狄宏規(guī) *, 郭慧吉 , **, 周順華 *, 王炳龍 *, 何 超 *,

* (同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804)

? (同濟(jì)大學(xué),上海市軌道交通結(jié)構(gòu)耐久與系統(tǒng)安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201804)

** (上海申通地鐵集團(tuán)有限公司技術(shù)中心,上海 201103)

引言

近年來,地鐵隧道車致環(huán)境振動問題日益突出,嚴(yán)重影響著線路周邊居民的正常生活、精密儀器的正常使用及古建筑與文物的保護(hù)等[1-3].為采取有效的減(隔)振措施,迫切需要可靠的車致動力響應(yīng)預(yù)測模型.

常見的地鐵隧道動力響應(yīng)預(yù)測模型主要包括解析(半解析)模型以及數(shù)值法模型[4].解析(半解析)模型主要有歐拉梁-地基模型[5-7]、Pip in Pip(PiP)模型[8-10]及波函數(shù)法模型[11-12]等.解析(半解析)模型計(jì)算效率較高,但難以處理不規(guī)則邊界.與解析(半解析)模型相比,數(shù)值模型的優(yōu)勢在于可以進(jìn)行更為精細(xì)化的建模,便于處理復(fù)雜的邊界(界面),可考慮復(fù)雜的地基結(jié)構(gòu).常見的數(shù)值模型有二維有限元模型[13-14]、三維有限元模型[15-17].二維有限元忽略了彈性波沿隧道縱向的傳播、三維有限元則占用大量的計(jì)算機(jī)資源,為兼顧二維有限元計(jì)算效率,同時(shí)考慮隧道縱向的動力傳播規(guī)律,相關(guān)性學(xué)者假定模型沿縱向幾何和物理性質(zhì)的不變性,基于縱向Fourier或Floquet 變換,分別提出了2.5 維有限元[18-19]和周期性有限元模型[20-21].此外,為避免人工截?cái)嗄Ｐ瓦吔绠a(chǎn)生的誤差,相關(guān)學(xué)者提出了邊界元[22-23]、無限元[24-25]、比例邊界有限元[26]、多阻尼層[27]等邊界處理方法.然而上述既有的數(shù)值模型僅將土體視為單相彈性或兩相飽和多孔介質(zhì),鮮見考慮地基土體的三相特性,同時(shí)無法高效考慮模型的縱向變化特性.

為此本文基于非飽和土波動方程以及滲流運(yùn)動方程,結(jié)合應(yīng)力、滲流邊界條件,采用 Galerkin 法,推導(dǎo)了非飽和ub-pl-pg格式有限元方程.同時(shí)引入拉伸函數(shù)構(gòu)建完美匹配層(PML)處理邊界,提出了非飽和地基-結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析的有限元-完美匹配層方法.在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步引入自由波傳播理論,將結(jié)構(gòu)沿一個(gè)方向的變化處理為多耦合周期性結(jié)構(gòu),基于自由波傳播常數(shù)及傳播向量進(jìn)行各周期性結(jié)構(gòu)間的耦合,最終提出了多耦合周期性有限元法,并進(jìn)行了地基-隧道-排樁系統(tǒng)動力響應(yīng)的算例分析.

1 多耦合周期性有限元法

1.1 非飽和ub-pl-pg格式有限元推導(dǎo)

為實(shí)現(xiàn)頻域內(nèi)的模型求解,首先定義關(guān)于時(shí)間變量t的傅里葉變化形式

式中,ω代表時(shí)間t對應(yīng)的頻率;頂標(biāo)“～ ”表示頻域中的變量.

基于式(1)中傅里葉變化形式,根據(jù)三相介質(zhì)理論[28],可得頻域內(nèi)三相介質(zhì)波動控制方程及滲流方程分別為

式中,B11～B25表達(dá)式詳見附錄A.其余各變量定義可參考文獻(xiàn)[28].

整理式(3)可得

引入應(yīng)力、滲流邊界條件

式中,f,cl,cg分別表示邊界節(jié)點(diǎn)處外力及輸入的液體、氣體流速.

基于Galerkin 法,在式(2)和式(5)的基礎(chǔ)上,引入虛位移δub以及虛孔壓δpl,δpg,同時(shí)利用式(4)在計(jì)算過程中消去v,w分量,可得ub-pl-pg格式的虛原理表達(dá)式為

式中,各變量表達(dá)式詳見附錄B.

