劉 雪，常建明

（常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

0 引言

根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義，平面區(qū)域 Ω 上的二元連續(xù)函數(shù)z=f（x，y）對(duì)自變量x和y分別都是連續(xù)的.但反之未必，也就是說(shuō)，二元函數(shù)z=f（x，y）對(duì)每個(gè)自變量x和y的連續(xù)性尚不能保證它是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

例1[1]考察二元函數(shù)

函數(shù)f（x，y）在原點(diǎn)（0，0）處關(guān)于x和y都是連續(xù)的.但是函數(shù)f（x，y）在原點(diǎn)處是不連續(xù)的：沿直線y=mx（m為任意實(shí)數(shù)）趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)，極限

與m有關(guān)，從而不存在.

因此當(dāng)一個(gè)多元函數(shù)關(guān)于各個(gè)變量都連續(xù)時(shí)，如何尋求恰當(dāng)?shù)臈l件使得該函數(shù)連續(xù)的問(wèn)題就值得去研究.關(guān)于此，我們熟知下述結(jié)果（見(jiàn)文獻(xiàn)1 習(xí)題10）.

定理1設(shè)二元函數(shù)z=（fx，y）在 ?2上關(guān)于自變量x和y都是連續(xù)的，并且關(guān)于y是單調(diào)的，則f是 ?2上的連續(xù)函數(shù).

我們指出定理1對(duì)一般的平面區(qū)域Ω也成立.

本文中，我們將推廣定理1.我們先對(duì)定理1的條件做一些分析.二元函數(shù)z=（fx，y）關(guān)于自變量x和y的連續(xù)性相當(dāng)于二元函數(shù)沿任何直線y=C1和任何直線x=C2的連續(xù)性；關(guān)于自變量y的單調(diào)性相當(dāng)于二元函數(shù)沿任何直線x=C2的單調(diào)性.值得注意的是，這兩族直線具有如下性質(zhì)：（1） 每族中任何兩條直線都互相平行；（2）每族直線均覆蓋了整個(gè)平面 ?2；（3）不同族中的任兩直線互相垂直，從而在區(qū)域Q? ?2內(nèi)至多有一個(gè)交點(diǎn).

我們考慮更一般的連續(xù)曲線族來(lái)代替直線族y=C1和直線族x=C2.如果族中任何兩條曲線l1和l2不相交，我們稱平面曲線族Г={l}是不自交的.如果區(qū)域Ω中的任何點(diǎn)都有族中某條曲線l通過(guò)，稱平面曲線族Г={l}覆蓋了區(qū)域Ω.如果Г1中任何一條曲線l1和 Г2中任何一條曲線l2在區(qū)域Ω內(nèi)的交點(diǎn)至多只有一個(gè)，我們稱兩族平面曲線Г1和Г2于區(qū)域Ω嚴(yán)格相交.另外，如果對(duì)曲線l上任何按序排列的三點(diǎn)P1，P2，P3，f（P2）介于f（P1）和f（P3）之間，我們稱函數(shù)f沿一條連續(xù)曲線l是單調(diào)的.

現(xiàn)在，我們的主要結(jié)果可敘述如下：

定理2設(shè)函數(shù)f在平面開(kāi)區(qū)域Ω上有定義，Г1和Г2為嚴(yán)格相交的兩族不自交連續(xù)可求長(zhǎng)平面曲線，都覆蓋了區(qū)域Ω.如果f沿兩族中各曲線均連續(xù)，且沿Г2中曲線單調(diào)，則函數(shù)f在區(qū)域Ω上是連續(xù)的.

我們指出，很多微分方程的解在平面上就呈現(xiàn)出不自交曲線.因此，定理2具有較好的應(yīng)用.

1 引理

為證明定理2，我們需要先證明如下輔助引理.

引理 1設(shè)Г1和Г2為嚴(yán)格相交的兩族不自交連續(xù)可求長(zhǎng)平面曲線，都覆蓋了區(qū)域Ω，則對(duì)Ω任何內(nèi)點(diǎn)P0，在Г1和Г2中各有兩條曲線，使得這4條曲線圍成的區(qū)域是Ω的子區(qū)域，并且P0是其內(nèi)點(diǎn).

