方虹斌 * 吳海平 * 劉作林 *, 張琦煒 徐 鑒 ,

* (復旦大學智能機器人研究院,上海 200433)

? (同濟大學航空航天與力學學院,上海 200092)

引言

折紙(origami)結構起源于中國的折紙藝術,其在日本得到了長足發(fā)展.如今,折紙結構不再局限于“紙張”,而是泛指一切將二維薄片通過折疊(folding)形成的三維結構,其受到了教育學家、數(shù)學家、建筑學家、物理學家和工程科學家們的廣泛關注.折痕圖(crease pattern)是所有折紙結構的起點,其具有無窮的設計空間,可以據(jù)此折疊出復雜、精妙的三維結構.因此,近些年來,學者們提出了許多折紙啟發(fā)的結構:從大尺度(≥100m)的可展開航天結構[1-2]和折疊建筑[3-4],到中等尺度(10-3～10-1m)的自折疊機器人[5-6]和自折疊生物醫(yī)學器件[7-8],到小尺度(≤10-4m)的微納折疊元件[9-10]等.

受到折紙結構研究的催化,“折紙超材料(origami metamaterial)”應運而生.當前,隨著增材制造尤其是3D 打印技術的迅速發(fā)展,材料的設計和研發(fā)進入了“超材料(metamaterial)”階段.超材料具有自然界材料和工程結構所不具有的特殊性質,其特殊性質不是來源于化學組分,而是來源于精密設計的幾何結構和尺寸大小.力學(機械) 超材料(mechanical metamaterial)是超材料家族中的重要一類,具有自然界材料和工程結構所不具有的特殊力學性質[11-12].對于折紙超材料而言,是由精心設計的折紙結構堆疊、排列而成,折疊對于折紙超材料某些力學特性的形成具有決定性意義.

折紙結構和折紙超材料由于其異常廣闊的設計空間和突出的大變形、拓撲變化等性質,在最近幾年內(nèi)迅速成為材料、智能結構、機器人等領域的研究前沿和熱點.2012 年和2013 年,美國國家科學基金會(NSF)和美國空軍科學研究辦公室(AFOSR)連續(xù)兩年在前沿研究計劃(emerging frontiers in research and innovation,EFRI)框架下發(fā)布以“面向工程變革的一體化自組裝系統(tǒng)折紙結構設計(origami design for integration of self-assembling systems for engineering innovation,ODISSEI)”為主題的研究方向[13].EFRI-ODISSEI 共資助項目13 項,總計資助經(jīng)費2900 余萬美元,平均每項經(jīng)費為223 萬美元,項目周期2～ 9 年,項目研究對象涵蓋折紙超材料、主動折紙技術、基于折紙的人體組織工程、可重構折紙結構、基于折紙的新型光學器件等(表1).自2014年以來,折紙結構和折紙超材料研究取得許多重要創(chuàng)新性成果,已在《Science》、《Nature》和《PNAS》上發(fā)表論文44 篇,更有大量的論文出現(xiàn)在以《Advanced Materials》為代表的材料學頂尖刊物和以《PRL》為代表的物理學頂尖刊物上(圖1).圖2 展示了在Web of Science (WOS)數(shù)據(jù)庫中,以“origami(排除DNA)”為主題搜索的期刊、會議和綜述論文數(shù)目及其引用量在2001 年至2020 年間的演變趨勢.近20 年來,在折紙領域發(fā)表的論文數(shù)目增長了近110 倍,引用量從2001 年的0 次躍升至2020 年的10 654 次,這充分表明學術界對折紙這一前沿研究領域的興趣迅速上升.特別是,隨著EFRI-ODISSEI項目于2012 年和2013 年啟動,以“origami”為主題的發(fā)文量和引用量迅速增長,呈現(xiàn)出明顯的拐點.此外,折紙界的“奧林匹克”會議“International Meeting on Origami in Science,Mathematics and Education(OSME)”每4 年召開一屆,吸引了全世界著名學者參會并匯報他們的研究進展,每屆會議出版文集《OrigamiN》.注意到,會議文集厚度逐次增長,《Origami3》(2002 年)為單卷366 頁,《Origami4》(2006 年)為單卷572 頁,《Origami5》(2010 年)為單卷668 頁,《Origami6》(2014 年)為兩卷共735 頁,《Origami7》(2018 年)為4 卷共1357 頁,這也從一個側面反映出折紙相關研究的熱度和受關注度.

