余樹(shù)寶, 肖婧鈺

(1.合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)，安徽 合肥 230009；2.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)之一，導(dǎo)數(shù)為研究函數(shù)圖像的切線、單調(diào)性、極值(最值)等方面提供了最有效的工具，因此在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的考查都非常突出．

在高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的考查一般關(guān)注以下5個(gè)方面：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)圖像的切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)或其取值范圍；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)；利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根或不等式的解等問(wèn)題.重點(diǎn)考查理性思維和數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)，考查邏輯思維、運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力，滲透函數(shù)與方程、分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法．因此，高考導(dǎo)數(shù)題對(duì)學(xué)生素質(zhì)和能力的要求較高．

針對(duì)這一重要考點(diǎn)，筆者以2021年全國(guó)數(shù)學(xué)高考乙卷第20題的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)過(guò)程、設(shè)計(jì)意圖以及教學(xué)思考，供同行參考．

1 真題呈現(xiàn)

例1設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn)．

1)求a；

(2021年全國(guó)數(shù)學(xué)高考乙卷理科試題第20題)

2 試題分析

本題屬于探索創(chuàng)新情境的綜合性試題，具體考查函數(shù)極值點(diǎn)概念、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)與不等式中的應(yīng)用等必備知識(shí)．問(wèn)題解決的過(guò)程中重點(diǎn)考查了邏輯思維和運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力，滲透了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法．

從數(shù)學(xué)課程的核心素養(yǎng)上來(lái)看，本題考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)．從高考考查的學(xué)科素養(yǎng)上來(lái)看，本題重點(diǎn)考查了理性思維和數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)．

第1)小題是一道基礎(chǔ)題，由極值點(diǎn)定義，不難得到關(guān)于a的方程，求解可得a的值；第2)小題是本題的難點(diǎn)，最佳路徑是先用分析法，將復(fù)雜不等式g(x)<1轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單不等式x+(1-x)ln(1-x)>0，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)φ(x)=x+(1-x)ln(1-x)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域．此類(lèi)問(wèn)題在歷年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)，如2020年和2021年的浙江省數(shù)學(xué)高考解答題都考查了不等式的證明問(wèn)題，值得重視．

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 函數(shù)的極值點(diǎn)

本課以問(wèn)題為導(dǎo)向，通過(guò)師生互動(dòng)、合作交流等形式開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).

問(wèn)題1什么是函數(shù)極值點(diǎn)？

學(xué)生思考后回答．教師設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生深入理解極值點(diǎn)及相關(guān)概念．

追問(wèn)1函數(shù)極值點(diǎn)是“點(diǎn)”嗎？滿足f′(x0)=0的x0一定是f(x)的極值點(diǎn)嗎？極值點(diǎn)與極值的關(guān)系是什么？

設(shè)計(jì)意圖旨在讓學(xué)生回顧此概念，進(jìn)一步加深對(duì)此概念的全面理解，從而完成第1)小題．

問(wèn)題2本題的第1)小題如何解決？請(qǐng)有邏輯地書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程．

學(xué)生在理解了極值點(diǎn)的概念之后，由已知“x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn)”,可得“x=0是方程y′=0的根”,從而解得a的值．

此題雖是一道簡(jiǎn)單題，但若概念不清，或?qū)?fù)合函數(shù)求導(dǎo)有誤，則可能就是一道易錯(cuò)題．因此求導(dǎo)公式與法則，特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，要求學(xué)生務(wù)必準(zhǔn)確記憶，熟練應(yīng)用．

另外，從嚴(yán)謹(jǐn)性來(lái)說(shuō)，需要驗(yàn)證當(dāng)a=1時(shí)，x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn)，因?yàn)椤癴′(x0)=0”是“x0是f(x)的極值點(diǎn)”的必要條件．

學(xué)生的解答過(guò)程中有可能沒(méi)有驗(yàn)證，這就是為什么教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主運(yùn)算，給出問(wèn)題的解答思路，并認(rèn)真且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貢?shū)寫(xiě)解答過(guò)程的原因．