采用空間8 節(jié)點(diǎn)等參單元進(jìn)行離散處理,可得ub-pl-pg格式的三相介質(zhì)有限元表達(dá)式為

式中,各變量表達(dá)式詳見附錄C.

1.2 完美匹配層單元

采用完美匹配層處理模型邊界,可在有限的單元內(nèi)實(shí)現(xiàn)彈性波無反射的迅速衰減,進(jìn)而截?cái)酂o限域.因此引入拉伸函數(shù)[29],推導(dǎo)三相非飽和多孔介質(zhì)完美匹配層單元

式中,頂標(biāo)“?”表示拉伸含義.

彈性波在傳播過程中可分為兩種波,即傳播波(propagating)與隱逝波(evanescent),因此定義拉伸函數(shù)為

式中,a0為無量綱頻率常數(shù),a0=ωLPML/c;LPML為PML 區(qū)間長度;ω為角頻率;c為彈性波波速.

為驗(yàn)證完美匹配層對流體中彈性波衰減的有效性,以孔隙流體影響的一維壓縮波的衰減為例,假定壓縮波傳播中位移函數(shù)為eik(k為壓縮波波數(shù)),計(jì)算從20 m 處開始坐標(biāo)拉伸處理時(shí),其位移幅值隨傳播距離的變化,并與無坐標(biāo)拉伸時(shí)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比,如圖1 所示.可以發(fā)現(xiàn),經(jīng)坐標(biāo)拉伸變化后,壓縮波迅速衰減,且對無拉伸處理區(qū)域內(nèi)彈性波傳播無影響.由此可見,合理選取坐標(biāo)拉伸參數(shù)構(gòu)建完美匹配層,同樣可實(shí)現(xiàn)氣相及液相中彈性波的無反射衰減.

圖1 一維壓縮波位移衰減對比圖Fig.1 The comparison diagram of displacement attenuation of onedimensional compression wave

將式(9)代入式(7)的推導(dǎo)過程中,可得完美匹配層有限元表達(dá)式為

1.3 多耦合周期性有限元模型

將結(jié)構(gòu)根據(jù)縱向性質(zhì)的差異劃分為若干個(gè)周期性結(jié)構(gòu),如圖2 中的周期性結(jié)構(gòu)1,2,j等.同時(shí)采用半無限周期性結(jié)構(gòu)模擬縱向邊界.每個(gè)周期性結(jié)構(gòu)由若干相同的單元組成.為便于模型耦合求解,將載荷作用結(jié)構(gòu)j劃分為有載荷作用區(qū)域(jB),與無載荷作用區(qū)域(jA,jC).

圖2 多耦合周期性結(jié)構(gòu)Fig.2 Multi coupling periodic structure

整理式(7),可得控制方程的矩陣表達(dá)式為

式中

對于施加外力的周期性區(qū)域(jB),例如圖2 中單元jB1,jB2,其控制方程矩陣表達(dá)式可寫為

沒有施加外力的周期性單元,例如圖2 中單元jAi,其單元控制方程矩陣表達(dá)式可寫為

根據(jù)自由波傳播理論[30],當(dāng)彈性波經(jīng)過一個(gè)周期性單元后(圖3),其前后的位移、應(yīng)力、孔壓等服從指數(shù)函數(shù)的傳遞規(guī)律,即

式中,?為自由波傳播常數(shù).

由圖3 可知,相鄰單元間存在如下連續(xù)性條件

圖3 自由波傳播示意圖Fig.3 Schematic diagram of free wave propagation

將式(14)和式(15)代入式(13),可得

進(jìn)一步整理可得

觀察式(17),其為一元高次方程組,對其進(jìn)行求解可得2m(m為單元左面(或右面)的自由度)個(gè)?.由自由波傳播理論可知,當(dāng)?實(shí)數(shù)部為正數(shù)時(shí),其為由單元左面向單元右面?zhèn)鞑サ恼蜃杂刹?當(dāng)?實(shí)數(shù)部為負(fù)數(shù)時(shí),其為由單元右面向單元左面?zhèn)鞑サ呢?fù)向自由波.

求解式(17)時(shí),每個(gè)?對應(yīng)一個(gè)特征向量即φ,將自由波傳播常數(shù)?及其特征向量φ代入式(13),可得

式中,φ,ψ分別為Z,L對應(yīng)的特征向量;p,n分別代表正向傳播波與負(fù)向傳播波分量.

