張曉青，杜澤英

(太原工業(yè)學院 理學系，太原030008)

混沌運動是非線性動力學系統(tǒng)中看似無序，實則有規(guī)律的一種復雜類隨機運動.隨著混沌和多個學科的融合，關于混沌的同步控制研究在不少領域取到了顯著的成果，特別是利用混沌同步實現(xiàn)通信保密方面，然而復投影同步[1]在這方面的應用前景更加廣闊.復投影同步中的尺度因子為復矩陣，復變量可以展開為實部分量與虛部分量，這使得變量數(shù)量增加一倍，進而信息傳輸量也增加一倍，并且復矩陣具有任意性且比實矩陣更難以預測，而且復數(shù)的乘積和導數(shù)運算也更復雜，因此大大降低了攔截器從傳輸信號中提取信息的可能性.1982年A.C.Fowler等人提出了復洛倫茲方程[2]，打開了學者們開始研究復混沌系統(tǒng)的大門.1990年，學者們發(fā)現(xiàn)初值敏感，運動復雜的混沌系統(tǒng)可以實現(xiàn)同步，掀起了研究混沌相關同步的熱潮.文獻[3]針對耦合復混沌系統(tǒng)，推導控制律使復狀態(tài)向量漸近同步到所需的復函數(shù)矩陣實現(xiàn)復雜函數(shù)投影同步.文獻[4]研究了兩個相異分數(shù)階復混沌系統(tǒng)(復Lorenz系統(tǒng)、復Chen系統(tǒng))在復空間內的動力學行為、特征，以及其同步方法，并說明它們在安全通信方面的應用.文獻[5]利用激活控制法實現(xiàn)了不同類型(整數(shù)階和分數(shù)階)的混沌的錯位投影(DPS)同步.本文首先刻畫了復矩陣下的投影同步定義，其次依據(jù)分數(shù)階穩(wěn)定性理論設計分離實部虛部的統(tǒng)一控制輸入項.然后選取相異的兩個三維復變量混沌系統(tǒng)作為案例，設計控制輸入項，最后數(shù)值仿真進行驗證.

1 控制器的設計

存在一個n維復變量分數(shù)階混沌系統(tǒng)作為驅動系統(tǒng)：

dαx/dtα=Ax+f(x)

(1)

響應系統(tǒng)為n維復變量分數(shù)階混沌系統(tǒng)：

dαy/dtα=By+g(y)+U(x,y)

(2)

其中，x=xr+jxi∈Cn×1，y=yr+jyi∈Cn×1為復狀態(tài)向量，A,B∈Rn×n為參數(shù)矩陣，f,g為非線性復向量函數(shù)，U為所設計的非線性控制輸入項.

定義1對于系統(tǒng)(1)和(2)，如果存在非零復值矩陣：

(3)

定理1設計如下控制器:

(4)

證明 根據(jù)定義1，可以得到系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的誤差如下：

(5)

系統(tǒng)(5)的分數(shù)α階導數(shù)為：

(6)

將系統(tǒng)(1)，(2)代入(6)式，整理得：

(7)

將所設計的控制器(4)代入(7)得：

(8)

2 分數(shù)階復Chen系統(tǒng)和分數(shù)階復T系統(tǒng)

復變量分數(shù)階混沌Chen系統(tǒng)[6]如下：

(9)

其中，0<α<1，a1，a2，a3為Chen系統(tǒng)參數(shù)，x1，x2，x3是復值狀態(tài)變量.Chen系統(tǒng)的初值、參數(shù)以及分數(shù)階數(shù)分別為(x1,x2,x3)T=(1+2j,1.5+4j,3)T，(a1,a2,a3)T=(42,26,4)T，α為0.95時，系統(tǒng)(9)是混沌狀態(tài)的.吸引子的二維相圖見圖1所示.

圖1 Chen系統(tǒng)的二維相圖

將三維復變量分數(shù)階Chen混沌系統(tǒng)選作驅動系統(tǒng)，三維復變量分數(shù)階T系統(tǒng)選作響應系統(tǒng)，添加非線性復值控制輸入機制的T系統(tǒng)為[7]：

(10)

其中階數(shù)0<α<1，b1,b2,b3為系統(tǒng)參數(shù)，y1,y2,y3是復值狀態(tài)變量.分數(shù)階復變量T系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)、初始值分別為(b1,b2,b3)T=(2.1,27.9,0.6)T,(y1,y2,y3)T=(8+7j,6+8j,7)T，并且分數(shù)階α=0.95時，復變量T系統(tǒng)是混沌狀態(tài).系統(tǒng)(10)吸引子的二維相圖見圖2所示.

圖2 T系統(tǒng)吸引子的二維相圖

3 分數(shù)階復Chen系統(tǒng)和復T系統(tǒng)的CPS

把系統(tǒng)(9)和 (10)寫成如下形式：

(11)

(12)

為復控制函數(shù)，任取復尺度因子為

定理2設計控制輸入項為：

(13)

其中，所選擇的增益控制矩陣

證明 系統(tǒng)(11)和系統(tǒng)(12)的CPS誤差函數(shù)如下：

(14)

對方程(14)做α階導數(shù)，并將所設計的控制輸入項(13)代入得：

(15)

滿足

則系統(tǒng)(11)與(12)實現(xiàn)了CPS.

4 數(shù)值仿真

圖3 誤差曲線

5 結論

本文利用分數(shù)階穩(wěn)定性理論，設計了合適的普適復值非線性輸入項，實現(xiàn)了階數(shù)為α為0.95的復變量Chen系統(tǒng)和復變量T系統(tǒng)的CPS.通過理論分析，以及MATLAB數(shù)值仿真繪制CPS同步誤差曲線圖，觀察到曲線快速趨向于0，驗證了所設計的非線性復值控制輸入項的正確性.本文所做成果在信息傳輸領域有潛在的應用價值.