劉德華 黎一鍇

(北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院,北京 100081)

引言

當(dāng)液滴置于沿豎直方向上下振動(dòng)的壁面上,其表面會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定的Faraday 波.這種不穩(wěn)定現(xiàn)象廣泛存在于噴涂加工[1]、噴墨打印[2-3]、超聲霧化[4-5]和聲場(chǎng)懸浮[6-8]等諸多工業(yè)應(yīng)用中.因?yàn)槠渲猩婕暗礁鞣N有趣的物理現(xiàn)象,如液體表面的模態(tài)選擇[9-10]、時(shí)空混沌[11-12]和液體霧化[13],所以學(xué)者們從理論分析[14]、實(shí)驗(yàn)[15]和數(shù)值模擬[16]等方面對(duì)Faraday 不穩(wěn)定性進(jìn)行了廣泛研究.

Faraday 不穩(wěn)定現(xiàn)象最早由Faraday[17]在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),他觀察到液體表面波的振動(dòng)頻率是振動(dòng)基板振動(dòng)頻率的一半或者與其相等.這一規(guī)律首先被Benjamin 和Ursell[18]解釋,他們使用了線性無(wú)黏假設(shè)的Mathieu 方程來(lái)描述液體平面Faraday 波的振幅增長(zhǎng)情況.但是Benjamin 和Ursell[18]的理論無(wú)法解釋黏性流體的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,直到Eisenmenger[19]將線性阻尼項(xiàng)添加到Mathieu 方程中,才解釋了黏性的影響.Kumar 等[20-21]將Floquet 理論應(yīng)用到線性化的N-S 方程中,進(jìn)一步地研究了Faraday 不穩(wěn)定性中的黏性耗散問(wèn)題,得到的振動(dòng)加速度振幅的閾值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.

除了平面液層外,液滴的Faraday 不穩(wěn)定性也非常值得關(guān)注.Rayleigh[22]首先推導(dǎo)出了無(wú)黏液滴的自由振蕩頻率表達(dá)式,發(fā)現(xiàn)表面張力是液滴表面維持在平衡位置的恢復(fù)力.后來(lái),Chandrasekhar[23]探究了自然振蕩中液滴的黏性效應(yīng),發(fā)現(xiàn)液滴邊界層內(nèi)的黏性耗散效應(yīng)是液滴表面振蕩衰減的原因.相比于液滴的自由振蕩,引入外力的液滴振動(dòng)系統(tǒng)得到了更廣泛的關(guān)注.Terrones 和Corrara[24]對(duì)恒定徑向加速度作用下的球形液滴R-T 不穩(wěn)定性進(jìn)行了線性分析.Li 等[25]研究了在任意徑向加速度作用下的黏性液滴的R-T 不穩(wěn)定性,推導(dǎo)出了耦合不同球模的遞推色散關(guān)系,從理論上確定了穩(wěn)定液滴的臨界尺寸、最不穩(wěn)定模式及其增長(zhǎng)速率.Ebo-Adou 等[26-27]利用Floquet 分析,從理論和數(shù)值模擬兩方面研究了受時(shí)間周期徑向加速度的液滴Faraday 不穩(wěn)定性,但是他們的研究主要聚焦于單流體問(wèn)題上,忽略了環(huán)境流體的影響.吳清等[28]進(jìn)一步考慮了環(huán)境流體可壓縮性的影響,發(fā)現(xiàn)環(huán)境流體的可壓縮性會(huì)促使液滴破碎.Li 等[29]則考慮了環(huán)境流體的密度的影響,發(fā)現(xiàn)增加液滴周圍環(huán)境流體的密度將縮小可能激發(fā)的球模范圍.姚慕偉等[30]則將Faraday 不穩(wěn)定性的研究從黏性液滴拓展到黏彈性非牛頓液滴,發(fā)現(xiàn)零剪切黏度和應(yīng)變馳豫時(shí)間的增加具有抑制液滴表面波增長(zhǎng)的作用,提高了使液滴表面發(fā)生諧波不穩(wěn)定的激勵(lì)幅值.

本文利用Floquet 方法,將前人對(duì)Faraday 不穩(wěn)定性的研究從徑向加速度拓展到豎直加速度,推導(dǎo)得到了液滴表面波線性增長(zhǎng)率與模態(tài)數(shù)以及流動(dòng)參數(shù)之間的色散關(guān)系,并對(duì)液滴的中性穩(wěn)定邊界在豎直激勵(lì)與徑向激勵(lì)情況進(jìn)行對(duì)比分析,得到了仰角θ 對(duì)中性不穩(wěn)定邊界的影響規(guī)律,豐富了液滴Faraday不穩(wěn)定性的理論研究.