圖1 2014—2021 年間在頂級期刊上發(fā)表的以Origami 為主題的論文Fig.1 Papers on origami published in top journals during 2014—2021

表1 EFRI-ODISSEI 資助的項目[13]Table 1 Projects funded by EFRI-ODISSEI[13]

中國也高度重視折紙結構這一前沿研究領域,自2018 年起在多個國家重大研究計劃中立項支持,但支持方向較為狹窄,支持強度也較小.2019 年,國家重點研發(fā)計劃“智能機器人”重點專項發(fā)布指南“基于編織/折展原理的機器人結構功能一體化設計”,其支持項目數(shù)為1 項,經(jīng)費約500 萬元;2021年,國家自然科學基金委員會發(fā)布“十四五”第一批重大項目指南,其中工程與材料科學部發(fā)布指南“瞬態(tài)折展變形機構設計理論與關鍵技術基礎”,支持項目數(shù) ≤1 項,直接費用預算不超過1500 萬元.相對應的,我國學者在折紙領域的發(fā)文數(shù)量明顯少于美國.在上述統(tǒng)計的以“origami”為主題的論文中,中國學者發(fā)表的論文僅占20.5%,獲得的引用量占比為22.2%(圖2),遠低于美國的44.2%和57.8%.

圖2 以Origami 為主題的研究發(fā)展歷程分析Fig.2 Analysis of the development process of origami-themed research

除了基礎研究和論文發(fā)表,折紙結構和折紙超材料也具有巨大的工程應用潛力.事實上,目前已有許多折紙器件面世并得到應用,包括折紙型能量吸收護欄[14]、折紙型血管支架[8]、折紙型空間展開結構[15]、折紙機械臂[16]、折紙蠕蟲機器人[17]、折紙吸振材料[18]和聲調控折紙超材料[19]等.這些應用主要利用了折紙結構和折紙超材料的超輕、超大變形、變構型和變拓撲等特征.例如,可展開航天結構在發(fā)射過程中處于折疊收攏狀態(tài),固定安置在運載工具有效載荷艙內(nèi),體積最小,待發(fā)射入軌后,由地面指揮中心控制結構按設計要求展開成一個大型復雜航天結構[1];自折疊機器人通常由平面材料制成,通過折疊形成復雜的三維構型而實現(xiàn)功能[6];折紙聲學器件可以通過調整拓撲,實現(xiàn)對聲波透射和反射等的調控[20-21].注意到,上述這些特征常由折疊運動所誘發(fā),具有尺度無關性和組分無關性.因此,幾何設計和運動學分析一直是折紙結構和折紙超材料基礎研究和應用研究的重點之一.

為將折紙結構和折紙超材料應用于實際工程,靜力學和準靜態(tài)行為分析也不可或缺,常需要明確折紙結構和折紙超材料在不同方向上的力-位移本構關系,實現(xiàn)大變形和大承載間的協(xié)調.靜力學研究的另一個主要關注點就是折疊誘發(fā)的超常規(guī)靜力學特性.例如,折疊可以帶來豐富的變形模式[22],可以實現(xiàn)負泊松比[23-24]、負體積模量[25]等特征;折紙結構常具有幾何非線性和幾何“一對多”關系,可以實現(xiàn)非線性本構[26]、雙穩(wěn)態(tài)[24,27]和多穩(wěn)態(tài)[28-29]等特性;折疊運動會由于折面的接觸而停止,使得結構進入彈性變形模式,誘發(fā)剛度跳躍特性[30].通過調控折紙超材料中的單胞的變形,實現(xiàn)力學特性的可編程性[31-32]也是當前研究的熱點方向之一.

此外,折紙結構和折紙超材料也將不可避免地在動力學環(huán)境中工作,迫切需要研究由折疊誘發(fā)的動力學行為.例如,折紙器件將有可能受到基礎激勵,需要考查位移傳遞率等穩(wěn)態(tài)動力學特性;航天可折展結構的展開部署本質上是一個瞬態(tài)動力學過程,需要關注穩(wěn)定時間和超調量等瞬態(tài)動力學指標;折紙超材料本身還可以作為波傳播的媒介,需要探討帶隙等波動力學特性;折紙機器人在工作中有可能受到外界撞擊或從高處跌落,需要分析沖擊吸收功等沖擊力學特性.但是,相比于設計、運動學和靜力學研究,折紙結構和折紙超材料的動力學研究起步較晚,面臨較多挑戰(zhàn).目前,折紙動力學研究主要針對特例設計和分析,主要關注點有4 個方面:(1)折紙結構中由全局強幾何非線性本構(例如,準零剛度[18]、雙穩(wěn)態(tài)[27,33]等)引起的復雜動力學行為及其應用;(2)折紙結構在展開或構型切換過程中的瞬態(tài)動力學行為[34-36];(3)折紙結構和折紙超材料在沖擊載荷下的動力學行為[14,37];(4)折紙超材料作為波傳播媒介的波動力學特性[38-39].

