■湖北省松滋市第一中學(xué) 劉萬(wàn)強(qiáng)

2022年3月湖北省七市州聯(lián)考物理卷第16題:如圖1甲所示,質(zhì)量mA=4 kg的物塊A與質(zhì)量mB=2 kg的長(zhǎng)木板B并排放置在粗糙的水平面上,二者之間夾有少許塑膠炸藥,長(zhǎng)木板B的右端放置有可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊C?，F(xiàn)引爆塑膠炸藥,爆炸后物塊A可在水平面上向左滑行s=1.2 m,小物塊C的速度隨時(shí)間變化的圖像如圖1乙所示。已知物塊A和長(zhǎng)木板B與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ0=,小物塊C未從長(zhǎng)木板B上掉落,取重力加速度g=10 m/s2,求:

圖1

(1)炸藥爆炸后瞬間長(zhǎng)木板B的速率。

(2)小物塊C的質(zhì)量mC。

(3)小物塊C靜止時(shí)距長(zhǎng)木板B右端的距離d。

問(wèn)題:炸藥爆炸后,長(zhǎng)木板B向右做減速運(yùn)動(dòng),小物塊C向右做加速運(yùn)動(dòng),在長(zhǎng)木板B和小物塊C達(dá)到共速后,很多同學(xué)不能正確判斷二者是否共同運(yùn)動(dòng)。

在“板塊”模型中,當(dāng)二者的速度相等后,正確判斷二者是否具有相同的加速度,受到的是靜摩擦力還是滑動(dòng)摩擦力,是解決相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵。如何進(jìn)行判斷呢? 下面就從數(shù)據(jù)體驗(yàn)、情景歸納、分類討論三個(gè)層次進(jìn)行探究。

1.數(shù)據(jù)體驗(yàn)。

如圖2所示,A、B兩滑塊疊放在光滑水平面上,已知A、B兩滑塊的質(zhì)量分別為mA=1 kg,mB=2 kg,滑塊A與B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4,取重力加速度g=10 m/s2?，F(xiàn)用一水平恒力F作用在滑塊B上,請(qǐng)分別計(jì)算在恒力F取以下四個(gè)數(shù)值時(shí),A、B兩滑塊的加速度。

圖2

(1)F=6 N,(2)F=12 N,(3)F=18 N,(4)F=24 N。

分析:因?yàn)椴恢涝谕饬作用下A、B兩滑塊是否共同運(yùn)動(dòng),所以需要先采用假設(shè)法,假設(shè)A、B兩滑塊共同運(yùn)動(dòng),求出二者共同運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度,再隔離滑塊A,分析其受到的摩擦力,判斷該摩擦力是否小于最大靜摩擦力,進(jìn)而判斷假設(shè)是否成立。

解:(1)當(dāng)F=6 N 時(shí),假設(shè)A、B兩滑塊共同運(yùn)動(dòng),則其加速度滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=2 N,滑塊B對(duì)A的最大靜摩擦力fAmax=μmAg=4 N。因?yàn)閒A＜fAmax,所以假設(shè)成立,即A、B兩滑塊的加速度aA=aB=2 m/s2。

(2)當(dāng)F=12 N 時(shí),假設(shè)A、B兩滑塊共同運(yùn)動(dòng),則其加速度滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=4 N=fAmax,因此假設(shè)成立,即A、B兩滑塊的加速度aA=aB=4 m/s2。

(3)當(dāng)F=18 N 時(shí),假設(shè)A、B兩滑塊共同運(yùn)動(dòng),則其加速度滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=6 N＞fAmax,因此假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律,對(duì)滑塊A有fAmax=mAaA,對(duì)滑塊B有FfAmax=mBaB,解得aA=4 m/s2,aB=7 m/s2。

(4)當(dāng)F=24 N 時(shí),假設(shè)A、B兩滑塊共同運(yùn)動(dòng),則其加速度滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=8 N＞fAmax,因此假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律,對(duì)滑塊A有fAmax=mAaA,對(duì)滑塊B有FfAmax=mBaB,解得aA=4 m/s2,aB=10 m/s2。

感悟:(1)靜摩擦力具有被動(dòng)性,其大小和方向受外力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。(2)在不確定A、B兩滑塊受到的是靜摩擦力還是滑動(dòng)摩擦力的情況下,可以采用假設(shè)法進(jìn)行研究,判斷假設(shè)成立的關(guān)鍵是在零到最大靜摩擦力的范圍內(nèi)找到符合整體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的靜摩擦力。(3)最大靜摩擦力是兩者保持相對(duì)靜止的臨界狀態(tài),可以先隔離物塊A研究其在最大靜摩擦力作用下的最大加速度,再采用整體法研究A、B兩滑塊保持相對(duì)靜止時(shí)外力F的臨界值F0,當(dāng)外力F不大于臨界值F0時(shí),兩者保持相對(duì)靜止共同運(yùn)動(dòng);當(dāng)外力F大于臨界值F0時(shí),兩者發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