而單元的位移及孔壓可表示為各自由波特征向量的線性組合,即

式中,α為特征向量的線性組合系數(shù).

根據(jù)式(19)推導(dǎo)各部分周期性結(jié)構(gòu)剛度矩陣,主要分為4 類進(jìn)行討論,即左邊界、右邊界、無載荷作用的周期性結(jié)構(gòu)以及載荷作用的周期性結(jié)構(gòu).

(1)模型左邊界

由于模型左邊界左側(cè)為半無限空間,因此不存在波的反射和折射面,其只存在負(fù)向自由波,故

由式(20)整理可得

(2)模型右邊界

同理,由于模型右邊界右側(cè)為半無限空間,故

由式(22)整理可得

(3)無載荷作用的周期性結(jié)構(gòu)

假定周期性結(jié)構(gòu)j上無外載荷作用,如圖4 所示,根據(jù)式(19)整理可得

圖4 周期性結(jié)構(gòu)自由波傳播示意圖Fig.4 Schematic diagram of free wave propagation in periodic structure

故周期性結(jié)構(gòu)j左右應(yīng)力、位移及孔壓關(guān)系矩陣為

(4)載荷作用周期性結(jié)構(gòu)

如圖2 所示,載荷作用周期性結(jié)構(gòu)可分為A,B,C,3 個(gè)區(qū)域,其中A,C 兩區(qū)參考無載荷作用的周期性結(jié)構(gòu)處理方式即可,對于載荷作用的B 區(qū)采用傳統(tǒng)3 維有限元進(jìn)行分析,即結(jié)合式(12),式(21),式(23)以及式(25)可得模型的總體剛度矩陣為

由Gaussian 消元法,可得

將式(27)代入式(26),化簡得

同理,可解得任意周期性結(jié)構(gòu)左右界面位移、孔壓值,將之代入式(24)可解的各周期性結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)值,最終由式(24)可解得頻域內(nèi)周期性結(jié)構(gòu)內(nèi)部單元的位移、孔壓值.在此基礎(chǔ)上進(jìn)行Fourier 逆變化,可得時(shí)域中的解.

當(dāng)載荷為移動載荷時(shí)

式中,v0為載荷移動速度,ω0為載荷激振角頻率

通過離散的Fourier 變化即可實(shí)現(xiàn)移動載荷作用下的模型求解.

2 模型的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的可靠性,首先采用將本文模型中非飽和土參數(shù)退化的方式,來計(jì)算單相彈性地基土-隧道系統(tǒng)的動力響應(yīng),并與文獻(xiàn)[31]中單相彈性地基土-隧道2.5 D FE-PML 模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比.2.5D FE-PML 模型長為14 m,寬為17 m,PML邊界厚度h=1 m.多耦合周期性有限元模型橫斷面尺寸與2.5 D FE-PML 模型相同,縱向一個(gè)周期單元長度為0.2 m,模型簡化示意如圖5 所示.模型計(jì)算參數(shù)及參數(shù)退化方式參考文獻(xiàn)[12].

圖5 驗(yàn)證模型示意圖Fig.5 Schematic diagram of validation model

圖6 給出了隧道仰拱處作用單位簡諧載荷(f=30 Hz,v0=0 m/s)時(shí),不同埋深處豎向動位移ux沿水平向變化曲線.由圖6 可得,兩者計(jì)算結(jié)果吻合較好,一定程度上驗(yàn)證了本文提出的多耦合周期性有限元方法的可靠性.

圖6 多耦合周期性有限元方法與2.5 D FE-PML 模型計(jì)算結(jié)果豎向動位移ux對比圖Fig.6 Comparison of vertical dynamic displacement uxof multi coupling periodic finite element model and 2.5 D FE-PML model

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法中對于非飽和土考慮的正確性,將本文方法的計(jì)算結(jié)果與既有的解析算法[28]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比,計(jì)算參數(shù)參考表1.

表1 驗(yàn)證模型計(jì)算參數(shù)Table 1 Calculation parameters of validation model

圖7 給出了兩個(gè)非飽和地基-隧道模型在隧道仰拱處(x=0 m,y=-2.75 m,z=0 m)作用單位簡諧載荷(f=10 Hz,20 Hz,30 Hz,40 Hz)時(shí),豎向動位移沿y=-3 m 的分布規(guī)律.從圖7 可以看出,兩者結(jié)果較為一致,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出的多耦合周期性有限元方法的可靠性.