總的來說,折紙結構和折紙超材料動力學研究的方法框架還不成熟和完善,在動力學建模和參數(shù)辨識、動力學理論和實驗分析方法、超常規(guī)動力學行為機制解析等方面都面臨較大挑戰(zhàn),也充滿機遇(詳見第6 節(jié)).考慮到折紙結構和折紙超材料的設計、運動學和靜力學已發(fā)展得較為成熟,并已有多篇綜述關注[40-45],本文主要關注折紙結構和折紙超材料動力學.但是,為了使本文具有完整性,下面首先簡要介紹折紙結構和折紙超材料的幾何設計與靜力學、運動學特性.隨后,本文從動力學建模、動力學分析和實驗方法、折疊誘發(fā)的超常規(guī)動力學特性和動力學應用等方面對國內(nèi)外相關研究成果和最新進展進行回顧,并梳理值得關注的若干問題,為相關的研究者提供參考.

1 幾何設計與運動學、靜力學特性

所有折紙研究的起點都是折痕圖設計,清晰折紙結構的運動學和靜力學特性,又是開展動力學研究的前提.為此,首先簡要介紹折紙的基本定義、假設和分類,隨后對常見的折痕設計和折紙結構進行回顧,并討論折紙超材料的構成方式.本節(jié)也將對折紙結構所特有的運動學和靜力學特性進行綜述,并概要性地介紹折紙結構和折紙超材料的應用前景.

1.1 基本定義、假設和分類

對折紙進行數(shù)學描述必須包含等距性和內(nèi)射性兩個條件.等距性(isometry)描述了折紙材料的不可延展性(non-stretchiness),具體指:兩點之間沿著紙面的最短距離不會隨著折疊改變.內(nèi)射性(injectivity)描述了折疊過程中紙面的不可自交性(non-selfintersection),具體指:在整個折疊過程中,紙面不能發(fā)生自相交.

每一個折紙結構都有其對應的折痕圖(crease pattern).折痕圖包含的元素有折痕(包括山折痕和谷折痕)、頂點、折面;描述折痕圖和折疊過程的常用幾何量是扇形角和折疊角.下面給出它們的具體定義.

(1) 折痕(crease):折痕圖上的線性要素,折疊圍繞其發(fā)生.折痕可以不發(fā)生折疊(unfolded),部分折疊(partially folded),或完全折疊(fully folded).

(2) 頂點(vertex):兩條或多條折痕的相交點.一個頂點的度數(shù)(degree)為n,是指有n條折痕相交于該頂點.

(3) 折面(facet):由折痕和(或)邊界圍成的多邊形區(qū)域.

(4) 扇形角(sector angle):兩條相鄰折痕圍繞其相交頂點的角度,常表示為 α .

(5) 折疊角(folding angle):折面偏離水平面的角度,常表示為 θ .

(6) 二面角(dihedral angle):兩個相鄰折面圍繞其相連折痕的二面角,常表示為 ρ .

(7) 山折痕(mountain fold):向外折疊的折痕,通常對應負的折疊角.當山折痕被完全折疊時,折疊角為 - 180°.

(8) 谷折痕(valley fold):向內(nèi)折疊的折痕,通常對應正的折疊角.當谷折痕被完全折疊時,折疊角為180°.

在上述定義的基礎上,根據(jù)不同的假設,折紙結構可以被描述為不同的數(shù)學模型:

(9) 剛性可折折紙(rigidly foldable origami):在折面不發(fā)生彎曲和屈曲,折痕和頂點不在折面內(nèi)移位的情況下,如果折紙結構可以在展開狀態(tài)(unfolded state)和完全折疊狀態(tài)(fully-folded state)間連續(xù)變化,則稱為剛性可折.

(10) 可折平折紙(flat-foldable origami):假設折面厚度為零(可忽略),在折面不發(fā)生彎曲、屈曲、自交,且不產(chǎn)生新折痕和新頂點的情況下,如果折紙結構可以被完全折平,則稱為可折平.Kawasaki-Justin定理表明,折痕圖中一個內(nèi)部頂點可以被折平的充要條件是圍繞該頂點的所有扇形角滿足α1-α2+α3-α4+···+αN-1-αN=0,且N為偶數(shù).但需要注意的是,Kawasaki-Justin 定理是某折痕圖所對應的折紙結構具有可折平性的必要不充分條件.

(11) 可展平折紙(developable origami):一個處于折疊狀態(tài)的結構,如果其可以被展開為一張平紙,則稱為可展平.數(shù)學上,圍繞著一個內(nèi)部頂點的所有扇形角的和為 3 60°,即,則該頂點可以被展平;如果折痕圖中所有內(nèi)部頂點都滿足該條件,則基于該折痕圖所折的折紙結構具有可展平性.

(12) 厚板折紙(thick origami):考慮折面厚度的折紙.

(13) 曲面折紙(curved origami):假設折面厚度為零(可忽略),折疊過程中折面和折痕可以被彎曲的折紙.