1 理論求解

1.1 物理模型和控制方程

本文建立的物理模型如圖1 所示.將坐標(biāo)系固連在基板上,假設(shè)液滴整體受到一個(gè)隨時(shí)間周期變化的均勻慣性體積力的作用;另外,本文的物理模型不考慮動(dòng)態(tài)接觸角的影響,這個(gè)假設(shè)在高頻振動(dòng)(～ kHz)范圍內(nèi)液滴表面波波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于液滴尺寸時(shí)也是近似合理的.液滴的物理模型用到其他假設(shè)和條件如下:環(huán)境氣體密度遠(yuǎn)小于液滴密度,忽略環(huán)境氣體的影響;液滴為不可壓的無(wú)黏流體;液滴為標(biāo)準(zhǔn)的半球形.

圖1 液滴受豎直振動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of a droplet subjected to vertical oscillation

ρ 為液滴密度,σ 為表面張力系數(shù),R0為液滴初始半徑,r 和θ 分別為球坐標(biāo)系中的徑向距離和仰角,θ ∈[0,π/2],er和eθ分別為徑向和仰角方向上的單位向量.液滴加速度A 在球坐標(biāo)系下表示為

其中,A0為加速度振幅,Ω=2πf 為角頻率,f 為慣性力頻率,t 為時(shí)間.

液滴內(nèi)不可壓縮無(wú)黏流體運(yùn)動(dòng)的控制方程為

其中u 是速度矢量,p 是壓力.

液滴球形表面的表達(dá)式為

其中,η(θ,φ,t) 為液滴表面的擾動(dòng)位移,φ 為球坐標(biāo)系中的方位角.

液滴表面的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件為

將方程(4)代入方程(5)中,得

其中,ur是速度矢量u 的徑向分量.

由液滴球形表面上法向和切向方向上的應(yīng)力平衡條件,可得液滴表面的動(dòng)力學(xué)邊界條件.液滴表面法向方向上的應(yīng)力平衡方程為

其中Ra和Rb是曲率半徑,σ 是應(yīng)力張量

其中,I 是單位向量.

液滴表面切向方向上的應(yīng)力平衡方程為

其中,ej=eθ或eφ分別表示液滴表面對(duì)仰角方向和方位角方向的單位矢量.

1.2 控制方程和邊界條件的線性化

對(duì)初始靜止?fàn)顟B(tài)的控制方程線性化,為了書寫方便,仍用u 表示擾動(dòng)速度,并代入控制方程和邊界條件中;忽略動(dòng)量方程中的非線性對(duì)流項(xiàng).從而得到線性化的流體流動(dòng)的控制方程為

對(duì)液滴表面的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件方程(6)進(jìn)行線性化處理,得

對(duì)于法向方向的動(dòng)力學(xué)邊界條件,將方程(8)代入方程(7)中,得

其中,曲率半徑滿足

從而使η 達(dá)到一階精度.將方程(14)代入方程(13)中,得到法相方向上線性化的動(dòng)力學(xué)邊界條件

將液滴表面的擾動(dòng)位移 η(θ,φ,t) 看作是由一系列球諧函數(shù)疊加而成,l 和m 分別為球諧函數(shù)中的級(jí)數(shù)和階數(shù).則擾動(dòng)位移可表示為

其中,ηn(l,m) 是n 階Fourier 系數(shù),β+iγ 是Floquet指數(shù),n 是Fourier 階數(shù),而 ξn≡β+i(γ+nω) 的實(shí)部,即β,可視為增長(zhǎng)率.

將方程(17)代入方程(16)中,得到擾動(dòng)位移的表達(dá)式為

其中,因?yàn)楫?dāng)l=0 時(shí),對(duì)應(yīng)液滴整體膨脹或收縮,違反質(zhì)量守恒定律,所以不予考慮;當(dāng)l=1 時(shí),對(duì)應(yīng)液滴的移動(dòng),而非表面變形,所以也不予考慮.

從而,方程(18)與線性化的控制方程(10)和(11)和線性化的邊界條件(12)和(15)構(gòu)成了一個(gè)關(guān)于ξn的本征值問(wèn)題,通過(guò)求解這個(gè)本征值問(wèn)題的非零解,可以得到線性增長(zhǎng)率 ξn與模態(tài)數(shù)(l,m)及流動(dòng)參數(shù)之間的色散關(guān)系.