圖7 多耦合周期性有限元方法與解析算法計(jì)算結(jié)果對比圖Fig.7 Comparison of calculation results of multi coupling periodic finite element model and analytical algorithm

需要指出的是,本文方法計(jì)算時(shí)主要耗時(shí)為自由波特征值的求解,以驗(yàn)證算例二為例,一個(gè)周期性結(jié)構(gòu)單個(gè)面的自由度為5158,計(jì)算自由波傳播常數(shù)耗時(shí)7065 s,后續(xù)耗時(shí)為203 s.總的來說,計(jì)算效率比解析方法略低,但與有限元-邊界元方法相比,該方法在計(jì)算效率上具有較大的優(yōu)勢.

3 數(shù)值計(jì)算與分析

基于上述方法,以地基、隧道、隔離樁系統(tǒng)為例,討論隔離樁對地表振動響應(yīng)的影響,在隧道仰拱處作用固定單位簡諧載荷(f=20 Hz),如圖8 所示.地基、隧道模型計(jì)算參數(shù)如表1 所示,隔離樁計(jì)算參數(shù)如表2 所示.

圖8 模型計(jì)算示意圖Fig.8 Schematic diagram of model calculation

表2 隔離樁計(jì)算參數(shù)Table 2 The calculation parameters of isolation pile

圖9 給出了無隔離樁、單排咬合隔離樁以及單排不咬合隔離樁(存在樁間距)情況下地表振動響應(yīng)分布特征.可以發(fā)現(xiàn),隔離樁的存在使得地表振動響應(yīng)規(guī)律發(fā)生了明顯變化,這主要是由于隔離樁的存在使得地基中產(chǎn)生了新的波反射(折射)面.靠近隔離樁附近,地表動力響應(yīng)有所衰減,但距離隔離樁較遠(yuǎn)的局部位置存在振動響應(yīng)放大的現(xiàn)象.還可以看到,與單排不咬合隔離樁相比,咬合樁的隔離效果更好.由此可見,地基中結(jié)構(gòu)的縱向多耦合周期性會影響系統(tǒng)動力響應(yīng)預(yù)測結(jié)果,因此為準(zhǔn)確預(yù)測系統(tǒng)動力響應(yīng),應(yīng)考慮地基結(jié)構(gòu)的縱向變化特性.

圖9 不同工況下地表振動響應(yīng)分布Fig.9 The distribution characteristics of surface vibration response of double row pile wall

4 結(jié)論

(1)基于非飽和土運(yùn)動微分方程、連續(xù)性方程以及滲流運(yùn)動方程,結(jié)合應(yīng)力、滲流邊界等條件,采用 Galerkin 法,推導(dǎo)了ub-pl-pg格式的固、液、氣三相非飽和介質(zhì)有限元表達(dá)式.相比于ub-v-w格式有限元單節(jié)點(diǎn)的9 個(gè)自由度,ub-pl-pg格式的有限元單節(jié)點(diǎn)減少至5 個(gè)自由度,大大節(jié)省了計(jì)算資源.

(2)基于自由波傳播理論,求解自由波傳播常數(shù)及自由波特征向量,基于自由波傳播常數(shù)及自由波特征向量求解各周期性結(jié)構(gòu)剛度矩陣,在此基礎(chǔ)上結(jié)合傳統(tǒng)有限元、完美匹配層單元,提出了多耦合周期性有限元法,將該方法分別與2.5 維有限元法及解析算法計(jì)算結(jié)果相對比,驗(yàn)證了該算法的可靠性.

(3)多耦合周期性有限元法具有可考慮結(jié)構(gòu)沿縱向變化特性的優(yōu)點(diǎn).其與解析方法相比,計(jì)算效率略低,但與有限元-邊界元方法相比,該方法在計(jì)算效率上具有一定優(yōu)勢.地基中結(jié)構(gòu)的縱向變化特性會影響系統(tǒng)的動力響應(yīng),因此,進(jìn)行動力響應(yīng)預(yù)測時(shí),應(yīng)考慮地基中結(jié)構(gòu)沿縱向的變化特性.

附錄

附錄A

附錄B

附錄C