1.2 常見的折痕圖設計和折紙結構

折紙為三維結構設計提供了無限可能.在幾何上,通過精細設計折痕,二維薄片可以被折疊為復雜的三維形狀.例如,通過定制折痕,可以逼近任意常曲率或變曲率的三維表面[46],或任意給定形狀的幾何多面體[47].在現(xiàn)有的折紙結構和折紙超材料研究中,以下幾類折痕圖受到廣泛關注.

4°頂點折紙(degree-4 vertex origami)是最基本的剛性折紙,它由4 塊剛性折面通過相交于一點的4 條折痕連接而成(圖3(a)).為保證可展平性,4 條折痕構成的4 個扇形角之和等于 3 60°(α1+α2+α3+α4=360°).在此基礎上,如果4 個扇形角滿足Kawasaki-Justin 條件(即 α1-α2+α3-α4=0),則該4°頂點折紙具有可折平性[22];如果4 個扇形角滿足α1+α4=α2+α3=180°,則該4°頂點折紙有一對折痕共線[48];如果4 個扇形角同時滿足α1+α3=α2+α4=180o和α1-α2+α3-α4=0,則4°頂點折紙退化為經(jīng)典的三浦折紙(Miura-ori)(圖3(b))[49].Fang 等[22]發(fā)現(xiàn),三浦折紙僅能實現(xiàn)伸縮變形,可折平4°頂點折紙可以同時實現(xiàn)伸縮變形和面外剪切變形,具有一對共線折痕的4°頂點折紙可以同時實現(xiàn)伸縮變形和面內(nèi)剪切變形,而一般的4°頂點折紙可以同時實現(xiàn)伸縮、面內(nèi)剪切、面外剪切和彎曲變形.Yasuda 等[24,50]還在三浦折紙的基礎上提出了Tachi-Miura polyhedron (TMP)結構 (圖3(d)),其也保持了剛性可折平性.上述這些4°頂點折紙及其堆疊結構在超材料開發(fā)方面得到了廣泛的關注[23-24,50-51].

水彈(waterbomb)是一種具有更高度數(shù)頂點的折痕圖,包含8°頂點或6°頂點,均具有剛性可折性.其中,8°頂點waterbomb 折痕圖由4 條山折痕和4 條谷折痕交錯排列構成(圖3(e)),而6°頂點waterbomb 折痕圖是由4 條山折痕和2 條谷折痕構成(圖3(f))[52].通過周期性排列6°頂點waterbomb單元,可以折疊成著名的“魔力折紙球”(magic origami ball)(圖3(f))[17].

圖3 常見的折紙結構的折痕圖和三維構型Fig.3 Crease patterns and 3D configurations of classical origami structures

Yoshimura[53]折痕圖(有時也命名為鉆石折痕圖(diamond pattern))同樣隸屬于6°頂點折痕圖,其最早發(fā)現(xiàn)于薄壁圓筒在軸向壓力下屈曲失穩(wěn)形成的圖案.Yoshimura 折痕圖表現(xiàn)為沿對角線折疊的菱形,且對角線的折痕全部為山折痕或谷折痕(圖3(g))[54].Yoshimura 折紙屬于剛性可折折紙,其同時具有可展平性、可折平性,且具有多個獨立的折疊自由度.將Yoshimura 折紙單元在平面兩個方向上排布并將兩側的邊界重合黏接,可以形成Yoshimura 柱狀結構.與Yoshimura 折紙不同,Yoshimura 柱狀結構不再保持剛性可折[1],但有望應用于航天可展結構.

與Yoshimura 折紙類似,Kresling 折紙(Kresling origami)(有時也命名為對角折紙(diagonal origami)、三角圓柱折紙(triangulated cylindrical origami)等)[33,55-57]來源于薄壁圓柱受軸向壓縮和扭屈時屈曲形成的圖案.Kresling 折痕圖由平行四邊形構成,每個平行四邊形的對角線上布置有相同山折痕或谷折痕.將Kresling 折紙單元在平面上排布并將兩側的邊界重合粘接,也可以形成Kresling 柱狀結構,其也丟失了剛性可折性.在容許折面發(fā)生變形的情況下,Kresling 柱狀結構在折疊過程中表現(xiàn)出顯著的拉壓和扭轉耦合的變形模式[58].

1.3 折紙超材料構成:平鋪和堆疊

將折紙結構作為一個單胞在平面上依照某種平移對稱的方式進行平鋪(tessellation),可以構成平面折紙薄板,其被廣泛用于三明治板材的核心[59].典型的代表包括三浦折紙、waterbomb 折紙[52]、Ron-Resch 折紙[60]等.此外,如圖3(f)～ 圖3(h)所示,6°頂點waterbomb 折紙、Yoshimura 折紙和Kresling折紙等,都可以進行平面平鋪,并通過連接邊界折痕形成柱狀結構.

