陸海蓉

異面直線(xiàn)所成的角問(wèn)題在立體幾何中比較常見(jiàn).由于兩條異面直線(xiàn)不相交，我們很難快速找到兩條異面直線(xiàn)所成的夾角，需根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義以及向量的夾角公式來(lái)求解.本文從一道題出發(fā)，談一談求異面直線(xiàn)所成角的思路.

例題：在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，∠ABC =120°， AB =2，BC = CC1=1，求異面直線(xiàn) AB1與 BC1所成角的余弦值.

解答本題，需先根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，以便明確各點(diǎn)、角、線(xiàn)段、面的位置及其關(guān)系，找到兩條異面直線(xiàn)所成的角，得到恰當(dāng)?shù)慕忸}方案.

思路一：根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義求解

設(shè)a、b 是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn) O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)a 與b 所成的角（或夾角）.在求異面直線(xiàn)所成的角時(shí)，需在空間中找到兩條與異面直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，并使其相交，所成的夾角即為兩條異面直線(xiàn)所成的角.再根據(jù)正余弦定理、勾股定理即可求得夾角的大小.對(duì)于本題，可通過(guò)添加輔助線(xiàn)，作出異面直線(xiàn)的平行線(xiàn)，使 OE//AB1、OF//BC1，則∠EOF 為異面直線(xiàn) AB1與 BC1所成的角，再在ΔA1B1C1、RtΔEGF 、ΔEOF 中，運(yùn)用勾股定理和余弦定理求得異面直線(xiàn) AB1與 BC1所成角的余弦值.

解：

思路二：通過(guò)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系求解

對(duì)于方便建立空間直角坐標(biāo)系的立體幾何問(wèn)題，我們可采用坐標(biāo)系法來(lái)求解.首先根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)、特點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，然后求得各個(gè)點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算即可求得兩異面直線(xiàn)所成的角.對(duì)于本題，我們可以 B 為原點(diǎn)、BC 所在直線(xiàn)為 y 軸、BB1所在直線(xiàn)為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得 A B1與 B C1后，便可利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式求得異面直線(xiàn) AB1與 BC1所成角的余弦值.

解：

思路三：采用基底法求解

運(yùn)用基底法求空間異面直線(xiàn)所成的角，需先選擇合適的基底，根據(jù)空間向量基本定理將兩條異面直線(xiàn)用基底表示出來(lái)，然后根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則以及空間向量的夾角公式來(lái)求得兩異面直線(xiàn)所成的角.對(duì)于本題，可以 B B1、B C 為基底，求得 A B1與 B C1，便可根據(jù)向量的夾角公式進(jìn)行求解.

解：

相比較而言，第一、二個(gè)思路較為常用，第二、三種思路較為簡(jiǎn)單.在求異面直線(xiàn)所成的角時(shí)，同學(xué)們可根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義，也可構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，選取合適的基底，利用空間向量來(lái)解題.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）