1.3 線性化問(wèn)題的求解

無(wú)黏液滴內(nèi)部的速度勢(shì)函數(shù) φ 滿足u=? φ,代入液滴內(nèi)部的連續(xù)性方程(10)中得到

在球坐標(biāo)系中,考慮到φ 的解在r=0 時(shí)不發(fā)散,則方程(19)的通解為

其中,Bn(l,m) 為待定系數(shù).將方程(20)代入液滴表面運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件(12)中,得到

對(duì)液滴的動(dòng)量方程(11) 在徑向方向上積分,得到

其中,C 是時(shí)間函數(shù)的積分常數(shù).

將方程(21)和(22)代入方程(20)中,得到液滴表面的壓強(qiáng)分布

1.4 色散關(guān)系

分別由分離變量法以及方程u=? φ、式(21)和式(22),可以得到

將液滴表面壓強(qiáng)分布方程(23)和方程(34)代入液滴表面法向方向上線性化的動(dòng)力學(xué)邊界條件(15)中,得

方程(26)為無(wú)黏不可壓的半球形液滴作正弦運(yùn)動(dòng)所引起的Faraday 不穩(wěn)定性的解析解,也表征了液滴表面波線性增長(zhǎng)率 ξn與模態(tài)數(shù) (l,m) 以及流動(dòng)參數(shù)之間的色散關(guān)系,其中,m 的影響在cosθ 中體現(xiàn).

2 結(jié)果與分析

2.1 無(wú)黏液滴的中性穩(wěn)定邊界

將擾動(dòng)位移的表達(dá)式(18)與方程(26)聯(lián)立,可以得到類似于Mathieu 方程的形式

方程(27)與標(biāo)準(zhǔn)Mathieu 方程相比多了與空間有關(guān)的cosθ 項(xiàng),為了分析方程(27)的解的情況,需要將方程中與空間有關(guān)的cosθ 項(xiàng)、與時(shí)間有關(guān)的cos(ωt)項(xiàng)和擾動(dòng)位移表達(dá)式(18)中的系數(shù)進(jìn)行耦合.

根據(jù)勒讓德函數(shù)關(guān)系,有

結(jié)合上式,由傅里葉變換可得

本文的目的主要是比較液滴豎直振動(dòng)與徑向振動(dòng)的區(qū)別,徑向振動(dòng)液滴的情況參考了文獻(xiàn)[26].在該文獻(xiàn)中的模型為軸對(duì)稱的液滴,即m=0,因此在本研究中,同樣取m=0.此時(shí),系數(shù) ηn(l,m) 退化為

對(duì)于不穩(wěn)定問(wèn)題,首先要考慮的是穩(wěn)定和不穩(wěn)定之間的邊界或臨界值.在以往關(guān)于徑向加速度作用下球形Faraday 不穩(wěn)定性的研究中,這個(gè)邊界可以通過(guò)求解無(wú)窮維系數(shù)矩陣的本征值得到.在本研究中采用了類似的方法.

當(dāng) Re(ξn)=0 時(shí),液滴表面保持中性穩(wěn)定.為了確定中性穩(wěn)定的邊界,根據(jù) ξn=β+i(γ+nω),令 β=0,方程(30)可化為

將方程(32)按實(shí)部和虛部展開(kāi),并寫成矩陣的形式:M x=λx,其中,M 為特征矩陣,λ 為特征值,x 為由的實(shí)部和虛部所組成的列向量.

當(dāng) γ?=0 時(shí),M 為 2n×(l-2) 階方陣,x 為2n×(l-2)維的列向量.因?yàn)閚 不等于0,而當(dāng)n=1 時(shí),系數(shù)中會(huì)出現(xiàn),所以需要利用方程(32)得到的表達(dá)式

通過(guò)求解不同q 值下矩陣M 的特征值,即可得到無(wú)黏液滴在 λ -q 坐標(biāo)系下的中性穩(wěn)定邊界.雖然M 為無(wú)窮維的實(shí)矩陣,但是隨著n 和l 的增加,低階的特征值將趨于收斂.因此,通常選取足夠大的N和L 來(lái)截?cái)郙,從而求解M的特征值.實(shí)際情況下總是出現(xiàn)亞簡(jiǎn)諧(n=0)和一階簡(jiǎn)諧(n=1)不穩(wěn)定性.出于重點(diǎn)關(guān)注液滴低階不穩(wěn)定性的目的,本文選取N=5,L=10,此時(shí),較小n 和l 已經(jīng)收斂.