進一步地,將相同的平面折紙薄板在另一個維度進行堆疊(stacking),可以構成空間拓撲結構,成為折紙超材料.通過調整幾何設計,可以對折紙超材料在3 個主軸方向上幾何和力學特性進行調控.最早的堆疊結構案例包括三浦折紙堆疊(stacked miuraori,SMO) 結構[23](圖3(c)) 和TMP 堆疊結構[24,50](圖3(d)).經(jīng)過堆疊,SMO 和TMP 超材料依然保持了可折平性和剛性可折性,因此,三浦折紙單胞和TMP 折紙單胞的很多特性在堆疊結構中獲得了保留.

將不同的平面折紙薄板進行堆疊需要額外的約束條件,以確保在剛性折疊過程中,兩塊薄板不會發(fā)生脫離.例如,在連接兩個不同的4°頂點折紙單元時,需要保證相連折痕的長度相同、相關頂點之間的距離始終保持一致,相關折痕之間的角度也始終保持一致.通過考慮這些剛性折疊幾何約束,可以得到堆疊不同平面折紙薄板需要滿足的幾何相容性條件[22].具體地,兩個不同的三浦折紙單元也可以堆疊成為一個SMO 結構,其可以呈現(xiàn)出內(nèi)嵌(nested-in)和外凸(bulged-out)兩種拓撲不同的構型,且依然保持剛性可折性和可折平性[23,27](圖3(c)).可折平的4°頂點折紙和具有一對共線折痕的4°頂點折紙也可以進行堆疊,但是一般的4°頂點折紙無法進行堆疊操作[22].

1.4 運動學和靜力學特性

由于無窮的幾何可設計性和豐富的折疊變形,折紙結構和折紙超材料可以呈現(xiàn)出許多有異于傳統(tǒng)組分材料和工程結構的運動學和靜力學特性.折紙結構的運動學超常規(guī)特性包括尺度無關特性、單自由度或有限自由度作動特性等;靜力學超常規(guī)特性包括負泊松比、多穩(wěn)態(tài)、可編程剛度等.這些特性極大地豐富了折紙結構和折紙超材料在各個領域的應用.下面簡要介紹現(xiàn)有研究報道的折紙結構和折紙超材料的超常規(guī)運動學和靜力學特性,及其可能的應用場景.

(1) 輕量化.折紙結構可以由質量很輕的二維材料(例如:紙張和塑料薄板等)通過折疊制成,這樣可以在保證剛度等性能的前提下顯著地降低結構的整體質量[61-63].基于這樣的優(yōu)點,折紙結構被成功應用于航天可展部件,既降低了發(fā)射質量,又可以實現(xiàn)巨大的展開面積[64-65].輕量化的折紙結構也為減少機器人自重、降低機器人開發(fā)成本提供了全新的方案,學者們提出了許多具有可重構、自折疊特性的機器人設計,并已成為未來機器人發(fā)展的重要方向之一[6,16-17,66].

(2) 尺度無關性.折紙結構和折紙超材料的尺度無關性是指:將折痕圖放大到結構尺寸或縮小到微納級別大小時由折疊所誘發(fā)的特性不會改變.因此,理論上,折紙結構和折紙超材料可以在不改變運動學性能的前提下應用到不同尺度的結構中,小至納米尺度的 DNA Origami[67],大至超大型空間可展開結構[15,64].然而,在實際應用中,折紙結構和折紙超材料的尺寸會受到加工和慣性的影響:微納級別的折紙超材料對制作工藝和保持可折疊性提出了很高挑戰(zhàn)[10,68],而過大的折紙結構則會影響剛性可折性,在折疊過程中將無法忽略折面慣性對折疊運動的影響[69].

(3) 單自由度或有限自由度作動特性.單自由度作動特性是指僅需改變一個折疊角,就可以將剛性折紙結構從初始的展開狀態(tài)轉變到完全折疊狀態(tài).對于單自由度折紙結構而言,盡管存在多個折疊角,但是這些角度間存在著運動學約束,僅有一個折疊角是獨立的.因此,單自由度折紙結構從展開狀態(tài)到完全折疊狀態(tài)之間只存在一條折展路徑,可以僅用一個折疊角予以描述.三浦折紙及相關的SMO 堆疊結構就屬于單自由度作動類型[23].有限自由度作動特性是指可以通過調整多個折疊角改變剛性折紙結構的構型,這些折疊角的變化相互獨立.因此,需要有限多個折疊角才可以描述有限自由度折紙結構在折疊過程中的構型變化[70].針對一般性的剛性折疊折紙結構,已有相關研究給出了基于鄰接矩陣(adjacent matrix)計算自由度數(shù)目的方法[71].6° 水彈折紙結構就屬于有限自由度作動類型,其具有3 個折疊自由度,但通過施加對稱性約束,其自由度可以縮減到一個[52].事實上,折紙結構雖然常具有復雜的幾何形狀,但卻可以通過單自由度或有限自由度作動實現(xiàn)構型切換,極大地減少了對驅動器數(shù)目的需求,降低了驅控的難度.