2.情景歸納。

案例1 如圖3所示,質(zhì)量mC=1 kg 的小物塊C和質(zhì)量mB=2 kg 的長(zhǎng)木板B疊放在水平面上,已知長(zhǎng)木板B與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)小物塊C與長(zhǎng)木板B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1,取重力加速度g=10 m/s2,則當(dāng)小物塊C和長(zhǎng)木板B具有共同的速度v=1 m/s時(shí),求長(zhǎng)木板B和小物塊C的加速度aB、aC。若將小物塊C與長(zhǎng)木板B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)改為μ＇=0.2,其他條件不變,求長(zhǎng)木板B和小物塊C的加速度aB＇、aC＇。

圖3

解析:假設(shè)小物塊C和長(zhǎng)木板B共同運(yùn)動(dòng),則其加速度小物塊C受到的摩擦力fC=,長(zhǎng)木板B對(duì)小物塊C的最大靜摩擦力fCmax=μmCg=1 N。因?yàn)閒C＞fCmax,所以假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律可得,小物塊C的加速度,長(zhǎng)木板B的加速度2 m/s2。若將小物塊C與長(zhǎng)木板B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)改為μ＇=0.2,則長(zhǎng)木板B對(duì)小物塊C的最大靜摩擦力fCmax=μ＇mCg=2 N。假設(shè)小物塊C和長(zhǎng)木板B共同運(yùn)動(dòng),則其加速度,小物塊C受到的摩擦力fC＇=,因此假設(shè)成立,即長(zhǎng)木板B和小物塊C的加速度aB＇=aC＇=

因此,要想保證小物塊C與長(zhǎng)木板B不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),則需滿足條件μ0g≤μg,即μ0≤μ。

案例2 如圖4所示,質(zhì)量mA=1 kg 的滑塊A和質(zhì)量mB=2 kg的滑塊B疊放在水平面上,已知A、B兩滑塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.4,滑塊B與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.2,取重力加速度g=10 m/s2?，F(xiàn)用一水平恒力F作用在滑塊B上,請(qǐng)分別計(jì)算在恒力F取以下兩個(gè)數(shù)值時(shí),A、B兩滑塊的加速度。

圖4

(1)F=9 N,(2)F=24 N。

解析:(1)當(dāng)F=9 N 時(shí),假設(shè)A、B兩滑塊共同運(yùn)動(dòng),則其加速度a=,滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=1 N,滑塊B對(duì)A的最大靜摩擦力fAmax=μ1mAg=4 N。因?yàn)閒A＜fAmax,所以假設(shè)成立,即A、B兩滑塊的加速度aA=aB=1 m/s2。

(2)當(dāng)F=24 N 時(shí),假設(shè)A、B兩滑塊共同運(yùn)動(dòng),則其加速度a==6 m/s2,滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=6 N＞fAmax,假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律可得,滑塊A的加速度aA＇==4 m/s2,滑塊B的加速度aB＇=

因此,要想保證A、B兩滑塊不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),則需滿足條件≤μ1g,即F≤(μ1+μ2)(mA+mB)g。

案例3 如圖5所示,一滑塊放在水平傳送帶上,與傳送帶保持相對(duì)靜止,以速度v=6 m/s共同向右運(yùn)動(dòng),已知滑塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3。某時(shí)刻傳送帶突然做加速度為a的勻減速運(yùn)動(dòng),若加速度a分別取值2 m/s2和4 m/s2,取重力加速度g=10 m/s2,請(qǐng)分別計(jì)算滑塊的加速度a1、a2。

圖5

解析:設(shè)滑塊的質(zhì)量為m,當(dāng)加速度a=2 m/s2時(shí),假設(shè)滑塊和傳送帶共同運(yùn)動(dòng),則滑塊受到的摩擦力f=ma=2m(N),傳送帶對(duì)滑塊的最大靜摩擦力fmax=μmg=3m(N)。因?yàn)閒＜fmax,所以假設(shè)成立,即滑塊的加速度a1=2 m/s2。

當(dāng)加速度a=4 m/s2時(shí),假設(shè)滑塊和傳送帶共同運(yùn)動(dòng),則滑塊受到的摩擦力f=ma=4m(N)＞fmax,假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律可得,滑塊的加速度

因此,要想保證滑塊和傳送帶不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),則需滿足條件ma≤μmg,即a≤μg。