圖2 為 λ -q 坐標(biāo)系下無(wú)黏液滴的簡(jiǎn)諧不穩(wěn)定圖.純直線表示豎直振動(dòng)液滴的不穩(wěn)定邊界,直線帶圓點(diǎn)標(biāo)記的表示徑向振動(dòng)液滴的不穩(wěn)定邊界.中性不穩(wěn)定邊界將 λ -q 坐標(biāo)平面劃分成若干穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域,并且中性穩(wěn)定邊界與λ軸相交于其中l(wèi)=2,3,4,··· .當(dāng)(λ,q)位于不穩(wěn)定區(qū)域,液滴表面模態(tài)將產(chǎn)生不穩(wěn)定.

圖2 徑向振動(dòng)和豎直振動(dòng)的液滴簡(jiǎn)諧不穩(wěn)定邊界對(duì)比圖Fig.2 Comparison diagram of droplet harmonic instability boundary subjected to vertical and radial oscillation

由圖2 可知,即使當(dāng)q 非常小,即實(shí)驗(yàn)中的加速度振幅非常小時(shí),仍然存在組合 (λ,q) 使液滴表面產(chǎn)生不穩(wěn)定.另外,豎直振動(dòng)的液滴表面波不穩(wěn)定區(qū)域要明顯小于徑向振動(dòng)的,且前者基本被后者包含,這就意味著在 q 一定的情況下,使液滴表面產(chǎn)生特定不穩(wěn)定模態(tài)的λ 的取值范圍變窄.尤其是對(duì)于 l=2 的情況,豎直振動(dòng)的液滴表面波不穩(wěn)定區(qū)域的上下邊界線幾乎重合在一起,在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)中將很難出現(xiàn)這種不穩(wěn)定模態(tài).

另外,徑向振動(dòng)液滴的各不穩(wěn)定區(qū)域之間會(huì)出現(xiàn)重疊,當(dāng)組合 (λ,q) 位于重疊區(qū)域時(shí),表面波會(huì)出現(xiàn)不同模態(tài)間的競(jìng)爭(zhēng)和轉(zhuǎn)捩.而豎直振動(dòng)的液滴,在較小的q 值下,各不穩(wěn)定區(qū)域之間不會(huì)出現(xiàn)重疊.

圖3 為 λ -q 坐標(biāo)系下無(wú)黏液滴的亞簡(jiǎn)諧不穩(wěn)定圖.純直線表示豎直振動(dòng)液滴的不穩(wěn)定邊界,直線帶圓點(diǎn)標(biāo)記的表示徑向振動(dòng)液滴的不穩(wěn)定邊界.不同于圖2 的是,豎直振動(dòng)液滴的表面波不穩(wěn)定區(qū)域的邊界重合在一起,這意味著液滴表面不會(huì)出現(xiàn)亞簡(jiǎn)諧的不穩(wěn)定波.

圖3 徑向振動(dòng)和豎直振動(dòng)的液滴亞簡(jiǎn)諧不穩(wěn)定邊界對(duì)比圖Fig.3 Comparison diagram of droplet subharmonic instability boundary subjected to vertical and radial oscillation

豎直振動(dòng)的液滴與徑向振動(dòng)相比,二者差別明顯,其差異表現(xiàn)為 簡(jiǎn)諧情況時(shí),液滴表面波的不穩(wěn)定區(qū)域變小,液滴在受到外部激勵(lì)時(shí)將更難失穩(wěn);亞簡(jiǎn)諧情況時(shí),液滴表面波的中性穩(wěn)定邊界重合在一起,液滴不穩(wěn)定波將難以出現(xiàn)亞簡(jiǎn)諧模態(tài).

從振動(dòng)形式來(lái)看,徑向振動(dòng)液滴的不穩(wěn)定表面波的振動(dòng)情況可以看作是參數(shù)振動(dòng),而豎直振動(dòng)液滴所出現(xiàn)的表面波振動(dòng)頻率與外加振動(dòng)頻率相同的情形近似為受迫振動(dòng)時(shí)的情形.

對(duì)于附著在固壁上的半球液滴,需滿足無(wú)穿透條件,使得級(jí)數(shù)l 和階數(shù)m 滿足條件:l+m 為偶數(shù)[31].也就是m=0 或者其他偶數(shù)時(shí),l 取偶數(shù)的解才有物理意義;m=奇數(shù)時(shí),l 取奇數(shù)才有物理意義.但是對(duì)于本研究中的模型,壁面只是施加慣性力的媒介,因此,在m=0 時(shí),l 取奇數(shù)的解依然具有一定意義.

