曹江誼

(義烏市第五中學(xué),浙江 義烏 322000)

“1”是數(shù)字發(fā)展的開始，也是人類最早用于記數(shù)的單位，更是在數(shù)學(xué)解題中不尋常且又奇妙的存在，在諸多知識板塊的問題求解中都能見到它活躍的身影，尤其在最值問題中.無論是不等式的最值問題，還是與函數(shù)、解析幾何、線性規(guī)劃等其他知識相結(jié)合的問題，靈活運(yùn)用數(shù)字“1”進(jìn)行式子轉(zhuǎn)化，常能快速找到解題思路，從而使問題迎刃而解.

本文從平時的教學(xué)中總結(jié)了多類最值問題，試圖通過數(shù)字“1”在這些題目中的巧妙應(yīng)用，讓學(xué)生深刻體會數(shù)字“1”在最值問題中的重要作用，嘗試引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘數(shù)字“1”的各種巧思妙用，以此提高他們的觀察運(yùn)算能力和邏輯思維能力.

1 在不等式最值問題中的應(yīng)用

在不等式最值問題中，如何巧妙地使用數(shù)字“1”是解題的關(guān)鍵.它的恰當(dāng)、靈活運(yùn)用，不僅能達(dá)到化繁為簡、化難為易的效果，而且還能讓學(xué)生在解題中感受到“柳暗花明又一村”的驚喜.求解時，數(shù)字“1”有相乘、配湊、分離、消減等多種應(yīng)用技巧和方式.下面就“1”的應(yīng)用技巧簡單舉例介紹.

( )

A.m≥4或m≤-2 B.m≥2或m≤-4

C.-2

解若x+2y>m2-2m恒成立，則

m2-2m<(x+2y)min.

當(dāng)且僅當(dāng)x=4,y=2時取到等號，所以

(x+2y)min=8,

即

m2-2m<8,

解得-2

( )

A.3 B.4 C.10 D.16

進(jìn)行適當(dāng)變形,得到

利用基本不等式即可求得最小值為4.

解由已知x+y=1,可得

x+1+y+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=1時取到等號.故選B.

這里對數(shù)字“1”應(yīng)用了直接相乘和配湊相乘的解題技巧，特別是在湊系數(shù)時，我們要根據(jù)題意將目標(biāo)式進(jìn)行拆分，從而找到缺少的系數(shù).通過技巧為基本不等式的使用創(chuàng)設(shè)條件，成功地將式子變形為能相乘為常數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到快速解題的目的.

在有關(guān)分式的題目中最常用的方法是分離常數(shù)法.本題就是抓住題目中分式的結(jié)構(gòu)特征，分離出數(shù)字“1”，并對式子進(jìn)行巧妙的變形，使其出現(xiàn)兩數(shù)之積為定值的結(jié)構(gòu)，以此利用基本不等式進(jìn)行求解.分離技巧往往應(yīng)用于分式最值問題中，此時還需注意分子、分母在配湊時的系數(shù)變化情況.

例4已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x2+xy=1，則y2-2xy的最小值是______.

解由x2+xy=1，可得

此題應(yīng)用的是數(shù)字“1”的消去技巧.除了上述方法外，數(shù)字“1”的應(yīng)用技巧還有很多，如代入法、加減法等.學(xué)生在解題過程中，容易形成思維定勢，我們除了要掌握典型題型中“1”的妙用外，在平時的解題中，更要學(xué)會靈活多變，不拘泥于套路，具體問題具體分析.

2 在與其他知識相結(jié)合的最值問題中的應(yīng)用

2.1 與三角函數(shù)相結(jié)合

解三角形是三角函數(shù)中的重要組成部分.在求解三角形的過程中，往往需要結(jié)合正余弦定理對原等式進(jìn)行“邊化角”或“角化邊”運(yùn)算.在“角化邊”的運(yùn)算中通常可以得到幾條邊之間的等式關(guān)系，巧妙地對等式中的“1”進(jìn)行轉(zhuǎn)換，往往會得到意想不到的好處.

圖1

( )

因?yàn)镃∈(0,180°),sinC≠0,所以

即

又因?yàn)锳∈(0,180°),所以A=120°.

如圖1，由S△ABC=S△ABD+S△ACD,知

得

bc=b+c,

即

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取到等號.故選C.

2.2 與線性規(guī)劃知識相結(jié)合

圖2

2a+3b=12.

評注本題綜合了線性規(guī)劃的知識.在解題時，首先需要根據(jù)線性規(guī)劃知識建立關(guān)系式，然后利用得到的關(guān)系式巧用“1”進(jìn)行代換，將所求式子巧妙變形為兩數(shù)之積為常數(shù)的形式,進(jìn)而求得最值.

2.3 與函數(shù)相結(jié)合

f′(1)=0,

從而

2a+b=3,

于是

評注函數(shù)知識是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，常常與其他知識綜合進(jìn)行考查，與不等式相結(jié)合的最值問題就是?？嫉膬?nèi)容.因此在解題時，要抓住問題的本質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像變換等得到“兩數(shù)之和或兩數(shù)之積為定值”的結(jié)構(gòu)，最終利用數(shù)字“1”的各種應(yīng)用技巧快速解題.

2.4 與解析幾何相結(jié)合

解析幾何中的最值問題往往綜合性較強(qiáng)，常與距離、角度有關(guān).在解題時，需要根據(jù)題意挖掘出關(guān)于“1”的等式，從而達(dá)到化繁為簡的效果.

( )

圖3

解如圖3，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的左、右頂點(diǎn)時，∠APB取得最大值120°,則

又

得

|PM|+|PN|=2a=6,

當(dāng)且僅當(dāng)|PM|=2,|PN|=4時取到等號.故選D.

2.5 與立體幾何相結(jié)合

圖4

分析本題考查立體幾何的空間位置關(guān)系，首先要找到線面之間的聯(lián)系，然后運(yùn)用求體積的相關(guān)知識將空間問題轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系，最后結(jié)合“1”的妙用求解.

解如圖4，設(shè)點(diǎn)A在底面BCD的射影為E,則△BCD的外接圓半徑為

從而

所以

由等體積法可得

VA-BCD=VO-ABC+VO-ACD+VO-ABD+VO-BCD

即

又因?yàn)閤,y都是正數(shù)，所以

以上是筆者積累和總結(jié)的“1”在不等式及與其他知識相結(jié)合最值中的應(yīng)用.在具體問題中，我們要針對不同類型的目標(biāo)式采用相應(yīng)的有關(guān)“1”的方法進(jìn)行求解,特別是與其他知識相結(jié)合的題目中，要善于挖掘題中隱含的“1”的條件.只要能夠靈活運(yùn)用有關(guān)“1”的各種方法，舉“1”反三，時刻牢記基本不等式的運(yùn)用條件“一正、二定、三相等”，最終往往能化繁為簡，化難為易，起到“1”點(diǎn)通的妙效[1].

拓展學(xué)生的探索創(chuàng)新思維，提高其邏輯解題能力，進(jìn)而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心要求和終極目標(biāo).筆者通過數(shù)字“1”在最值問題中的靈活妙用，試圖從中找到線索,以期在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力方面達(dá)到拋磚引玉之效.