陳倉佚 吳 波 宋 峰

(1.成都天府第七中學(xué) 610218；2.南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院 300071)

本題研究管道中的流體因為壓力波引起的壓強(qiáng)變化，主要處理由于快速和慢速關(guān)閉管道中閥門導(dǎo)致的水錘效應(yīng)。

為簡化計算，要求只考慮非黏性流體的一維流動。所有管道及閥門都看成是剛性的，但流體是可壓縮的。體積為V0的流體單元在壓強(qiáng)P0作用下處于平衡狀態(tài)，如果壓強(qiáng)改變量為ΔP,則體積改變量ΔV與ΔP成正比，表示為

比例系數(shù)B表示液體的體積模量。對于水，密度為ρ0=1.0×103kg/m3，體積模量為B=2.2 GPa。

A部分：壓強(qiáng)變化和壓強(qiáng)波傳播

在長度為L均勻圓柱形管道中，水沿著x軸正方向穩(wěn)定流動，水平方向速度為v0，密度為ρ0，壓強(qiáng)為P0。如圖1所示，管道與儲液器相連，離水面深度為h，儲液器與大氣相通，大氣壓強(qiáng)記為Pa。

圖1 均勻管內(nèi)的穩(wěn)定液體流動

假設(shè)位于管道末端的流量控制閥T瞬間關(guān)閉，閥門附近將要流出管道的液體會承受壓強(qiáng)的變化ΔPs≡P1-P0和速度的變化Δv=v1-v0(v1≤0)。這會引起壓強(qiáng)變化ΔPs通過縱波的形式以傳播速度c沿x軸負(fù)方向傳播。

問題A.1壓強(qiáng)變化ΔPs與速度的改變量Δv的關(guān)系可表示為ΔPs=αρ0cΔv。壓強(qiáng)波的傳播速度為。試求出α，β和γ。(1.6分)

問題A.2 在水流速度v0=4.0 m/s，v1=0 條件下，計算壓強(qiáng)波的速度c和ΔPs的大小。(0.6分)

B部分：流量控制閥模型

圖2 為液體流經(jīng)流量控制閥T 時的物理模型?？刂崎y門靠近管道的A 端，長度為ΔL，內(nèi)半徑為R。閥門錐形出口的半徑為r，與大氣相通，大氣壓強(qiáng)為Pa。重力對射流的影響可以忽略。

液體被認(rèn)為是不可壓縮的，閥門入口處的穩(wěn)定流動的液體速度為vin，壓強(qiáng)為Pin，密度為ρ0。圖2中，畫出的流線及其法線，只是為了幫助看清流動圖樣。

圖2 閥門尺寸和噴射口的收縮示意圖

流體離開閥門進(jìn)入大氣后，流體的橫截面將收縮直到達(dá)到最小值，此時流線將再次平行。在這個最小值處，流體速度為vC，流體橫截面半徑為。CC被稱為收縮系數(shù)，由閥門的內(nèi)半徑與錐形孔洞半徑的比值r/R以及錐角大小β決定，見表1。

表1 噴射口孔洞的收縮系數(shù)

問題B.1 求出當(dāng)閥門入口處流線平行時的ΔPin=Pin-Pa，用ρ0，vin,r，R,和CC表示。(1.0分)

本題目C和D部分，對于圖1所示的儲液器-管道系統(tǒng)，有如下假設(shè)條件：

(1)傳播速度c和液體密度ρ0是與流速無關(guān)的常數(shù)。環(huán)境大氣壓Pa和重力加速度g為常數(shù)。

(2)最初閥門完全打開，管道中的流體穩(wěn)定，其壓強(qiáng)為P0，流速為v0。

(3)圖1 和圖2 所示的管道長度為L，半徑為R。閥門T 是一個半徑r可變的圓形開口，錐角β=90°。閥門的長度ΔL可忽略不計，閥門入口緊挨管道的A端。重力對射流的影響可以忽略。

(4)儲液器中的液體是準(zhǔn)靜態(tài)的，因此其靠近管道入口B的壓力Ph保持恒定。管道中的流體壓力變化可以忽略，因此整個管道中的液體流動是一維的。

C 部分：流量控制閥快速關(guān)閉引起的水錘效應(yīng)