2.2 對(duì)空間參數(shù)θ 的近似計(jì)算

豎直振動(dòng)的液滴,其表面的加速度可以分解成沿徑向的分量和沿切向的分量,這就使得液滴表面的Faraday 波不僅隨時(shí)間周期變化,而且在空間上也是不均勻的.這種空間上的不均勻主要受仰角θ 的影響,為了更加直觀地體現(xiàn)空間上的不均勻性,本文對(duì)空間參數(shù)θ 在大模態(tài)數(shù)下進(jìn)行了近似計(jì)算.

保留方程(25)中的空間相關(guān)項(xiàng)cosθ,由傅里葉變換得

省略 ηn(l,m) 中的 (l,m),將方程(34) 代入方程(25),并根據(jù)的線性無(wú)關(guān)性,最后得到

由圖4 和圖5 可以直觀地發(fā)現(xiàn),仰角θ 對(duì)于中性穩(wěn)定邊界的影響體現(xiàn)為 θ=0 處的Faraday 不穩(wěn)定邊界圖與徑向振動(dòng)液滴的相同;隨著仰角θ 的增大,不穩(wěn)定區(qū)域的邊界逐漸收窄,不穩(wěn)定區(qū)域減小,意味著各種不穩(wěn)定模態(tài)更難出現(xiàn);當(dāng) θ=90°時(shí),豎直加速度沿徑向的分量為0,不滿足Faraday 不穩(wěn)定出現(xiàn)的條件,因此其圖像表現(xiàn)為不穩(wěn)定區(qū)域的上下邊界重合在一起.

圖4 --θ 空間坐標(biāo)系下第一象限的Faraday 不穩(wěn)定邊界圖Fig.4 Faraday instability boundary diagram of the first quadrant in --θ space coordinates

圖5 (a)-(g)分別為 θ=0°,15°,30°,45°,60°,75°,90° 時(shí)的中性穩(wěn)定邊界圖Fig.5 (a)-(g) are neutral stability boundary diagrams when θ=0°,15°,30°,45°,60°,75°,90°,respectively

圖5 (a)-(g)分別為 θ=0°,15°,30°,45°,60°,75°,90° 時(shí)的中性穩(wěn)定邊界圖(續(xù))Fig.5 (a)-(g) are neutral stability boundary diagrams when θ=0°,15°,30°,45°,60°,75°,90°,respectively (continued)

豎直振動(dòng)的液滴,其表面Faraday 波的空間不均勻性的直觀體現(xiàn)為隨著仰角θ 的增大,當(dāng)?shù)氐囊旱伪砻孀兊酶€(wěn)定.而通過(guò)2.1 節(jié)的理論分析結(jié)果來(lái)看,空間不均勻性導(dǎo)致了表面波亞簡(jiǎn)諧模態(tài)的消失,使得豎直振動(dòng)的液滴表面波,只會(huì)出現(xiàn)簡(jiǎn)諧模態(tài).

3 結(jié)論

本文對(duì)受時(shí)間周期豎直加速度的無(wú)黏液滴的Faraday 不穩(wěn)定進(jìn)行了線性分析,得到的主要結(jié)論如下.

(1)利用Floquet 方法,得到了液滴表面波線性增長(zhǎng)率與模態(tài)數(shù)以及流動(dòng)參數(shù)之間的色散關(guān)系,基于Mathieu 方程的求解方法,得到了無(wú)黏液滴在Faraday不穩(wěn)定性下的中性穩(wěn)定邊界.

(2)豎直振動(dòng)的液滴與徑向振動(dòng)的液滴相比差別明顯:簡(jiǎn)諧情況下總體的不穩(wěn)定區(qū)域較小,說(shuō)明液滴在受到外部激勵(lì)時(shí)將更難失穩(wěn);亞簡(jiǎn)諧情況下的不穩(wěn)定邊界重合在一起,液滴不會(huì)出現(xiàn)亞簡(jiǎn)諧的不穩(wěn)定波.這意味著使液滴表面產(chǎn)生特定不穩(wěn)定模態(tài)的特征頻率的取值范圍更小,特定的不穩(wěn)定模態(tài)更難激發(fā).

(3)通過(guò)對(duì)空間參數(shù)cos θ 進(jìn)行近似處理,得到了仰角θ 對(duì)中性不穩(wěn)定邊界的影響規(guī)律,即液滴表面仰角越大的位置中性不穩(wěn)定區(qū)域越小,在受到外部激勵(lì)后越容易保持穩(wěn)定.

附錄