證設(shè)P0∈Ω 為一內(nèi)點(diǎn)，則存在δ0>0，使得U（P0,δ0）∩Ω.如圖 1 所示，根據(jù)條件，曲線族Г1中有曲線l0通過(guò)點(diǎn)P0.由于曲線l0為可求長(zhǎng)，在l0上存在點(diǎn)A0、B0位于P0的左、右兩側(cè)，使得以及如圖 2 所示，過(guò)點(diǎn)A0、B0分別有曲線族 Г2中曲線m1、m2通過(guò).

圖1 引理1證明參考圖1

下證：在m1上存在兩點(diǎn)位于l0的兩側(cè)，使得通過(guò)該兩點(diǎn)的曲線族Г1中曲線與m1、m2所圍四邊形區(qū)域含于U（P0,δ0）.

先證存在點(diǎn)D0∈m1于l0上側(cè)，使得過(guò)D0的曲線l1與l0、m1、m2所圍區(qū)域含于U（P0,δ0）.取點(diǎn)A1∈U（P0,δ0）∩m1（如圖2所示）.則過(guò)點(diǎn)A1有曲線l1∈Г1.

圖2 引理1證明參考圖2

若l1滿足要求，則得證.

若l1不滿足要求，設(shè)l1與m2交于點(diǎn)B1，則存在點(diǎn)P1∈曲邊四邊形A0A1B1B0，使得P1?U（P0,δ0）.設(shè)四邊形A0A1B1B0中上距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)（一定存在，為有界閉集，距離為連續(xù)函數(shù)）為Q1，過(guò)Q1有Г2中曲線m3（可能與m2重合）.

若l2滿足要求，則得證.

若l2不滿足要求，則同上.因此可定義一列點(diǎn) {Pn}:Pn?U（P0,δ0），Pn∈四邊形A0A1B1B0.于是有

由致密性定理得：Pn有子列收斂于P0*∈A0B0，這與Pn?U（P0,δ0）矛盾.

所以l0上側(cè)存在四邊形A0A1B1B0含于同理l0下側(cè)也存在四邊形A0A1B1B0含于U（P0,δ0）.于是存在四邊形A2A1B1B2含于U（P0,δ0）.

引理1證畢.

2 定理2的證明

只要證明f(x，y)在區(qū)域Ω上任何一點(diǎn)P0(x0，y0)是連續(xù)的.根據(jù)引理1，我們可在如圖3所示的四邊形A2A1B1B2中考慮.由于曲線是可求長(zhǎng)的，因此都是可參數(shù)化表示的.

圖3 定理2證明參考圖1

在點(diǎn)M處，按條件函數(shù)f(X1(t)，Y1(t))在t1處連續(xù)，從而存在δ2﹥0 使得當(dāng) |t-t1| ≤δ2時(shí)有

同樣點(diǎn)N處，δ3﹥0，使得當(dāng) |t-t2| ≤δ3時(shí)有

在曲線m1'上取定點(diǎn)D(X1(t1-δ2)，Y1(t1-δ2))和C(X1(t1+δ2)，Y1(t1+δ2))，在曲線m2'上取定點(diǎn)A(X2(t2-δ3)，Y2(t2-δ3))和B(X2(t2+δ3)，Y2(t2+δ3)).

設(shè)通過(guò)點(diǎn)A的Г1中曲線l1'與Г2中曲線m1'交于點(diǎn)D'，通過(guò)點(diǎn)D的Г1中曲線l2'與Г2中曲線m2'交于點(diǎn)A'，按條件，曲線l1'與l2'是不相交的.我們假設(shè)靠近(x0，y0)的曲線為l2'.通過(guò)點(diǎn)B的Г1中曲線l3'與Г2中曲線m1'交于點(diǎn)C'，通過(guò)點(diǎn)C的Г1中曲線l4'與Г2中曲線m2交于點(diǎn)B'，并且設(shè)靠近(x0，y0)的曲線為l3'，如圖4所示.這樣，曲邊四邊形A'BC'D區(qū)域形成點(diǎn)P0(x0，y0)的一個(gè)鄰域.

圖4 定理2證明參考圖2

由于f(x，y)沿 Г2中曲線是單調(diào)的，因此取δ=min{δ1，δ2，δ3，δ3'，δ3''，則當(dāng) |t-t0| ≤δ時(shí)，有

證畢.