對于圖1中所示的儲液器-管道系統(tǒng)，當(dāng)管道中的液體流動被完全或部分關(guān)閉的閥門阻塞時，將會產(chǎn)生向上游傳播的壓強(qiáng)波。壓強(qiáng)波在管道末端碰到儲液器后將向閥門反射，并在閥門端再次反射形成另一個壓強(qiáng)波。以上過程不斷重復(fù)，從而導(dǎo)致閥門附近的液體產(chǎn)生一系列的壓強(qiáng)大小的突變，這個現(xiàn)象稱為水錘。

問題C.1參考圖1和圖2，當(dāng)閥門T完全打開(r=R)時，求出管道內(nèi)穩(wěn)定流體的壓強(qiáng)P0和速度v0。用ρ0，g，h和Pa表示。(0.6分)

問題C.2 考慮與問題C.1 中具有相同壓強(qiáng)P0和速度v0的穩(wěn)定流體。在t=0 時，閥門立即關(guān)閉(r=0)。壓強(qiáng)波以傳播速度c朝著儲液器移動。管道B端的壓強(qiáng)為Ph=P0+ρ0gh，令τ=2L/c。當(dāng)時間t非常接近τ/2和τ時，管道內(nèi)流體壓強(qiáng)P(t)和流速v(t)是多少？(1.2分)

D 部分：流量控制閥緩慢關(guān)閉引起的水擊效應(yīng)

再次考慮與問題C.1中具有相同壓強(qiáng)P0和速度v0的穩(wěn)定流體。緩慢關(guān)閉閥門，并采用有限步方法模擬關(guān)閉過程。

從時間t=0 開始，閥門半徑r的瞬時縮減量按時間間隔τ=2L/c依次給出(表2)。每次半徑減小后，閥門區(qū)域內(nèi)的流動可被近似為立即穩(wěn)定，與B部分所示情況相同。此時閥門處的壓強(qiáng)和速度與管道中其他流體的不同。

表2給出閥門每個關(guān)閉步驟n的持續(xù)時間和閥門開口的半徑rn，并且給出閥門處相應(yīng)時刻的流體壓強(qiáng)Pn和流動速度vn。

表2 閥門關(guān)閉步驟

液體密度ρ0和壓強(qiáng)波傳播速度c均看作常數(shù)。步驟n=0、1、2、3、4，壓強(qiáng)改變量為ΔPn=Pn-P0，速度改變量為Δvn=vn-v0，Ph與P0近似相等(Ph=P0)。

問題D.1 求出ΔPn/(ρ0c)的表達(dá)式，用ΔPn-1/(ρ0c),vn-1和vn，該表達(dá)式應(yīng)適用于表2 中所有n>0 的關(guān)閉步驟。對于n=1、2、3，在vn-1和ΔPn-1/(ρ0c)都已知的情況下，求出能夠計算vn的表達(dá)式。(3分)

問題D.2 根據(jù)問題D.1 的結(jié)果，取水流的速度v0=4.0 m/s，繪制出所有的ΔP-ρ0cv圖。對于所有的關(guān)閉步驟n=1、2、3、4，給出所畫直線和曲線的交點坐標(biāo)，應(yīng)給出ρ0cvn和ΔPn的值，同時在圖中標(biāo)出每個交點坐標(biāo)(ρ0cvn,ΔPn)所對應(yīng)的n的值。從圖中估算n=1、2、3、4時ρ0cvn和ΔPn的值(均以MPa為單位)。

賽題背景

流體沿壓力管道(如輸油、輸水等管道)流動時，若突然關(guān)閉或開啟閥門、或者水泵突然停機(jī)或啟動，流體流動速度將發(fā)生突然變化；同時由于流體慣性和可壓縮性，流體壓強(qiáng)將產(chǎn)生劇烈的周期性變化，此現(xiàn)象被稱為水擊或水錘(Water-Hammer Effect)。發(fā)生水擊現(xiàn)象時，管道內(nèi)壓強(qiáng)波動可能達(dá)到額定工作壓強(qiáng)的幾十倍甚至幾百倍，管壁及管道上的設(shè)備及附件將承受很大的高頻交變壓力，產(chǎn)生劇烈振動并發(fā)出猶如錘擊的聲音。該交變壓力可能造成閥門破壞、管件接頭破裂、斷開，甚至管道炸裂等重大事故。因此壓力管道中水擊現(xiàn)象的危害及防治研究是一項重要的工業(yè)工程問題①-②。

本題即以水擊效應(yīng)為背景，討論壓力管道閥門關(guān)閉時流體壓強(qiáng)和流速的變化。