案例4 如圖6所示,一傾斜的傳送帶以速度v=10 m/s向下運(yùn)動(dòng),傳送帶的傾角θ=37°,某時(shí)刻將滑塊以方向沿傳送帶向下,大小為10 m/s的速度放在傳送帶的中段,取重力加速度g=10 m/s2。若滑塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別取值μ1=0.5和μ2=0.75,請(qǐng)分別計(jì)算滑塊的加速度a1、a2。

圖6

解析:設(shè)滑塊的質(zhì)量為m,當(dāng)滑塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.5時(shí),假設(shè)滑塊和傳送帶共同運(yùn)動(dòng),則根據(jù)平衡條件得f=mgsinθ=6m(N),傳送帶對(duì)滑塊的最大靜摩擦力fmax1=μ1mgcosθ=4m(N)。因?yàn)閒＞fmax1,所以假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律可得,滑塊的加速度a1=

當(dāng)滑塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.75時(shí),假設(shè)滑塊和傳送帶共同運(yùn)動(dòng),則根據(jù)平衡條件得f=mgsinθ=6m(N),傳送帶對(duì)滑塊的最大靜摩擦力fmax2=μ2mgcosθ=6m(N)。因?yàn)閒=fmax2,所以假設(shè)成立,即滑塊的加速度a2=0。

因此,要想保證滑塊和傳送帶不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),則需滿足條件mgsinθ≤μmgcosθ,即μ≥tanθ。

總結(jié):兩物體達(dá)到共速后保持相對(duì)靜止的條件為被動(dòng)運(yùn)動(dòng)的物體在最大靜摩擦力作用下的加速度a＇不小于兩物體共速后整體的加速度a。

3.分類討論。

(1)光滑水平面,外力作用在滑塊上。

如圖7所示,滑塊A和長(zhǎng)木板B疊放在光滑水平面上,已知滑塊A和長(zhǎng)木板B的質(zhì)量分別為mA、mB,滑塊A與長(zhǎng)木板B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ?，F(xiàn)在滑塊A上施加一水平恒力F,假設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等,則在不同大小外力F作用下,滑塊A和長(zhǎng)木板B的運(yùn)動(dòng)情況如下:(1)當(dāng)時(shí),滑塊A和長(zhǎng)木板B相對(duì)靜止,共同運(yùn)動(dòng),且加速度;(2)當(dāng)F＞時(shí),滑塊A相對(duì)長(zhǎng)木板B發(fā)生運(yùn)動(dòng),且滑塊A的加速度aA=,長(zhǎng)木板B的加速度

圖7

例1如圖8所示,一質(zhì)量為m1的足夠長(zhǎng)木板放置在光滑水平面上,木板上疊放一質(zhì)量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等?，F(xiàn)對(duì)木塊施加一隨時(shí)間t增大的水平力F,已知F=kt(k是常數(shù)),設(shè)木板和木塊加速度的大小分別為a1、a2,則如圖9所示四幅反映a1和a2變化的圖像中正確的是( )。

圖8

圖9

解析:當(dāng)F較小時(shí),木塊和木板一起以相同的加速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)F增大到某一值時(shí),木塊相對(duì)木板開(kāi)始滑動(dòng),木板在水平方向上僅受滑動(dòng)摩擦力作用,加速度不變,木塊在水平上受到的合外力增大,加速度增大,因此二者的加速度變化不同。當(dāng)F較小,木板和木塊之間的作用力為靜摩擦力時(shí),根據(jù)牛頓第二定律得kt= (m1+m2)a,解得a=,在a-t圖像中是一條過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線。設(shè)木塊和木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,則木板的最大加速度當(dāng)F增大到使木塊的加速度a2＞μg時(shí),木塊和木板之間的作用力為滑動(dòng)摩擦力,對(duì)木板應(yīng)用牛頓第二定律得μm2g=m1a1,解得a1=為定值,在a-t圖像中是一條平行于t軸的直線;對(duì)木塊應(yīng)用牛頓第二定律得ktμm2g=m2a2,解得,因?yàn)?所以在a-t圖像中表示a2的直線的斜率更大。

答案:A

(2)粗糙水平面,外力作用在滑塊上,長(zhǎng)木板與水平面之間的滑動(dòng)摩擦力較小。

如圖10所示,滑塊A和長(zhǎng)木板B疊放在水平面上,已知滑塊A和長(zhǎng)木板B的質(zhì)量分別為mA、mB,滑塊A與長(zhǎng)木板B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,長(zhǎng)木板B與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2?，F(xiàn)在滑塊A上施加一水平恒力F,假設(shè)最大靜摩擦力均與相應(yīng)的滑動(dòng)摩擦力相等,且μ1mAg＞μ2(mA+mB)g,則在不同大小外力F作用下,滑塊A和長(zhǎng)木板B的運(yùn)動(dòng)情況如下:(1)當(dāng)F≤μ2(mA+mB)g時(shí),滑塊A和長(zhǎng)木板B均保持靜止?fàn)顟B(tài);(2)當(dāng)μ2(mA+mB)g＜F≤時(shí),滑塊A和長(zhǎng)木板B保持相對(duì)靜止,共同運(yùn)動(dòng),且加速度aA=aB=;(3)當(dāng)F＞時(shí),滑塊A相對(duì)長(zhǎng)木板B發(fā)生運(yùn)動(dòng),且滑塊A的加速度aA=,長(zhǎng)木板B的加速度