(4) 負泊松比.泊松比定義為負的材料橫向應變與縱向應變之比,因此負泊松比表示材料受縱向拉伸時在橫向方向上發(fā)生膨脹,而在縱向受壓縮時在橫向發(fā)生收縮.對于剛性折紙結構而言,其負泊松比特性可以通過運動學分析精確得到.三浦折紙結構具有負的面內(nèi)泊松比特性:在平面內(nèi)沿一個方向拉伸三浦折紙結構,其在與之垂直的方向上也發(fā)生伸長(圖4(a)).這樣的負泊松比特性使得三浦折疊可以用于調控微孔結構中彈性波的傳播[72].有趣的是,在面外彎曲時三浦折紙將呈現(xiàn)出馬鞍形,即正的面外泊松比,這種正、負泊松比組合的情況在其他材料中比較少見[23,73].此外,TMP 堆疊結構在折疊過程中,還將發(fā)生泊松比符號的切換[24].值得指出的是,負泊松比在折紙結構中普遍存在,如4°頂點折紙單元[22]和水彈折紙結構[74]等.

圖4 折紙結構的超常規(guī)運動學和靜力學特性[23,28,30,83]Fig.4 Extraordinary kinematic and mechanical properties of origami structures[23,28,30,83]

(5) 多穩(wěn)態(tài).多穩(wěn)態(tài)是指結構具有兩個及以上的穩(wěn)定平衡位置,在外力作用下,結構可以在這些位置間切換,而撤去外力時,結構可以穩(wěn)定地維持在這些位置.這樣的特性使得多穩(wěn)態(tài)結構能夠適應于不同的環(huán)境而無需持續(xù)的外部能量輸入.多穩(wěn)態(tài)結構有著多種多樣的應用,例如傳感、振動控制和能量收集等[75].折紙結構的多穩(wěn)態(tài)來源于剛性折疊時折疊角之間的幾何一對多關系(即剛性折疊多穩(wěn)態(tài)折紙結構),或非剛性折疊時折面變形和折痕扭轉共同導致的非線性幾何關系(即非剛性折疊多穩(wěn)態(tài)折紙結構).多穩(wěn)態(tài)折紙結構可以誘發(fā)許多獨特的力學行為.例如,將折紙結構從一個穩(wěn)定構型切換至另一個穩(wěn)定構型,當通過它們之間的不穩(wěn)定構型時,將呈現(xiàn)出快速的“突彈跳躍(snap-through)”響應,并對應于負的切線剛度(tangent stiffness).

計算折紙結構的彈性勢能隨折疊過程的演化是分析折紙結構是否具有多穩(wěn)態(tài)特性的重要方法.具體地,剛性折紙結構的勢能僅來源于折痕彈性變形(即將折痕認為是具有扭轉剛度的理想鉸鏈),利用折疊角之間的一對多映射關系,可以得到多個勢能局部極小值,分別對應于多個穩(wěn)定構型.例如,通過精心設計,4°頂點折紙結構可以實現(xiàn)2～5 個穩(wěn)定的平衡構型[28](圖4(b)).6°頂點水彈折紙[76]和8°頂點leaf-out 折紙結構[77]也可以是多穩(wěn)態(tài)的.堆疊也是形成剛性折疊多穩(wěn)態(tài)折紙結構的有效方式.例如,通過調控幾何設計和無應力初始構型,TMP堆疊結構可以呈現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)特性[24];通過調控構成SMO 結構的兩個三浦折紙單胞的折痕剛度,SMO結構也將具有雙穩(wěn)態(tài)[27];通過改變堆疊方式,SMO變體結構還有可能在彎曲和傾斜方向上呈現(xiàn)出多穩(wěn)態(tài)[29].

非剛性折紙結構的勢能來源于折面和折痕的彈性變形.相比于剛性折紙結構,非剛性折紙結構折面的彈性變形將不可忽略,甚至可以從根本上改變折紙結構整體的勢能特性.例如,Kresling 柱狀折紙結構在軸向受壓時,在折面彎曲變形和折痕扭轉變形共同作用下,將呈現(xiàn)出獨特的壓扭耦合雙穩(wěn)態(tài)特性[78].基于6°頂點waterbomb 單元開發(fā)的折紙球結構也被證實具有三穩(wěn)態(tài)特性[17].此外,square-twist 折紙結構在剛性折疊假設下不具有折疊自由度(即剛性不可折),但通過引入折面的彎曲變形,其“隱藏”的自由度被激活,呈現(xiàn)出了多穩(wěn)態(tài)特性[79].

