顧牡丹， 周輝奎

（1.江西現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院，南昌 330095；2.江西旅游商貿(mào)職業(yè)學(xué)院藝術(shù)傳媒與計(jì)算機(jī)學(xué)院，南昌 330100）

0 引 言

高斯噪聲是成像過程中一種常見的噪聲，對圖像中所有像素都有不同程度的破壞，其嚴(yán)重影響圖像的處理和分析，并且有效去除高斯噪聲異常艱難［1］。Buades等［2］提出非局部均值濾波算法，用圖像中所有像素的非局部均值作為像素的灰度估計(jì)值。但是非局部均值濾波耗時較多、計(jì)算效率低。于是，Zhou 等［3］提出一種快速的非局部均值濾波算法，利用像素權(quán)重的對稱性來減少計(jì)算量。Dabov等［4］提出一種基于稀疏三維變換域的協(xié)同濾波算法（BM3D），BM3D 在圖像去噪領(lǐng)域具有里程碑的意義。為了改善非局部均值濾波中圖像塊的相似性計(jì)算和提升去噪性能，Cai等［5］提出了一種精確的塊匹配算法。鑒于高斯濾波核的各向同性導(dǎo)致不能正確反映圖像的邊緣和結(jié)構(gòu)信息，Jia等［6］提出了基于局部邊緣方向的非局部濾波算法，用方向核回歸系數(shù)計(jì)算邊緣和結(jié)構(gòu)區(qū)域像素的權(quán)重。

Aghajarian等［7］將深度學(xué)習(xí)引入到高斯噪聲的去除中，用包含3 個訓(xùn)練過程的訓(xùn)練模型去除各種強(qiáng)度的高斯噪聲。Majed等［8］提出一種基于深度學(xué)習(xí)的貝葉斯盲去噪方法。但是基于深度學(xué)習(xí)耗時較多，計(jì)算效率較低，難以滿足圖像處理的實(shí)時性要求。鑒于雙邊濾波的邊緣保持性能，Wu 等［9］提出一種雙范圍域核的加權(quán)雙邊濾波器。針對部分文獻(xiàn)犧牲去噪性能以提升雙邊濾波的計(jì)算效率，Chen 等［10］提出一種高斯自適應(yīng)雙邊濾波器，其基本思想是通過高斯空間核獲取低通制導(dǎo)，為后續(xù)的雙邊復(fù)合制導(dǎo)提供一個干凈的高斯范圍域核。

鑒于小波變換具有多分辨率分析和時頻局部化分析等優(yōu)點(diǎn)，部分學(xué)者提出了小波域的濾波方法［11］。然而，小波變換本身具有固有的缺陷：平移敏感性、缺乏方向選擇性和頻率混疊等。于是，Selesnick 等［12］提出了雙樹復(fù)小波變換的框架；部分學(xué)者提出了基于雙樹復(fù)小波變換的去噪方法。Mansoore 等［13］根據(jù)最大后驗(yàn)估計(jì)將二元瑞利分布的重尾尺度混合作為無噪小波系數(shù)幅值的先驗(yàn)分布，并充分利用相鄰小波系數(shù)的相關(guān)性，以提升去噪效果。Lavanya 等［14］將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自然優(yōu)化算法以及雙樹復(fù)小波結(jié)合，將由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自然優(yōu)化算法推導(dǎo)出的閾值運(yùn)算用于小波去噪處理。

現(xiàn)有的濾波方法未能在去除噪聲的同時有效地恢復(fù)圖像的邊緣和細(xì)節(jié)，但未能在去除噪聲，本文提出了邊緣增強(qiáng)的雙密度雙樹復(fù)小波閾值濾波器，從而進(jìn)一步提高高斯噪聲的去除效果，更好地保持和恢復(fù)圖像的邊緣細(xì)節(jié)，同時實(shí)現(xiàn)圖像去噪的實(shí)時計(jì)算。