教師給學(xué)生一定的時(shí)間，讓學(xué)生獨(dú)立完成解題過(guò)程，并展示解題步驟．

第1步(復(fù)合函數(shù)求導(dǎo))：設(shè)h(x)=xf(x)，則

第2步(代入求值)：因?yàn)閤=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn)，所以h′(0)=0，即lna=0，故a=1．

第3步(驗(yàn)證有效性)：當(dāng)a=1時(shí)，

從而當(dāng)x<0時(shí)，h′(x)>0；當(dāng)0

綜上所述，a=1．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)讓學(xué)生獨(dú)立地寫(xiě)出完整的解題過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范準(zhǔn)確且有邏輯地表達(dá)數(shù)學(xué)語(yǔ)言和書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程的能力．

這是一道變式題，問(wèn)題3與例1都屬于極值點(diǎn)問(wèn)題，且均含有參數(shù)，只不過(guò)例1條件中直接告知極值點(diǎn)，而此題中沒(méi)告訴，因此兩題的解答思路并不完全相同．

師：f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)意味著f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根．這顯然是根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求a的取值范圍，如何解答？

生1：首先肯定是求導(dǎo)數(shù)f′(x),f′(x)=ex-ax.

師(追問(wèn))：根據(jù)剛才的分析，接下來(lái)是不是直接分析方程f′(x)=0的根？

教師給予肯定，通過(guò)參變量分離，利用函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決問(wèn)題．

圖1

然后討論增減性：當(dāng)x<0或01時(shí)，g′(x)>0，從而g(x)在區(qū)間(-∞,0),(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，又g(1)=e，于是g(x)的大致圖像如圖1所示.

師：此時(shí)，我們要根據(jù)什么來(lái)判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍呢？

設(shè)計(jì)意圖師生合作，集思廣益,共同完成了這道變式題，旨在加深學(xué)生對(duì)函數(shù)極值點(diǎn)概念的理解，積累極值問(wèn)題可以通過(guò)參變量分離法轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，同時(shí)體會(huì)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想在問(wèn)題解決過(guò)程中的價(jià)值．

3.2 不等式與函數(shù)的關(guān)系

問(wèn)題4回憶一下，不等式常用的證明方法有哪幾種？

學(xué)生思考后回答．不等式常用的證明方法有比較法、綜合法、分析法、數(shù)形結(jié)合法等．

設(shè)計(jì)意圖旨在回顧相關(guān)知識(shí)，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，引導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄍ瓿傻?)小題的證明．

問(wèn)題5例1第2)小題g(x)<1的證明思路是什么？

生5：可用分析法進(jìn)行證明.要證明g(x)<1，即證

只需證x+ln(1-x)

師：分式中的分母xln(1-x)是正數(shù)嗎？

生6：不是．由不等式

得x<0或0

只需證

x+ln(1-x)>xln(1-x)，

即證x+(1-x)ln(1-x)>0對(duì)任意x<0或0

師(追問(wèn))：接下來(lái)如何解決？

生7：構(gòu)造函數(shù)φ(x)=x+(1-x)ln(1-x)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明φ(x)>0恒成立即可．

師：把不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，即用函數(shù)來(lái)研究不等式是一種有效的方法．前面的轉(zhuǎn)化有意義嗎？為什么不直接證明g(x)max<1？

教師讓學(xué)生分別證明φ(x)min>0和g(x)max<1，經(jīng)歷兩個(gè)不同函數(shù)的最值求解過(guò)程，體會(huì)它們的優(yōu)劣．

對(duì)φ(x)求導(dǎo)得φ′(x)=-ln(1-x).當(dāng)x<0時(shí)，φ′(x)<0；當(dāng)00，從而φ(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.又φ(0)=0,則φ(x)>0對(duì)任意x<0或0

對(duì)于g(x),求導(dǎo)得

設(shè)計(jì)意圖這是一個(gè)不等式的證明問(wèn)題，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中常見(jiàn)的問(wèn)題．問(wèn)題解決的關(guān)鍵往往是“轉(zhuǎn)化”，即“不等式”向“函數(shù)”轉(zhuǎn)化．將不等式證明的問(wèn)題，即不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)知道函數(shù)單調(diào)性之后，用單調(diào)性法求函數(shù)的最值．整個(gè)過(guò)程滲透了數(shù)學(xué)中的四大思想，即函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想．