(6) 自鎖和剛度跳躍.“自鎖(self-locking)”是指折紙結構在沿著折痕剛性折疊的過程中折面發(fā)生接觸而不能被進一步折疊,“鎖定”在它的最終非平面剛性構型的現(xiàn)象[22,48].自鎖特性是4°頂點折紙的常見特征.在4°頂點折紙家族中,只有滿足Kawasaki-Justin 條件的一小部分折痕圖有可能被折平,而其余絕大多數(shù)4°頂點折紙結構都將在剛性折疊過程中發(fā)生自鎖現(xiàn)象.

在剛性可折折紙的假設下,折面接觸后折紙結構進入“鎖定”狀態(tài),折紙結構剛度將躍升至無窮大.但在實際中,構成折紙結構的材料具有有限的剛度,自鎖發(fā)生后,由于折面和折痕的彈性變形,折紙結構可以被繼續(xù)折疊.但是,自鎖前后,折紙結構的剛度具有完全不同的來源.自鎖之前,折紙結構的剛度主要來源于折痕的扭轉剛度;自鎖之后,除了折痕的扭轉剛度,折面剛度對折紙結構的整體剛度具有重要貢獻.這樣的剛度來源變化將使得折紙結構在自鎖構型前后呈現(xiàn)出顯著的剛度差異,形成剛度跳躍[30](圖4(c)).自鎖和剛度跳躍特性對超材料和自適應結構的開發(fā)具有重要意義.例如,可以基于自鎖實現(xiàn)折紙超材料的分段剛度本構[30].此外,還有學者基于三浦折紙,提出了一類具有膨脹、雙穩(wěn)定和自鎖特性的多孔超材料[80].將折紙結構和形狀記憶合金材料耦合,也可以實現(xiàn)自鎖[81].折紙結構的自鎖特性還被成功應用于可折疊機械臂[16]、可展開空間吊桿結構[82]等.

(7) 剛度可調性和可編程性.折紙結構和折紙超材料可以通過3 種方式實現(xiàn)對剛度的調控.第一種方式中,考慮到折紙結構在不同構型時具有不同的切線剛度,因此可以通過折疊來實現(xiàn)剛度調節(jié).例如,由三浦折紙管狀結構和“拉鏈式”管狀結構組合而成的結構,在不同的折疊程度下具有顯著不同的切線剛度,表現(xiàn)為不同的特征值(圖4(d))[83].SMO 結構在3 個主軸方向具有顯著不同的剛度本構,且也與折疊程度密切相關[84].這種基于折疊的大范圍剛度可調性,是折紙超材料區(qū)別于其他力學超材料的顯著優(yōu)勢之一.

另一種剛度調控的方式是利用折紙結構單胞的自鎖和多穩(wěn)態(tài)特性實現(xiàn)折紙超材料整體剛度的可編程性.具體地,通過建立折紙結構單胞的構型與數(shù)字編碼(0,1 等)的關系,可以實現(xiàn)折紙超材料整體剛度的數(shù)字化調控.例如,通過調控構成單胞的自鎖順序或穩(wěn)態(tài)構型,可以實現(xiàn)對剛度本構的編程[30,85];通過在線切換構成單胞的穩(wěn)態(tài)構型,可以實現(xiàn)對三浦折紙薄板整體剛度的在線編程[31].

第3 種調控剛度的方式來自于外部作動.例如,通過調節(jié)封閉折紙結構內(nèi)部的氣壓,可以實現(xiàn)折紙結構形狀變換和剛度調控[84].考慮到折紙結構的剛性可折特性,這樣的形狀變換具有可恢復性,可以用于開發(fā)可重復使用的能量收集裝置[84,86].磁鐵也是調控折紙結構剛度的有效方式.將折疊彈性勢能和磁力勢能耦合,可以定性或定量地改變折紙結構的本構特性,例如,通過電磁鐵實現(xiàn)Kresling 柱狀折紙結構在單穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)之間的切換[87].在squaretwist 折紙結構中,折面變形程度決定了系統(tǒng)自由度的多少,通過溫度調控折面剛度,可以使squaretwist 折紙結構在剛性單穩(wěn)態(tài)和非剛性多穩(wěn)態(tài)間切換,從而實現(xiàn)主動重構[88].

2 動力學建模方法

除了上述運動學和靜力學特性,折紙結構和折紙超材料的動力學研究受到越來越多的關注.從研究方法出發(fā),折紙結構和折紙超材料動力學研究可以分為3 類:基于模型的動力學研究、基于有限元的動力學研究和動力學實驗研究.這其中,基于模型的動力學研究具有基礎性和核心性地位,其計算效率較高,可以用于預測折紙結構和折紙超材料的動力學行為,并為動力學性能優(yōu)化提供依據(jù).

