范舒銅 申永軍,

* (石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,石家莊 050043)

? (省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050043)

引言

黏彈性材料具有較好的耗能性能,它能同時(shí)提供剛度和阻尼,容易構(gòu)造,并可應(yīng)用于任何尺寸和形狀的結(jié)構(gòu)[1-3].這種材料最初應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域,解決航天器因疲勞引起的振動(dòng)問題[4].后來,Asami等[5-6]將黏彈性器件引入動(dòng)力吸振器中,發(fā)現(xiàn)具有結(jié)構(gòu)簡單的特點(diǎn)并且具有獨(dú)特的應(yīng)用優(yōu)勢.Filho 等[7]將一種黏彈性吸振器應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),降低了振動(dòng)和噪聲水平.周穎等[8]和Cristina 等[9]發(fā)現(xiàn)黏彈性材料在高速鐵路橋共振、地震響應(yīng)方面具有較優(yōu)的控制效果.近年來,黏彈性材料仍在不同領(lǐng)域廣泛應(yīng)用,且在提高結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)控制效果方面起著關(guān)鍵作用.黏彈性材料用于地鐵[10]、土木[11]、航空[12]等方面,均具有較好減振效果和發(fā)展前景.

黏彈性材料可簡化成兩種典型的模型,即Kelvin模型或者M(jìn)axwell 模型.Kelvin 模型是用一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼器并聯(lián)而成,它可體現(xiàn)蠕變過程,卻不能表示應(yīng)力松弛;Maxwell 模型由一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼器串聯(lián)而成,它能體現(xiàn)松弛現(xiàn)象,但不表示蠕變.為了更好地描述黏彈性材料的特性,學(xué)者提出一種既能體現(xiàn)蠕變過程又能表示應(yīng)力松弛的模型-Zener 模型,該模型也稱為三參數(shù)模型,由Maxwell模型并聯(lián)一個(gè)彈簧元件組成.針對(duì)Zener 模型,Brennan等[13]研究了在自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)的條件下剛度以及阻尼對(duì)黏彈性Zener 系統(tǒng)性能的影響.王超新等[14]給出了三參數(shù)隔振器最優(yōu)阻尼的設(shè)計(jì)方法.Brennan 等[13],王超新等[14]和Ruzicka[15]描述了Zener 模型的線性行為.隨著黏彈性材料的不斷發(fā)展,其模型不斷復(fù)雜化,故線性模型不可避免地出現(xiàn)了一定局限性[16].對(duì)于含非線性因素的黏彈性系統(tǒng),Wang 等[17]利用非線性剛度元件來提高Zener 模型阻尼隔振器的傳遞率.Lucas 等[18]用非線性立方彈簧取代線性主彈簧并利用諧波平衡法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行了分析.劉海平等[19]將幾何非線性引入黏彈性Zener模型利用諧波平衡法進(jìn)行近似求解,有效抑制其諧振頻段的動(dòng)態(tài)響應(yīng).魏威等[20]和王江來等[21]將非線性阻尼用于黏彈性Zener 模型中模擬支座的速度相關(guān)性,更加真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)響應(yīng).另外,金濤等[22]和徐明[23]分別運(yùn)用隨機(jī)平均法和等效非線性化方法研究了高斯白噪聲激勵(lì)下多自由度黏彈性非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和強(qiáng)非線性黏彈性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng).Davood 和Hamed[24]和王波和蔣敏[25]利用多尺度方法分別研究了亞音速氣流作用下黏彈性壁板的非線性共振特性和軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Rayleigh 梁的非線性受迫振動(dòng).章新等[26]采用平均法對(duì)履帶式工程車輛黏彈性懸架系統(tǒng)的非線性阻尼減振特性進(jìn)行了研究.龔順明[27]研究了強(qiáng)非線性黏彈性阻尼器在長周期地震動(dòng)下的減震規(guī)律,取得了較好的減振效果.因此,引入非線性因素并結(jié)合黏彈性材料的優(yōu)異特性將有效提高振動(dòng)控制的效果.