另外，歷年的高考題一般都能在課本中找到源頭．追根溯源，例1的源頭是人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-2)》習(xí)題1.3B組第1題：

例2證明：不等式lnx

例2拓展到例1的推理路徑是：由lnx0且x≠1)，從而

即

亦即

1-x+xlnx>0，

于是1-(1-x)+(1-x)ln(1-x)>0(其中x<1且x≠0)，

進(jìn)而

x+(1-x)ln(1-x)>0，

即

x+ln(1-x)>xln(1-x)，

亦即

故

g(x)<1．

4 教學(xué)建議

4.1 注重概念教學(xué)

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，但高考復(fù)習(xí)不能成為單純的解題教學(xué)，不能讓“課堂講題，課后做題”成為常態(tài)，不能忽視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，特別是數(shù)學(xué)概念的回顧與理解，否則就會(huì)造成學(xué)生對(duì)概念的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生與發(fā)展模糊不清或理解不深的問(wèn)題．本題中的“函數(shù)的極值點(diǎn)”這一概念，容易錯(cuò)誤地認(rèn)為是圖像上較低點(diǎn)或較高點(diǎn)或是拐點(diǎn)，也容易錯(cuò)誤地認(rèn)為它是“導(dǎo)函數(shù)值為0的根”的充要條件．

本題由h′(0)=0得到a=1后，在不失嚴(yán)謹(jǐn)性的條件下，一定要驗(yàn)證當(dāng)a=1時(shí)，是不是保證了條件“x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn)”.

4.2 注重變式訓(xùn)練

我們常說(shuō)“抓綱務(wù)本”，其實(shí)這里的“本”就是“教材”或“課本”．高考命題者主要依據(jù)考綱(或課程標(biāo)準(zhǔn))和教材進(jìn)行命題，多數(shù)高考題都能在“課本”中找到源頭，因此在備考復(fù)習(xí)時(shí)，千萬(wàn)別忽視了課本.回歸課本，特別要加強(qiáng)對(duì)課本例習(xí)題的研究與剖析，注重對(duì)課本例習(xí)題進(jìn)行變式訓(xùn)練，因?yàn)檎n本中的例題和習(xí)題是專(zhuān)家學(xué)者們?cè)诰帉?xiě)教材時(shí)精心篩選來(lái)的，深具典型性、代表性，十分有研究?jī)r(jià)值．挖掘教材，變式訓(xùn)練，能培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，也符合我們“熟能生巧”的教育古訓(xùn)．文獻(xiàn)[1]提出：把握數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì)，明晰什么是數(shù)學(xué)的通性通法．因此，摒棄“題海戰(zhàn)術(shù)”及“重復(fù)訓(xùn)練”，回歸教材，以變式練習(xí)來(lái)幫助學(xué)生掌握解題技能，積累解題經(jīng)驗(yàn)．

4.3 注重融會(huì)貫通

當(dāng)前乃至今后的高考，更加強(qiáng)調(diào)考查的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，特別是綜合性，要求對(duì)同一層面的知識(shí)、能力、素養(yǎng)能夠橫向融會(huì)貫通，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)[2]．如對(duì)于方程、不等式、數(shù)列等問(wèn)題，我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)理解并加以解決．譬如方程根的問(wèn)題就是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，也是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題；不等式解的問(wèn)題就是函數(shù)圖像的問(wèn)題，也是函數(shù)的值域問(wèn)題．當(dāng)然數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想在此起著關(guān)鍵作用．

高三教學(xué)不是孤立地就單一知識(shí)點(diǎn)或問(wèn)題的教學(xué)，而應(yīng)成為相關(guān)知識(shí)或問(wèn)題聯(lián)系的教學(xué)．現(xiàn)在新課程倡導(dǎo)的大單元教學(xué)法其實(shí)也說(shuō)明了這一觀點(diǎn)的重要性．