傅瑞琦

(金華市教育教學(xué)研究中心,浙江 金華 321000)

數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容繁多，概念定理紛繁復(fù)雜，眾多的知識(shí)內(nèi)容之間必然存在關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)提供的前概念、前經(jīng)驗(yàn)，是尋找新知學(xué)習(xí)的新起點(diǎn).如果找到這種聯(lián)系，就能夠統(tǒng)整課時(shí)目標(biāo)與學(xué)習(xí)要素，洞悉知識(shí)的生成，掌握知識(shí)的來(lái)龍去脈，將新知學(xué)習(xí)與已有知識(shí)有機(jī)融合，實(shí)現(xiàn)碎片化知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，掌握“用相似的方法解決不同的問(wèn)題”，積累數(shù)學(xué)研究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

在相關(guān)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，無(wú)論是一次函數(shù)、反比例函數(shù)還是二次函數(shù)，都體現(xiàn)出研究角度、研究方法和研究路徑的一致性，即引導(dǎo)學(xué)生理解變量之間的依存關(guān)系和變化規(guī)律,通過(guò)“建立模型(尋找函數(shù)關(guān)系)—解釋模型(利用圖像性質(zhì)解決問(wèn)題)—應(yīng)用模型(用函數(shù)結(jié)論解釋實(shí)際問(wèn)題)”來(lái)體會(huì)研究函數(shù)的完整過(guò)程.但是，函數(shù)概念的抽象過(guò)程往往被忽視，如何根據(jù)函數(shù)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)路徑的關(guān)聯(lián)性，將已有的經(jīng)驗(yàn)遷移到新的情境中，再一次理解函數(shù)的“對(duì)應(yīng)”本質(zhì)，掌握函數(shù)建模的方法？現(xiàn)以浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下第6.1節(jié)“反比例函數(shù)”第一課時(shí)的教學(xué)為例，探討如何分析內(nèi)容,尋找關(guān)聯(lián),整體設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)、學(xué)情與教學(xué)策略的有機(jī)融合.

1 內(nèi)容分析

“反比例函數(shù)”分兩個(gè)課時(shí)完成，本節(jié)課是第一課時(shí)，也是本章學(xué)習(xí)的起始課．這就需要在引入研究對(duì)象時(shí)，類比一次函數(shù)提出研究問(wèn)題，規(guī)劃研究思路，真正起到先行組織者的作用.

函數(shù)是刻畫(huà)變化過(guò)程的重要數(shù)學(xué)模型.在函數(shù)領(lǐng)域，反比例函數(shù)模型是學(xué)生第二次接觸函數(shù)內(nèi)容，如果說(shuō)在八年級(jí)上“一次函數(shù)”的學(xué)習(xí)是學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)，即“變化過(guò)程、定量研究、整體歸納”，那么“反比例函數(shù)”的學(xué)習(xí)是運(yùn)用結(jié)構(gòu)(如圖1)，到九年級(jí)下“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)就是深化結(jié)構(gòu).本節(jié)課的主要內(nèi)容是抽象反比例函數(shù)的概念,重點(diǎn)是形成反比例函數(shù)的概念.

圖1

2 目標(biāo)分析

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中非常重要的基本概念，主要目標(biāo)是：從現(xiàn)實(shí)情境和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，討論兩個(gè)變量之間的互相關(guān)系，加深對(duì)函數(shù)概念的理解，再一次感受變化與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想；經(jīng)歷抽象反比例概念的過(guò)程，了解兩個(gè)變量成反比例的意義，理解反比例函數(shù)的概念，感受數(shù)學(xué)建模的思想；會(huì)求簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù)的表達(dá)式.

3 學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)了反比例關(guān)系，在八年級(jí)上學(xué)習(xí)了函數(shù)及一次函數(shù)，初步掌握了函數(shù)的概念，有一定的抽象概括能力.學(xué)生也有一定的應(yīng)用類比思想的經(jīng)歷，如在學(xué)習(xí)一元一次方程的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)一元二次方程，在學(xué)習(xí)平行四邊形的基礎(chǔ)上探究特殊平行四邊形等，這些都為反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備了較好的條件與基礎(chǔ).

由于函數(shù)學(xué)習(xí)具有抽象性，學(xué)生的抽象概括能力還有待加強(qiáng)，因此，當(dāng)本節(jié)課例題涉及科學(xué)中的杠桿原理時(shí)，學(xué)生對(duì)題意的理解有一定的難度，這也是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).

4 教學(xué)過(guò)程

4.1 情境引入

情境1小明準(zhǔn)備從體育公園到高鐵站，通過(guò)查詢地圖，選擇了一條6 km線路，有4種方案(如表1)，請(qǐng)?zhí)畋砗笏伎?