1 圖像處理方案

本文用邊緣增強(qiáng)的雙密度雙樹復(fù)小波閾值濾波器處理圖像的方法有如下3 個步驟：①用雙密度雙樹復(fù)小波變換對含噪圖像進(jìn)行分解，得到小波系數(shù)；②用提出的可導(dǎo)的閾值函數(shù)與自適應(yīng)閾值對小波系數(shù)進(jìn)行量化處理，去除噪聲，然后作雙密度雙樹復(fù)小波逆變換，得到去噪圖像；③用拉普拉斯算子對去噪圖像進(jìn)行邊緣增強(qiáng)，得到邊緣增強(qiáng)的去噪圖像。

2 圖像濾波器基本原理

2.1 雙密度雙樹復(fù)小波變換

小波變換具有多分辨率分析和時頻局部化分析等優(yōu)點(diǎn)，但是小波變換帶有與生俱來的缺陷：振蕩性、平移敏感性、頻率混疊和方向選擇少。因此，用雙樹復(fù)小波變換［12］，克服小波變換固有的缺陷。復(fù)小波變換表達(dá)式：

式中：t為時間變量；ψr（t）和jψi（t）分別為偶數(shù)值的實(shí)部和奇數(shù)值的虛部。

雙樹復(fù)小波變換的實(shí)部和虛部分別由兩路小波變換、分別使用兩組獨(dú)立的高、低通濾波器實(shí)現(xiàn)，如圖1所示。用圖1 分析濾波器組對圖像進(jìn)行多尺度分解，分別得到實(shí)部和虛部的各尺度的低、高頻小波系數(shù)。其中，f0（n）和f1（n）表示實(shí)部的共軛正交濾波器對，F(xiàn)0（n）和F1（n）表示虛部的共軛積分濾波器對，↓2表示隔點(diǎn)采樣。分別與f0（n）和f1（n）對應(yīng)的尺度函數(shù)φr（t）和小波函數(shù)ψr（t）的定義為

圖1 雙樹復(fù)小波變換的濾波器組

分別與F0（n）和F1（n）對應(yīng)的虛數(shù)值尺度函數(shù)φi（t）和小波函數(shù)ψi（t）的定義為

鑒于雙密度小波變換具有更好的重構(gòu)性和平移不變性，將雙密度小波變換引入到雙樹復(fù)小波變換中，提出了雙密度雙樹復(fù)小波變換［15］。雙密度小波變換利用1 個低通濾波器f0（n）和2 個高通濾波器f1（n）和f2（n）實(shí)現(xiàn)小波變換。相對于小波變換，雙密度小波變換的每尺度分解為1 個低頻和2 個高頻系數(shù)，即：

雙密度雙樹復(fù)小波變換的濾波器組如圖2所示，對圖像進(jìn)行變換時，實(shí)部和虛部在各尺度上分別得到1個低頻系數(shù)和2 個高頻系數(shù)。與雙樹復(fù)小波濾波器組相比，在各尺度上分別多產(chǎn)生1個高頻系數(shù)。高頻系數(shù)表述圖像的邊緣細(xì)節(jié)，如此，雙密度雙樹復(fù)小波濾波器組產(chǎn)生比雙樹復(fù)小波濾波器組更多的方向選擇性。雙密度雙樹復(fù)小波變換除了具有小波變換的多分辨率分析和時頻局部化分析等優(yōu)點(diǎn)，還具有平移不變性和多方向選擇性，能更有效地對圖像進(jìn)行稀疏表示，避免頻率振蕩現(xiàn)象，突出顯示圖像的特征和細(xì)節(jié)紋理結(jié)構(gòu)。

圖2 雙密度雙樹復(fù)小波變換的濾波器組

2.2 閾值去噪模型

2.2.1 可導(dǎo)的閾值函數(shù)

最初用于小波閾值去噪的方法為硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)：

式中：w為閾值處理前的小波系數(shù)；Φh（w）和Φs（w）為閾值處理后的小波系數(shù)；sign（）為符號函數(shù)。其中，函數(shù)（X）＋定義為