對(duì)于非線性動(dòng)力系統(tǒng)的研究,主要方法有攝動(dòng)法、諧波平衡法、平均法、多尺度法、漸進(jìn)法等[28-30].其中多尺度法是一種經(jīng)典且廣泛應(yīng)用的方法,它不但對(duì)嚴(yán)格的周期運(yùn)動(dòng)適用,也適用于耗散系統(tǒng)的衰減振動(dòng)和非穩(wěn)態(tài)過程[31].20 世紀(jì)50 年代,Sturrock首次提出了多尺度法.此后,Nayfeh 和Mook[32]進(jìn)一步地發(fā)展和完善了該方法.眾多學(xué)者采用該方法對(duì)非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行分析.杜曉蕾和李明[33]和逄錦飛等[34]運(yùn)用多尺度法分別討論了船用旋轉(zhuǎn)機(jī)械-氣囊隔振系統(tǒng)的非線性振動(dòng)及振動(dòng)篩的非線性諧波共振問題,并驗(yàn)證了多尺度法分析的正確性.文獻(xiàn)[35]采用多尺度法對(duì)彈性管路模型的內(nèi)共振進(jìn)行了分析.李航等[36-37]運(yùn)用多尺度法分析Duffing系統(tǒng)的主-超諧、主-亞諧聯(lián)合共振.上述文獻(xiàn)使用多尺度法研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題,均是針對(duì)偶數(shù)階的微分方程.

含Maxwell 黏彈性器件的非線性動(dòng)力系統(tǒng)通常會(huì)使系統(tǒng)增加半個(gè)自由度,進(jìn)而增加系統(tǒng)的復(fù)雜性且會(huì)推導(dǎo)出奇數(shù)階微分方程.目前,大多數(shù)研究運(yùn)用多尺度法求解的非線性微分方程均為偶數(shù)階.另外,很少研究將非線性因素引入到黏彈性模型中去分析其動(dòng)力學(xué)行為,并且大多數(shù)研究都采用諧波平衡法進(jìn)行近似解析計(jì)算從而不能分析瞬態(tài)解,尚未見多尺度法在該類非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用.基于黏彈性材料的優(yōu)良特性,本文將多尺度法從偶數(shù)階系統(tǒng)推廣到奇數(shù)階系統(tǒng),并以非線性Zener 模型為例,驗(yàn)證了該推廣方法的正確性,進(jìn)一步對(duì)非線性Zener 模型的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行了分析.

1 多尺度法的推廣

多尺度法是研究非線性系統(tǒng)時(shí)廣泛使用的定量分析方法之一,其基本思想是引入表示不同時(shí)間尺度的時(shí)間變量,將這些時(shí)間變量看作獨(dú)立變量并將對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)寫成對(duì)各個(gè)不同時(shí)間尺度的多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后基于消去永年項(xiàng)的條件來確定各階的解.本節(jié)將多尺度法推廣到奇數(shù)階微分動(dòng)力系統(tǒng),考察具有線性阻尼、線性剛度和非線性項(xiàng)的1.5 自由度系統(tǒng),即非線性Zener 模型,如圖1 所示.其中m 為主系統(tǒng)的質(zhì)量,k 為主系統(tǒng)主彈簧的線性剛度系數(shù),g(x,x˙) 為該模型的非線性項(xiàng),c 和k1分別為Maxwell 黏彈性元件的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù),F0和 ω 分別為外激勵(lì)的幅值和頻率.

圖1 非線性Zener 模型Fig.1 Nonlinear Zener model

根據(jù)牛頓第二定律得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

引入變換

式(1)可簡化成如下形式

應(yīng)用多尺度法研究該模型的近似解析解,引入時(shí)間尺度

將上述時(shí)間尺度視為獨(dú)立變量,設(shè)式(2)的解為

定義偏導(dǎo)數(shù)算子表示導(dǎo)數(shù)算子

將式(4)和式(5)代入式(2)中,比較 ε 的同次冪,得到一系列的偏微分方程組

上述方程組可以依次求解.為了方便,式(6)的解可寫成復(fù)數(shù)形式

其中,cc 表示前面各項(xiàng)的共軛項(xiàng).