圖10

例2(2021年高考全國(guó)乙卷)水平地面上有一質(zhì)量為m1的長(zhǎng)木板,木板的左端有一質(zhì)量為m2的物塊,如圖11所示。用水平向右的拉力F作用在物塊上,F隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖12甲所示,其中F1、F2分別為t1、t2時(shí)刻F的大小。木板的加速度a1隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖12乙所示。已知木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2,假設(shè)最大靜摩擦力均與相應(yīng)的滑動(dòng)摩擦力相等,重力加速度大小為g。則( )。

圖11

圖12

A.F1=μ1m1g

B.F2=(μ2-μ1)g

C.μ2＞

D.在0～t2時(shí)間段物塊與木板的加速度相等

解析:根據(jù)木板的加速度—時(shí)間(a1-t)圖像可知,t1時(shí)刻物塊與木板一起恰好沿水平地面開(kāi)始滑動(dòng),此時(shí)物塊與木板相對(duì)靜止,對(duì)由物塊和木板組成的整體應(yīng)用牛頓第二定律得F1=μ1(m1+m2)g,選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;t2時(shí)刻物塊與木板剛要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng),對(duì)由物塊和木板組成的整體應(yīng)用牛頓第二定律得F2-μ1(m1+m2)g=(m1+m2)a,對(duì)木板應(yīng)用牛頓第二定律得μ2m2g-μ1(m1+m2)g=m1a＞0,解得,選項(xiàng)B、C 正確。因?yàn)樵?～t2時(shí)間段物塊與木板相對(duì)靜止,所以有相同的加速度,選項(xiàng)D 正確。

答案:BCD

(3)粗糙水平面,外力作用在滑塊上,滑塊與長(zhǎng)木板之間的滑動(dòng)摩擦力較小。

如圖13所示,滑塊A和長(zhǎng)木板B疊放在水平面上,已知滑塊A和長(zhǎng)木板B的質(zhì)量分別為mA、mB,滑塊A與長(zhǎng)木板B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,長(zhǎng)木板B與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2?，F(xiàn)在滑塊A上施加一水平恒力F,假設(shè)最大靜摩擦力均與相應(yīng)的滑動(dòng)摩擦力相等,且μ1mAg＜μ2(mA+mB)g,則在不同大小外力F作用下,滑塊A和長(zhǎng)木板B的運(yùn)動(dòng)情況如下:(1)當(dāng)F≤μ1mAg時(shí),滑塊A和長(zhǎng)木板B均保持靜止?fàn)顟B(tài);(2)當(dāng)F＞μ1mAg時(shí),滑塊A做加速運(yùn)動(dòng),且加速度aA=;長(zhǎng)木板B保持靜止?fàn)顟B(tài),加速度aB=0。

圖13

例3如圖14所示,物塊放在靜止于水平地面上的木板上,已知物塊的質(zhì)量m=3 kg,木板的質(zhì)量M=5 kg,物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.3,木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.2,取重力加速度g=10 m/s2。當(dāng)不同大小的水平外力F作用在物塊上時(shí),下列判斷中正確的是( )。

圖14

A.當(dāng)F＞9 N 時(shí),木板相對(duì)地面滑動(dòng)

B.當(dāng)F=16 N 時(shí),物塊恰好開(kāi)始相對(duì)木板滑動(dòng)

C.當(dāng)F=9 N 時(shí),物塊恰好開(kāi)始相對(duì)木板滑動(dòng)

D.木板不可能相對(duì)地面滑動(dòng)

解析:物塊與木板之間的最大靜摩擦力fmax1=μ1mg=9 N,木板與地面之間的最大靜摩擦力fmax2=μ2(m+M)g=16 N。當(dāng)F=9 N,即F=fmax1時(shí),物塊恰好開(kāi)始相對(duì)木板滑動(dòng),選項(xiàng)B錯(cuò)誤,C正確。因?yàn)閒max1＜fmax2,所以木板不可能相對(duì)地面滑動(dòng),選項(xiàng)A錯(cuò)誤,D 正確。

答案:CD