一是依托地方高校的區(qū)位優(yōu)勢和實(shí)踐課程的特點(diǎn)，組織學(xué)生到實(shí)地進(jìn)行參觀、考察、調(diào)研、學(xué)習(xí)、交流等活動。譬如：組織學(xué)生到閩東蘇維埃政府舊址--福安溪柄柏柱洋、百丈巖九壯士跳崖犧牲點(diǎn)--寧德市蕉城區(qū)虎貝鎮(zhèn)、中國工農(nóng)紅軍閩東獨(dú)立師展陳館--霍童桃花溪等愛國主義教育基地參觀學(xué)習(xí)，接受革命傳統(tǒng)教育，傳承紅色基因；組織學(xué)生到福安廉村、廉政文化教育示范點(diǎn)等，開展廉政文化教育警示學(xué)習(xí)活動，提高學(xué)生的精神境界，使之內(nèi)化于心；組織學(xué)生與革命斗爭的親歷者、見證者及其子女進(jìn)行交流，或通過“口述歷史”的方式對其進(jìn)行訪談，讓學(xué)生們更加真實(shí)地感受歷史場景，產(chǎn)生情感共鳴，得到更加詳實(shí)和鮮活的第一手資料。

統(tǒng)一閾值

式中：σ為噪聲強(qiáng)度；N為小波系數(shù)數(shù)量。

如圖3 所示為硬、軟閾值函數(shù)的圖像曲線，其中：虛線為輔助線，實(shí)線為函數(shù)圖像，橫坐標(biāo)w 為原小波系數(shù)，縱坐標(biāo)Φ（w）為對w 量化處理后的小波系數(shù)。很明顯，硬閾值函數(shù)將絕對值小于閾值T 的系數(shù)看作噪聲系數(shù)而置零，在閾值T 處將小波系數(shù)截斷，其余系數(shù)保持不變。因此，去噪處理后的小波系數(shù)出現(xiàn)斷層，給圖像引入偽吉布斯現(xiàn)象。軟閾值函數(shù)雖然連續(xù)，但是其將所有的系數(shù)減去1 個閾值量，破壞了原始圖像的信息，去噪圖像產(chǎn)生明顯的模糊效果。另外，硬、軟閾值函數(shù)所用的閾值T缺乏魯棒性，用統(tǒng)一的閾值去處理所有尺度的小波系數(shù)，忽略了無噪小波系數(shù)的特征。因此，本文提出了一種平滑可導(dǎo)的閾值函數(shù)

其圖像曲線如圖3（c）所示。閾值函數(shù)Φ（w）具有優(yōu)良特性：①Φ（w）在整個定義域上連續(xù)，保證了小波系數(shù)的連貫性，避免出現(xiàn)系數(shù)振蕩以致去噪圖像出現(xiàn)振鈴現(xiàn)象。克服了硬閾值函數(shù)的缺陷。②在小波系數(shù)的絕對值大于閾值T 的定義區(qū)間上，Φ（w）高度擬合原小波系數(shù)，有效保持了無噪小波系數(shù)的原始信息?？朔塑涢撝岛瘮?shù)的缺陷。③Φ（w）處處可導(dǎo)，具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)。去噪后的小波系數(shù)具有連貫性和平滑性，能夠保持圖像的視覺自然。

圖3 硬、軟閾值函數(shù)與可導(dǎo)的閾值函數(shù)

2.2.2 自適應(yīng)閾值

對于不同的分解尺度，噪聲的小波系數(shù)表現(xiàn)出不同的特征。大部分的噪聲分布于大尺度分解的小波系數(shù)中，隨著分解尺度的細(xì)化，噪聲的小波系數(shù)幅值變小，因此，在統(tǒng)一閾值（11）的基礎(chǔ)上，本文提出了反比于分解尺度的自適應(yīng)閾值

式中，i為分解尺度。閾值Ti順應(yīng)分解尺度的細(xì)化，隨著分解尺度的細(xì)化，逐步降低閾值的大小，有效保護(hù)了部分小幅值的無噪系數(shù)。

