.2%、10.5%、36.8%；考查線性運算、平行、垂直、數(shù)量積及模與夾角的坐標運算的試題分別有10道、4道、6道、17道，占比分別為26.3%、10.5%、15.8%、44.7%.總的來看，考查線性運算、平行、垂直、數(shù)量積及模與夾角的分別有15道、8道、11道、31道，占比分別為39.5%、21.0%、29.0%、81.5%.

表2 2012—2021全國卷平面向量試題考查知識點統(tǒng)計

知識點線性運算及其幾何意義平行基本定理數(shù)量積、模、夾角垂直坐標運算線性平行數(shù)量積、模、夾角垂直考查題數(shù)544145104176

在38道平面向量試題中，28道只考查了平面向量內(nèi)容的知識點，沒有與其他知識融合,且絕大多數(shù)試題考查知識單一，屬于簡單題.如：

例1

(2021年全國甲卷第14題)已知向量=(3,1),=(1,0),=+

k

.若⊥，則

k

=

.

分析 本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題.易求得

例2

(2017年全國Ⅰ卷第13題)已知向量,的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=

.分析 本題考查平面向量數(shù)量積的計算.代數(shù)法：|+2|=||+4·+4||=4+4×2×1×cos 60°+4=12，故幾何法：利用如下圖形(圖1)，可以判斷出+2的模長是以2為邊長，一個角為60°的菱形的較長對角線的長度，則為

圖1

2.2 試題融合其他知識點統(tǒng)計分析

平面向量與其他知識點的融合具有明顯的傾向性(表3)，38道平面向量試題中，10道融合了其他知識，其中與圓錐曲線的融合包括圓、橢圓、雙曲線與拋物線，共有6道，其余4道是與三角函數(shù)及解三角形、函數(shù)、數(shù)列融合.

表3 2012—2021全國卷平面向量試題交匯知識統(tǒng)計

交匯知識圓錐曲線圓橢圓雙曲線拋物線三角函數(shù)及解三角形函數(shù)數(shù)列考查題數(shù)1212211

當平面向量試題融合其他知識時，多考查平面向量的坐標運算，多數(shù)為數(shù)量積及模與夾角、垂直的坐標運算.如：

例3

(2021年新高考Ⅱ卷第10題)已知

O

為坐標原點，點

P

(cos

α

,sin

α

)，

P

(cos

β

,-sin

β

)，

P

(cos(

α

+

β

),sin(

α

+

β

))，

A

(1,0)，則( )

分析 本題情境熟悉，是知識交匯題，主要考查平面向量的模、數(shù)量積運算以及三角恒等變換，難度中等.通過計算可知故A,C正確.

例4

(2018年全國Ⅲ卷第20題)已知斜率為

k

的直線

l

與橢圓交于

A

，

B

兩點，線段

AB

的中點為

M

(1,

m

)(

m

>0).

(1)證明：

(2)設(shè)

F

為

C

的右焦點，

P

為

C

上一點,且證明：成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.分析 本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)以及平面向量的坐標運算，重點考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.(1)設(shè)而不求，利用點差法進行證明；(2)解出

m

，進而求出點

P

的坐標，得到再由兩點間距離公式表示出得到直線

l

的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程用韋達定理進行求解.

解

(1)設(shè)

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

),則

兩式相減，并由得

由題意知于是①

由題意得故

(2)由題意得

F

(1,0)，設(shè)

P

(

x

,

y

)，則(

x

-1,

y

)+(

x

-1,

y

)+(

x

-1,

y

)=(0,0).由(1)及題設(shè)得

x

=3-(

x

+

x

)=1,

y

=-(

y

+

y

)=-2

m

<0.又因為點

P

在

C

上，所以從而

于是同理

所以

故即成等差數(shù)列.

設(shè)該數(shù)列的公差為

d

，則②將代入①得

k

=-1.所以

l

的方程為代入

C

的方程，并整理得故代入②解得

所以該數(shù)列的公差為或

3 研究結(jié)論與教學(xué)建議

3.1 研究結(jié)論

近十年高考數(shù)學(xué)全國卷平面向量試題近九成是選擇題和填空題，且選擇題居多，超七成試卷只有1道平面向量試題，分值5分，超兩成試卷有2道平面向量試題，分值為10分與17分(二者數(shù)量相差不大)，題目難度以易、中為主，占比和超八成，以知識融合題為主的難題占比低于兩成.平面向量試題考查知識點按比例由高至低依次為數(shù)量積及模與夾角、線性運算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理，且對坐標運算的考查多于非坐標運算的考查.平面向量與其他知識的融合主要集中在圓錐曲線、三角函數(shù)與解三角形、函數(shù)、數(shù)列等.

3.2 教學(xué)建議

3

.

2

.

1

理解概念，牢記公式，穩(wěn)固雙基

教材對于平面向量內(nèi)容多是按照基本概念→線性運算及其幾何意義→平面向量基本定理→坐標運算→平面向量數(shù)量積的順序編排，基本概念是后續(xù)知識展開的基礎(chǔ)，特別是平面向量基本定理，是坐標運算的“根”，坐標運算是其“果”.這部分知識前面概念多，后面公式多，但就全國卷而言考查內(nèi)容簡單，多為選擇題和填空題，考查內(nèi)容基本為數(shù)量積及模與夾角、線性運算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理的簡單應(yīng)用，有坐標運算，也有非坐標運算.因此在教學(xué)中須讓學(xué)生切實理解概念，記牢公式，穩(wěn)固雙基.

3

.

2

.

2

畫好圖形，精準運算，數(shù)形結(jié)合

平面向量兼具幾何與代數(shù)雙重屬性，教材安排也是先“幾何”后“代數(shù)”的順序，并且線性運算以及數(shù)量積運算都有豐富的物理背景，是學(xué)科交叉的良好案例.對于高中生而言，平面向量也是數(shù)形結(jié)合的良好案例.因此，在日常教學(xué)中，教師要注重學(xué)生畫圖習(xí)慣的養(yǎng)成，畫對圖，畫好圖，為之后的數(shù)學(xué)運算當好“眼睛”，在此過程中亦能培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

3

.

2

.

3

總結(jié)反思，建構(gòu)體系，提升素養(yǎng)

在平面向量與其他知識的融合中，可以發(fā)現(xiàn)平面向量充當輔助工具的作用，且這類題目往往對平面向量知識的考查多在坐標運算上，也很簡單，重點在于與其他知識融匯貫通，這就需要建構(gòu)知識體系.高中數(shù)學(xué)知識點多，抽象程度也較高，但是好在知識之間彼此是相通的，所以我們的學(xué)習(xí)不會因所學(xué)知識的增多而負擔增重，反而會因發(fā)現(xiàn)、理解先后知識的聯(lián)系而嘆為觀止.因此，在教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生對知識的梳理、總結(jié)、反思，總結(jié)的次數(shù)多了，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系，找到聯(lián)系、及時反思，就能自主建構(gòu)屬于自己的“知識體系”，當然在此過程中也可提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).