將式(8)代入式(7)中的第一個(gè)式子,消除永年項(xiàng),即

記

其中,a(T1,T2,···),β(T1,T2,···) 分別為慢變振幅和相位.

分離式(9)的實(shí)部和虛部,得到慢變振幅 a 和慢變相位 β 滿足的微分方程組

其中

在這組條件下求解方程(7),即可得到一次近似解.類似地求解消除永年項(xiàng)的條件進(jìn)而可求出二次近似解等等.

上述求解過程主要針對(duì)非線性黏彈性系統(tǒng)的主共振.對(duì)于其他的共振情況,如超諧共振、亞諧共振、組合共振、聯(lián)合共振等,將上述過程稍加改動(dòng)即可.

2 Zener 模型主共振的一次近似解

應(yīng)用推廣的多尺度法研究該模型的一次近似解,引入兩個(gè)時(shí)間尺度 T0=t,T1=εt .按照第1 小節(jié)的求解過程,消除永年項(xiàng),可得

分離式(13)的實(shí)部和虛部,得到慢變振幅 a 和慢變相位 β 滿足的微分方程組

從而非線性Zener 模型的一次近似解可以表示為

其中,a 和 β 由式(14)確定.

3 非線性Zener 模型的定常解及穩(wěn)定性條件

引入 σT1-β=φ,式(14)可寫成自治微分方程組

相對(duì)應(yīng)的一次近似解為

為了驗(yàn)證式(16)和式(17)一次近似解的正確性,利用Runge-Kutta 法對(duì)系統(tǒng)(12)的數(shù)值解進(jìn)行仿真并與一次近似解對(duì)比.取系統(tǒng)參數(shù) m=1,k=4,k1=1,α1=0.1,c=0.02,F0=0.1,ε=0.1,計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性.取 t=1000 s,將前80%略去,取后20% 響應(yīng)的幅值為穩(wěn)態(tài)幅值.當(dāng) c 分別取0.02，0.2 時(shí),得到模型的幅頻響應(yīng)曲線如圖2 所示,其中實(shí)線代表解析解,圓圈代表數(shù)值解.從圖2 中可以觀察出,系統(tǒng)解的個(gè)數(shù)會(huì)受系統(tǒng)參數(shù)的影響.對(duì)于強(qiáng)阻尼系統(tǒng),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線沒有出現(xiàn)多值解.但是對(duì)于弱阻尼系統(tǒng),在一定的頻率范圍內(nèi)存在多值解的現(xiàn)象.取系統(tǒng)參數(shù) c=0.02,激勵(lì)頻率 ω=2.2,對(duì)比位移時(shí)間歷程.選取初值 (a0,φ0)=(0.1,0),代入式(16)計(jì)算 (a,φ),再將結(jié)果代入式(17)計(jì)算近似解;將式(17) 求導(dǎo)得到,再將(a0,φ0)=(0.1,0) 代入x(t),得到進(jìn)一步將結(jié)果代入 ε0所對(duì)應(yīng)偏微分方程組的第二個(gè)式子求出,然后將作為初始值代入系統(tǒng)求數(shù)值解,最后得到系統(tǒng)的位移時(shí)間曲線如圖3 所示.從圖3 很明顯地可以看出無論是瞬態(tài)響應(yīng)還是穩(wěn)態(tài)響應(yīng),數(shù)值解和解析解都基本一致,驗(yàn)證了前述結(jié)果的正確性.