2.3 拉普拉斯邊緣增強(qiáng)

所有的圖像濾波算法都難以避免的問題就是圖像模糊。對圖像的去噪處理，就是將噪聲的影響去除，盡可能地恢復(fù)圖像的原始信息，但是由于噪聲本身的破壞以及去噪處理中的誤操作，難免會對圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)造成一定的破壞。因此，本文對去噪圖像進(jìn)行后增強(qiáng)處理，以恢復(fù)圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)。

對圖像進(jìn)行邊緣提取，與1 階微分相比，2 階微分的邊緣定位能力更強(qiáng)，銳化效果更好。又作為2 階微分算子的拉普拉斯算子是各向同性微分算子，具有旋轉(zhuǎn)不變性。拉普拉斯算子［16］的定義見圖4 所示。

圖4 拉普拉斯算子

將經(jīng)雙密度雙樹復(fù)小波閾值濾波器去噪處理的圖像，用拉普拉斯算子進(jìn)行邊緣提取，然后疊加到去噪圖像中，使得被噪聲和去噪處理破壞的圖像邊緣得到一定程度的恢復(fù)。這樣可以使去噪圖像的各灰度值得到保留，同時使灰度突變處的對比度得到增強(qiáng)，最終結(jié)果是在保留圖像背景的前提下，突出圖像的微小細(xì)節(jié)信息。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

為驗(yàn)證所提出方法的有效性和實(shí)用性，將所提出方法與文獻(xiàn)［4］、［9］、［13］和［14］中提出的方法應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)圖像，根據(jù)實(shí)驗(yàn)的效果圖、峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）和邊緣保持指數(shù)（Edge Preserved Index，EPI）［17］以及計(jì)算效率進(jìn)行對比分析。

本文使用Intel i5 CPU 和8GB RAM、系統(tǒng)為Win10 的計(jì)算機(jī)，Matlab 2013b 軟件作為運(yùn)算平臺，實(shí)驗(yàn)圖像用文獻(xiàn)［18］中的部分圖像和部分醫(yī)學(xué)圖像，見圖5 所示。實(shí)驗(yàn)步驟為：①用Matlab 語言實(shí)現(xiàn)本文方法與文獻(xiàn)［4］、［9］、［13-14］中提出的方法；②將用Matlab語言編程實(shí)現(xiàn)的本文方法以及參與實(shí)驗(yàn)比較的方法應(yīng)用于含不同強(qiáng)度噪聲的圖像，以去除噪聲；③對由Matlab軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)得出的去噪結(jié)果，包括去噪圖像、PSNR和EPI值以及算法的計(jì)算時間，進(jìn)行組織和分析，得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

圖5 實(shí)驗(yàn)圖像

3.1 不同算法下圖像去噪的效果

對低強(qiáng)度噪聲，去噪圖像有時候難分優(yōu)劣，因此對去噪圖像效果的比較，本文選擇較高強(qiáng)度的噪聲。對圖像boat添加強(qiáng)度σ ＝40 的高斯噪聲，各算法對其去噪的效果如圖6 所示，各去噪圖像對應(yīng)的PSNR和EPI值在其分標(biāo)題中標(biāo)示。文獻(xiàn)［13］中的去噪效果較差，模糊效果嚴(yán)重，雖然去除了噪聲，但是圖像的邊緣和細(xì)節(jié)已被破壞；文獻(xiàn)［9］和［14］中的去噪效果類似，能在一定程度上對噪聲圖像進(jìn)行有效的恢復(fù)，但是它們的模糊效果還是比較明顯，邊緣細(xì)節(jié)的恢復(fù)效果欠佳；文獻(xiàn)［4］中和本文方法的去噪效果較好，整體圖像較清晰，文獻(xiàn)［4］中方法有明顯的平滑效果，而本文方法對邊緣細(xì)節(jié)保持得較好；而從對應(yīng)的PSNR 和EPI 值可以看出，本文方法稍微優(yōu)于文獻(xiàn)［4］。

