熊 艷，葉國菊，劉 尉，趙大方，李 寧

(1.河海大學 理學院，江蘇 南京 211100；2.湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002；3.火箭軍裝備部駐南京地區(qū)第二軍事代表室，江蘇 南京 210006)

ZADEH[1]在1965年引進了一型模糊集，通過隸屬函數(shù)對模糊語義進行定量分析，是處理不確定性問題的重要方法。近年來，一型模糊集理論得到了進一步發(fā)展，如二型模糊集、直覺模糊集、猶豫模糊集等。二型模糊集[2]采用主、次隸屬度函數(shù)，解決了一型模糊集的局限性，但是二型模糊集計算復雜，故MENDEL等[3]在二型模糊集的基礎上提出區(qū)間二型模糊集。區(qū)間二型模糊集是一類特殊的二型模糊集，更加靈活且能體現(xiàn)人們對同一事物的不同評價，在決策、控制、圖像處理等領域[4-5]都有廣泛應用。

在多屬性決策問題中，常常使用距離對方案進行排序。其中，符號距離與傳統(tǒng)意義上的距離不同，計算簡便且能反映點與點之間的位置關系。YAO等[6]基于分解定理提出了模糊數(shù)上的符號距離。王堅強[7]對模糊數(shù)上的符號距離進行了推廣，考慮了決策者的風險態(tài)度。李賀等[8]研究了猶豫模糊集上的符號距離。GONG等[9]結合區(qū)間二型梯形模糊數(shù)上的連續(xù)加權歐式距離，提出了一些新的符號距離。CHEN[10]定義了區(qū)間二型梯形模糊數(shù)上的符號距離，但是WANG等[11]指出在一定條件下，應用該符號距離很難得到兩個區(qū)間二型梯形模糊數(shù)的合理關系。此外，在區(qū)間二型梯形模糊數(shù)中，對于符號距離的確定沒有考慮到?jīng)Q策者的風險態(tài)度。因此，筆者根據(jù)決策者的風險態(tài)度定義了區(qū)間二型梯形模糊數(shù)上的動態(tài)符號距離，該距離可以更好地區(qū)分兩個不同的區(qū)間二型梯形模糊數(shù)的大小。利用動態(tài)符號距離求解屬性權重，為解決區(qū)間二型梯形模糊多屬性決策問題提供了新思路，并結合實例驗證該決策方法的合理性。

1 基本概念

定義4設A∈F2(X)，A的α截集為：

[A]α=

(1)

定義5基于α截集，假設A∈F2(X)，則區(qū)間二型梯形模糊數(shù)上的符號距離為：

(2)

2 區(qū)間二型梯形模糊數(shù)上的動態(tài)符號距離

(3)

當λ=0.5時，表示決策者是中立的；當0≤λ<0.5時，表示決策者是悲觀的；當0.5<λ≤1時，表示決策者是樂觀的。

圖1 A、B的動態(tài)符號距離值

設A、B∈F2(X)，λ∈[0,1]，動態(tài)符號距離運算性質為：

3 基于動態(tài)符號距離的區(qū)間二型梯形模糊多屬性決策方法

(1)決策者給出方案ai(1≤i≤m)關于屬性cj(1≤j≤n)的評價值aij，對評價值aij進行規(guī)范化處理得到評價矩陣Y=(a′ij)m×n：

(4)

其中，(aij)C為aij的補集。

(2)當屬性權重完全未知時，根據(jù)動態(tài)符號距離的序關系，以及方案的綜合評價值越大方案越好的思想[13]，建立以下模型求解屬性權重：

(5)

(6)

求解可得：

(7)

對wj進行單位化處理后可得屬性權重w′j為：

(8)

(3)根據(jù)式(9)計算方案ai的加權動態(tài)符號距離：

(9)

4 實例驗證

4.1 情景分析

參考文獻[14]中的投資問題：某人準備從a1、a2、a3、a4、a55個項目中選擇1個進行投資。專家從資金損失的風險(c1)、資金易受通貨膨脹修正的影響(c2)、利潤(c3)、資金流動性(c4)4個方面對項目進行評估，其中c3、c4為效益型屬性，c1、c2為成本型屬性。專家使用文獻[10]中的語言術語(如表1所示)進行評價，得到5個項目的評價值，如表2所示。

表1 語言術語及其對應的區(qū)間二型梯形模糊數(shù)

(1)對表2中的評價值進行規(guī)范化處理得到評價矩陣Y：

(2)根據(jù)前文屬性權重計算方法，得到不同風險態(tài)度下的屬性權重，如圖2所示。由圖2可知，屬性權重wj隨風險態(tài)度λ的變化而變化，其中w1隨λ的增大而減小，w2隨λ的增大而增大，w3、w4的變化幅度較小。

圖2 不同風險態(tài)度下的屬性權重值

圖3 5個項目的加權動態(tài)符號距離

(4)依據(jù)加權動態(tài)符號距離值對5個項目進行排序。當λ∈[0,0.695)，即決策者在悲觀、中立時5個項目的排序為a3?a4?a5?a2?a1；當λ∈(0.695,1]，即決策者在樂觀時，5個項目的排序為a3?a4?a2?a5?a1。綜上可知，在不同風險態(tài)度下a3都是最優(yōu)投資項目。

4.2 對比分析

4.2.1 與區(qū)間二型梯形模糊數(shù)上其他方法的對比

文獻[14]運用TOPSIS方法進行排序，文獻[15]運用可能度進行排序。將筆者所提方法與文獻[14]、文獻[15]進行對比，結果如表3所示。由表3可知，文獻[14]考慮了決策者的風險態(tài)度，決策者在樂觀時的排序結果與所提方法的排序結果一致。但是文獻[14]中屬性權重已知，而所提方法是假設屬性權重完全未知，根據(jù)方案的綜合評價值構建模型求解屬性權重。因此，所提方法在屬性權重的確定上更加客觀。此外，所提方法的屬性權重會隨風險態(tài)度的變化而變化，可以體現(xiàn)決策者的心理。文獻[15]的排序結果與所提方法中決策者在樂觀時的排序結果一致，最優(yōu)投資項目都是a3。但是文獻[15]沒有考慮決策者的風險態(tài)度，而所提方法的排序結果可以體現(xiàn)決策者的風險態(tài)度對決策結果的影響。

表3 區(qū)間二型梯形模糊數(shù)上不同方法的對比結果

4.2.2 與語言變量其他轉化方法的對比

表4 語言變量不同轉化方法下的決策結果

5 結論

(1)提出了區(qū)間二型梯形模糊數(shù)上的動態(tài)符號距離，對模糊數(shù)距離進行改進。與區(qū)間二型梯形模糊數(shù)中現(xiàn)有的符號距離相比，引入了決策者的風險態(tài)度，對于不確定覆蓋域中的信息考慮得更全面。

(2)在動態(tài)符號距離的基礎上，提出了解決區(qū)間二型梯形模糊多屬性決策問題的方法。然而，該方法的應用主要是單人決策。在群決策中，由于多個決策者的風險態(tài)度不同，對決策結果有一定影響。因此，下一步可將所提方法應用到群決策及其他決策模型中，并解決相應的決策問題。

(3)在多屬性決策問題中，語言評價值的轉化形式多種多樣，所提方法主要針對區(qū)間二型梯形模糊數(shù)，未來可將該方法推廣到其他模糊環(huán)境中。