表1 行車方案

思考1)y與x之間有什么關(guān)系？能用式子表示嗎？

2)你能舉出生活中具有反比例關(guān)系的例子嗎？

生1：xy=6,y與x之間存在反比例關(guān)系.

師：它們之間是兩個(gè)相依變化的量，回憶一下，什么是反比例關(guān)系？

生2：小學(xué)里學(xué)過(guò)，如果兩個(gè)變量的積是一個(gè)不為0的常數(shù)，那么這兩個(gè)量成反比例，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

學(xué)生舉例匯總后：

1)電流問(wèn)題：IR=U，當(dāng)電壓U為定值時(shí)，如IR=220；

2)壓強(qiáng)問(wèn)題：PS=F，當(dāng)壓力F為定值時(shí)，如PS=100；

3)密度問(wèn)題：Vρ=G,當(dāng)質(zhì)量G為定值時(shí)，如Vρ=100.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生類比舉例，通過(guò)實(shí)例回憶小學(xué)階段學(xué)過(guò)的反比例關(guān)系.現(xiàn)實(shí)生活中存在反比例關(guān)系，需要聚焦其共性，明確研究的需要；另外,以表格的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生在變化中感受“常量”“變量”，體會(huì)“對(duì)應(yīng)”，為引出反比例函數(shù)做鋪墊.

情境2若有4條線路，駕車平均速度為40 km/h,請(qǐng)?zhí)顚?xiě)表2后思考.

表2 不同線路的行駛時(shí)間與路程

思考1)y與x之間有什么關(guān)系？與情境1中的xy=6在形式上有什么區(qū)別？

2)y=40x是正比例函數(shù),對(duì)于xy=6，y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？

3)列舉出的這些關(guān)系也是函數(shù)嗎？

師：我們判斷這些是一類新函數(shù)，類比正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)歷程和方法，說(shuō)說(shuō)新函數(shù)學(xué)習(xí)的基本順序.

師生共同交流得出圖2：

圖2

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生回憶正比例函數(shù)(一次函數(shù))概念的獲得.通過(guò)類比，得出一個(gè)新函數(shù)概念需要經(jīng)歷的過(guò)程：關(guān)注關(guān)系共性、判斷是否是函數(shù)、抽象函數(shù)表達(dá)式.在形式與內(nèi)容上,為抽象得出反比例函數(shù)概念提出研究方向.

4.2 概念得出

問(wèn)題1觀察下列函數(shù)表達(dá)式：

思考1)它們具有什么共同特征？

2)類比正比例函數(shù)的概念，你能寫(xiě)出新函數(shù)的定義嗎？

3)這兩類函數(shù)有什么區(qū)別？

設(shè)計(jì)意圖這是概念的形成過(guò)程，從所列舉的典型、豐富、具體的反比例關(guān)系中，去觀察、概括這一類函數(shù)的共同特征，并得到概念的本質(zhì)屬性，完成實(shí)際問(wèn)題的抽象過(guò)程.再類比正比例函數(shù)，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)概念模型的歸納，從而豐富學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4.3 概念辨析

問(wèn)題2下列函數(shù)中，哪些是反比例函數(shù)？是反比例函數(shù)的，請(qǐng)指出反比例系數(shù)及自變量的取值范圍.

4.4 概念鞏固

說(shuō)一說(shuō)在情境1的表格中.

1)若x=6,求函數(shù)y的值,他們的含義是什么？

2)觀察表1中數(shù)的變化，說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)？

生9：當(dāng)速度x越來(lái)越小時(shí)，使用的時(shí)間y越來(lái)越多.

生10：當(dāng)x=60時(shí)，y=0.1;當(dāng)x=15時(shí)，y=0.4.說(shuō)明x減少4倍，y就增加4倍.

師(小結(jié))：這再一次驗(yàn)證了函數(shù)中兩個(gè)變量的一種對(duì)應(yīng)變化關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖一是通過(guò)求函數(shù)值，進(jìn)一步將反比例函數(shù)的概念學(xué)習(xí)融入函數(shù)的學(xué)習(xí)體系；二是引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中數(shù)據(jù)的變化，讓學(xué)生再一次感受反比例函數(shù)模型中的對(duì)應(yīng)、變化關(guān)系，其反比例變化的特點(diǎn)，為有效突破教學(xué)難點(diǎn)打下基礎(chǔ).

4.5 實(shí)際應(yīng)用

想一想圖3中女孩如果想壓下去怎么辦？圖4中哪位工人可以使用更小的力量撬起這塊石頭？其中的科學(xué)原理是什么？

生11：圖4中，讓女孩往后移，或者女孩這邊再加重物.