圖6 在含噪強(qiáng)度σ ＝40時各算法對圖像boat的去噪效果

各算法對含噪強(qiáng)度為σ ＝50 的乳腺圖像mammogram的去噪效果如圖7所示。乳腺圖像的背景是平滑區(qū)域，只有前景對象含有紋理和邊緣。在如此高強(qiáng)度的噪聲下，從噪聲圖像只能看出前景對象的大致輪廓。文獻(xiàn)［13］中的效果較差，模糊效果嚴(yán)重，未能有效恢復(fù)圖像前景對象的紋理和細(xì)節(jié)；文獻(xiàn)［9］和［14］中雖然在一定程度上對圖像進(jìn)行了恢復(fù)，但是其模糊效果依然明顯，前景對象的部分紋理和細(xì)節(jié)已丟失；文獻(xiàn)［4］中的圖像恢復(fù)效果較好，但是前景對象出現(xiàn)疙瘩。而本文方法較好地恢復(fù)了圖像，紋理和細(xì)節(jié)保持得較好，圖像的清晰度較高，根據(jù)各分圖對應(yīng)的PSNR和EPI值的比較得出的結(jié)論，與視覺效果基本上是一致的。

圖7 在含噪強(qiáng)度σ ＝50時各算法對圖像mammogram的去噪效果

3.2 各種噪聲強(qiáng)度的PSNR和EPI

對圖像man 添加不同強(qiáng)度的高斯噪聲，各算法對其進(jìn)行去噪而得的PSNR和EPI值以圖像曲線的形式顯示如圖8 所示。文獻(xiàn)［9］、［13-14］中的去噪結(jié)果比較接近，有的算法PSNR 高一點(diǎn)，但其EPI 值低一點(diǎn)，但差別不大。文獻(xiàn)［4］中和本文方法的去噪結(jié)果較好，PSNR值本文方法比文獻(xiàn)［4］中的稍高，但是差距不大，而在噪聲強(qiáng)度較大時，文獻(xiàn)［4］中的EPI 值比本文方法稍高。

圖8 各算法對圖像man去噪處理結(jié)果

各算法對含不同強(qiáng)度噪聲的醫(yī)學(xué)圖像chest＿xray進(jìn)行去噪的PSNR和EPI 值如圖9 所示。文獻(xiàn)［9］中的PSNR和EPI值相對較低，文獻(xiàn)［13-14］中的PSNR曲線比較接近，而文獻(xiàn)［13］中的EPI值比文獻(xiàn)［14］中的高出大約3%，在噪聲強(qiáng)度較高時，文獻(xiàn)［13］中的對圖像的邊緣和紋理保持得較好，EPI值較高。相對地，文獻(xiàn)［4］中和本文方法的PSNR和EPI值較高，在噪聲密度較高時，本文方法的PSNR 值稍微高于文獻(xiàn)［4］，而對于EPI值，本文方法與文獻(xiàn)［4］中的相差不大，難分優(yōu)劣。

圖9 各算法對圖像chest＿xray去噪處理結(jié)果

各算法對含不同強(qiáng)度噪聲的圖像boat 進(jìn)行去噪的結(jié)果如圖10 所示。文獻(xiàn)［9］、［13-14］中方法的去噪效果較差，而文獻(xiàn)［4］中和本文方法的去噪效果較好，顯著優(yōu)于文獻(xiàn)［9］、［13-14］中的方法，其中本文方法稍微優(yōu)于文獻(xiàn)［4］。

圖10 各算法對圖像boat去噪處理結(jié)果

各算法對含不同強(qiáng)度噪聲的乳腺圖像mammogram去噪的PSNR 和EPI 值如圖11 所示。在PSNR上，文獻(xiàn)［9］、［13-14］中的方法較為接近，其值較低，而本文方法與文獻(xiàn)［4］中的方法也較為接近，但是明顯優(yōu)于文獻(xiàn)［9］、［13-14］中的方法，本文方法的PSNR值稍微高于文獻(xiàn)［4］的方法。在EPI 上，文獻(xiàn)［9］和［14］中的方法的值較低，而文獻(xiàn)［13］中的方法的值處于中等水平，文獻(xiàn)［4］中和本文方法的值較高，與其他算法拉開較大的差距。