圖2 幅頻曲線的比較Fig.2 Comparison of amplitude-frequency curves

圖3 位移時(shí)間歷程對(duì)比Fig.3 Comparison of displacement time histories

令式(16) 中的 D1a=0,D1φ=0,得到振幅a ˉ 和相位 φˉ 滿足的代數(shù)方程

進(jìn)一步可以得到幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程

關(guān)于穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性,用式(16)中 a 和 φ 組成二維的狀態(tài)向量,則二維向量函數(shù)為

其特征方程為

其中 P=trJ,Q=det J,由此可解出

根據(jù) Lyapunov 穩(wěn)定性理論[22]可知,系統(tǒng)在定常解處漸近穩(wěn)定的條件是 P ＜0 且 Q ＞0 .對(duì)于有阻尼系統(tǒng),總有 P ＜0,故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)在Lyapunov 意義下的穩(wěn)定性條件為 det J ＞0,即

4 系統(tǒng)參數(shù)的影響

選取一組系統(tǒng)參數(shù) m=1,k=4,k1=1,c=0.02,F0=0.2,ε=0.1,調(diào)諧參數(shù) σ 的取值范圍為[-20,20],即 ω 的取值范圍為[0,4],改變非線性系數(shù) α1,得到非線性系數(shù) α1對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響如圖4 所示.從圖中可見,無論是剛度硬化還是剛度軟化,隨著系統(tǒng)參數(shù) α1絕對(duì)值的逐漸增大(即非線性程度逐漸增強(qiáng)),共振峰逐漸降低,多解區(qū)域逐漸擴(kuò)大.另外,分析激勵(lì)幅值F0對(duì)系統(tǒng)的影響,選取 m=1,k=4,k1=1,c=0.02,ε=0.1,α1=0.4,從圖5 中可以觀察到F0對(duì)幅頻特性的骨架線影響很小,對(duì)幅頻曲線的形態(tài)影響較大.

圖4 非線性系數(shù)α1 的影響(圓圈代表穩(wěn)定解,星號(hào)代表不穩(wěn)定解)Fig.4 Effects of nonlinear coefficient α1 (the circles represent stable solution and the asterisks represent unstable solution)

圖5 激勵(lì)幅值F0 的影響Fig.5 Effects of excitation amplitude F0

此外,為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)共振幅值的影響,將分別考慮Maxwell 黏彈性元件的阻尼系數(shù)c 和剛度系數(shù)k1對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響.分別選取系統(tǒng)參數(shù) m=1,k=4,c=0.02,α1=0.4,F0=0.2,ε=0.1和 m=1,k=4,k1=1,α1=0.4,F0=0.2,ε=0.1,改變k1和c,計(jì)算系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,如圖6 和圖7所示.從圖6 的整體圖和局部放大圖中可觀察出系統(tǒng)的共振幅值隨著參數(shù)k1的增大而有一定的增大,但是增量較小.從圖7 中可以觀察出共振振幅隨著阻尼的不斷增大逐漸減小,且多解區(qū)域減小,最終多解現(xiàn)象消失.

圖6 參數(shù)k1 的影響Fig.6 Effects of parameter k1

圖7 阻尼c 的影響Fig.7 Effects of damp c

5 結(jié)論

本文將多尺度法從偶數(shù)階系統(tǒng)推廣到奇數(shù)階系統(tǒng),解決了非線性奇數(shù)階系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)求解問題.以Zener 模型為例說明了該推廣方法的正確性,利用推廣多尺度法得到非線性Zener 模型主共振的一次近似解析解,并通過數(shù)值方法驗(yàn)證了瞬態(tài)解和穩(wěn)態(tài)解都可良好地吻合.由Lyapunov 穩(wěn)定性理論得到了定常解的穩(wěn)定條件,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)最多存在一個(gè)穩(wěn)定解和兩個(gè)不穩(wěn)定解.討論了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)定常解的幅頻特性和穩(wěn)定性的影響,發(fā)現(xiàn)在一定頻率范圍內(nèi),非線性系數(shù) α1分別取正負(fù)時(shí)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)有類似的影響,即不管剛度硬化還是剛度軟化,都可以使共振幅值逐漸降低,多解區(qū)域擴(kuò)大.另外,外激勵(lì)的幅值對(duì)幅頻特性的骨架線影響很小,對(duì)幅頻曲線的形態(tài)影響較大.Maxwell 元件的剛度系數(shù)對(duì)幅頻特性的影響較小;Maxwell 元件阻尼系數(shù)的增大會(huì)使共振幅值降低,且多解區(qū)域減小,最終多解現(xiàn)象消失.