生12：圖5中，右邊這位工人可以使用更小的力量撬起這塊石頭.

圖3 圖4

生13：其中的原理是科學(xué)中的杠桿原理.

師：聯(lián)系科學(xué)知識(shí)，如圖5,當(dāng)杠桿平衡時(shí)，有“動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂”.

設(shè)計(jì)意圖用數(shù)學(xué)模型來(lái)理解物理性質(zhì),對(duì)學(xué)生的能力要求較高.為了突破理解上的障礙，先呈現(xiàn)蹺蹺板、工人撬石頭等情境，讓學(xué)生聯(lián)系自己的生活經(jīng)驗(yàn),直觀感知來(lái)判斷，通過(guò)問(wèn)題的分解來(lái)突破教材例題的難點(diǎn).

圖5 圖6

求一求如圖6，阻力為1 000 N，阻力臂長(zhǎng)為5 cm.設(shè)動(dòng)力y(N)，動(dòng)力臂為x(cm)(杠桿本身所受重力略去不計(jì)).

1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.這個(gè)函數(shù)是反比例函數(shù)嗎?如果是，請(qǐng)說(shuō)出比例系數(shù).

2)求當(dāng)x=50時(shí)，函數(shù)y的值，并說(shuō)明這個(gè)值的實(shí)際意義.

3)利用y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，說(shuō)明當(dāng)動(dòng)力臂長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的n(其中n>1)倍時(shí)，所需動(dòng)力將怎樣變化？

思考1)嘗試在圖6上標(biāo)上數(shù)據(jù)，可以得到什么等式？

2)第3)小題求解時(shí)，設(shè)原來(lái)的動(dòng)力臂長(zhǎng)為d，動(dòng)力是多少？當(dāng)動(dòng)力臂長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍時(shí)，動(dòng)力臂的長(zhǎng)度是多少？動(dòng)力呢？

3)第3)小題的求解能解釋對(duì)圖3、圖4的判斷嗎？

設(shè)計(jì)意圖本題設(shè)置了3個(gè)逐步遞進(jìn)的問(wèn)題，呈現(xiàn)了函數(shù)建模、理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用的過(guò)程.有了前面“想一想”的鋪墊，學(xué)生容易根據(jù)杠桿原理的等式得出函數(shù)表達(dá)式,當(dāng)x分別為50，d,nd時(shí)求y的值，比較動(dòng)力臂變化前后的動(dòng)力變化，再一次感受函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及反比例關(guān)系.思考3)的追問(wèn)，讓學(xué)生聯(lián)系經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用反比例函數(shù)的知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，感受反比例函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值.

4.6 課堂小結(jié)

說(shuō)一說(shuō)這節(jié)課研究了反比例函數(shù)的哪些內(nèi)容？請(qǐng)?jiān)趫D2上補(bǔ)充完整.接下去將研究什么？

圖7

設(shè)計(jì)意圖這是概念“由厚到薄”的精致過(guò)程，通過(guò)結(jié)構(gòu)化的總結(jié)，精練而深刻.一是讓學(xué)生類比正比例函數(shù)概念的形成過(guò)程，再一次反思、檢驗(yàn)自己得出反比例函數(shù)概念路徑的合理性，為以后學(xué)習(xí)二次函數(shù)打下基礎(chǔ)；二是與一次函數(shù)的學(xué)習(xí)建立聯(lián)系，在掌握反比例函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，再次深度融合,并結(jié)合研究函數(shù)的基本流程，提出進(jìn)一步研究的方向，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

5 教學(xué)反思

5.1 尋找關(guān)聯(lián)，完善認(rèn)知建構(gòu)

5.2 整體設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中.從整節(jié)課的學(xué)習(xí)框架(圖7)可以看出，先是提供具體情境，通過(guò)列舉實(shí)例、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象認(rèn)識(shí)具有反比例關(guān)系的函數(shù)，這是進(jìn)行深度學(xué)習(xí)活動(dòng)的基礎(chǔ)；再是聯(lián)系正比例函數(shù)，類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)思路、研究方法，引導(dǎo)學(xué)生獲得反比例函數(shù)的概念，并在概念的辨析、鞏固中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步精致概念，建構(gòu)知識(shí)體系，形成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵；最后，設(shè)計(jì)“實(shí)際應(yīng)用”，讓學(xué)生經(jīng)歷反比例函數(shù)來(lái)建模、理解和應(yīng)用，將獲得的知識(shí)內(nèi)容、思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及深度感悟?qū)W以致用，有效解決“杠桿原理”的實(shí)際問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)有效遷移，感受反比例函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，這是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的具體表現(xiàn).