圖11 各算法對圖像mammogram去噪處理結(jié)果

除了在單張圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，本文還在源自文獻(xiàn)［18］的整體數(shù)據(jù)集Set12 上，再次驗(yàn)證各方法的去噪性能。將各算法應(yīng)用于Set12 中的所有圖像，將其結(jié)果PSNR和EPI 對圖像數(shù)量取平均值，如圖12 所示。從PSNR曲線來看，除了文獻(xiàn)［4］中和本文方法，其他方法的去噪性能并不高；但從EPI 曲線看，文獻(xiàn)［13］中的EPI曲線相對較高，表明其對邊緣和紋理結(jié)構(gòu)保持和恢復(fù)得較好。相對地，文獻(xiàn)［4］中和本文方法的PSNR和EPI曲線均處于最高位置，兩者的差別微小，細(xì)心觀察可以看出，本文方法還是稍微優(yōu)于文獻(xiàn)［4］。

圖12 各算法在數(shù)據(jù)集Set12上的平均PSNR和EPI

以上分別根據(jù)視覺感知和客觀數(shù)據(jù)對本文方法進(jìn)行了比較驗(yàn)證，結(jié)果顯示，本文方法的去噪性能優(yōu)于多數(shù)的現(xiàn)有方法，作為圖像去噪領(lǐng)域中具有里程碑意義的文獻(xiàn)［4］中的方法，雖然本文方法沒有明顯優(yōu)于文獻(xiàn)［4］，但是基本上與其持平，對于部分圖像或部分噪聲強(qiáng)度，本文方法稍微優(yōu)于文獻(xiàn)［4］。

3.3 計(jì)算效率

選擇數(shù)據(jù)集Set12 中圖像用不同算法的測試計(jì)算效率，各算法對圖像數(shù)量的平均計(jì)算時間如表1 所示。噪聲強(qiáng)度的增大，往往會增加算法處理的復(fù)雜度，所以對高強(qiáng)度噪聲的處理耗時一般會略高于低強(qiáng)度噪聲。文獻(xiàn)［14］中的耗時最高，難以滿足圖像處理對實(shí)時性的要求。文獻(xiàn)［4］和［13］中的計(jì)算速度處于中等水平。文獻(xiàn)［9］中和本文算法的計(jì)算速度最快，在噪聲強(qiáng)度較高時，本文方法稍微快于文獻(xiàn)［9］中的方法。因此，本文方法具有媲美于文獻(xiàn)［4］中的良好的去噪性能，且具有實(shí)時的計(jì)算效率。

表1 各算法在數(shù)據(jù)集Set12 上的平均計(jì)算時間 s

4 結(jié) 語

本文提出的邊緣增強(qiáng)的雙密度雙樹復(fù)小波閾值濾波器、提高高斯噪聲的去除效果，通過Matlab 2013b軟件編程實(shí)驗(yàn)及與相關(guān)圖像文獻(xiàn)比較運(yùn)算驗(yàn)證，結(jié)果表明：①相對于現(xiàn)有的方法，本文方法的去噪圖像更清晰，圖像的邊緣細(xì)節(jié)恢復(fù)得更好；②本文方法去噪得出的PSNR和EPI值比現(xiàn)有的方法更高，顯示更好的圖像去噪和邊緣恢復(fù)性能；③本文方法具有實(shí)時的計(jì)算效率，適用于實(shí)時的圖像計(jì)算處理。課題組計(jì)劃將本文方法作進(jìn)一步改進(jìn)，應(yīng)用于混合噪聲的去除以及含噪圖像的增強(qiáng)，以提高實(shí)際應(yīng)用的圖像質(zhì)量和效果。