基于模型的動力學研究的基礎是建立準確、可靠、可處理的動力學模型,這需要根據(jù)研究目的提取折紙結構和折紙超材料的關鍵特征,簡化一些次要特征.根據(jù)建模的主要假設和依據(jù),折紙結構和折紙超材料的動力學建模方法分為:空間桁架等效動力學建模方法、非線性彈簧等效動力學建模方法、基于廣義哈密頓原理的等效動力學建模方法和數(shù)據(jù)驅動動力學建模方法.下面,分別介紹上述方法,并分析所建立的動力學模型的合理性和可處理性.此外,本節(jié)也對邊界約束和折面接觸的處理方法,以及幾何、物理參數(shù)的辨識方法進行討論,它們對建立動力學模型具有重要意義.

2.1 空間桁架等效動力學建模

空間桁架等效動力學建模方法對于剛性不可折、部分剛性可折和完全剛性可折的折紙結構和折紙超材料均適用,下面分別介紹.

針對剛性不可折折紙結構和折紙超材料,在建立空間桁架等效動力學模型時,一般遵循如下假設:忽略折面;將折痕等效為可以軸向變形的無質量連桿,并在節(jié)點處用鉸鏈連接;結構的上下端面保持剛性.隨后,通過建立上下端部面板的慣性張量以及桁架對端部面板施加的力和力矩,可以采用牛頓-歐拉方法建立結構的動力學方程.Kresling 折紙結構是典型的剛性不可折結構,其由水平折痕、垂直折痕和對角折痕組成.基于上述思路并考慮阻尼因素,Kidambi和Wang[33]建立了6 自由度(3 個位移分量pB0/A0,3 個歐拉角 ω) Kresling 折紙結構的空間桁架等效動力學模型(圖5(a))

其中,FBi和GBi分別表示桁架對上端面板施加的力矢量和扭矩矢量;mB,R和IB0分別表示上端面板的質量、旋轉張量和慣性張量.類似地,Yasuda 和Yang[89]利用線性彈簧替代折痕,也建立了Kresling 折紙結構的空間桁架等效動力學模型.由于忽略了折面的存在,這樣的模型無法描述折面的彎曲變形,但桁架連桿長度的變化所引起的等效折面伸縮和剪切變形依然可以用于分析力學響應[26].此外,通過將折痕描述為可以發(fā)生伸縮變形的連桿/線性彈簧,桁架結構的勢能可以簡單地表示為桁架中連桿/線形彈簧長度改變量的函數(shù),極大地簡化了分析,易于給出桁架處的作用力和力矩.通過忽略Kresling 折紙結構在軸外的變形,Yasuda 等[39]建立了2 自由度空間桁架等效動力學模型(圖5(b)).該模型考慮了不同長度折痕線剛度的差異,并通過扭轉彈簧模擬折面繞上下端面的旋轉.通過建立Kresling 折紙結構軸向變形和旋轉變形間的關系并予以線性化,該2 自由度模型可以被進一步簡化為單自由度等效動力學模型.Kidambi 和Wang[33]在研究中指出,他們建立的6 自由度動力學模型在退化情況下與Yasuda 等[39]建立的2 自由度模型等價.

圖5 折紙結構和折紙超材料空間桁架等效動力學模型[33,39,90-92]Fig.5 Truss-based equivalent dynamic models of origami structures and origami metamaterials[33,39,90-92]

某些折紙結構理論上具有剛性可折性,但基于不同材料制備的試樣在折疊過程中,折面將有可能發(fā)生不同程度的彎曲變形,成為部分剛性可折.處理折面彎曲的一種方式是在折面上添加沿對角線的虛擬折痕,將四邊形折面拆分為兩個三角形折面.針對這樣由三角形折面、折痕和虛擬折痕構成的折紙結構,也可以建立相應的空間桁架等效動力學模型.建模的基本假設是:忽略折面;將折面的質量均勻分布到三角形的3 個節(jié)點上;將折痕等效為無質量的桁架連桿,但連桿上布置有扭轉彈簧,連桿在節(jié)點處用鉸鏈連接.于是,折紙結構的折疊運動可以被描述為由繞連桿的旋轉鉸鏈構成的柔性機構.為了區(qū)分繞折痕的折疊和折面的彎曲,對應于折痕和虛擬折痕的連桿被賦予不同的扭轉剛度.隨后,通過考慮節(jié)點質量、節(jié)點位移和節(jié)點處所受合力,可以建立結構的動力學模型.針對三浦折紙結構和雞蛋盒(eggbox)折紙結構,Pratapa 等[90]構造了對應的空間桁架(圖5(c)),通過建立質量矩陣并利用虛功原理建立剛度矩陣,得到了三浦折紙和雞蛋盒折紙的空間桁架等效動力學模型.Bhovad 和Li[91]根據(jù)等效節(jié)點質量mp以及作用在節(jié)點上的連桿拉伸力、折痕/面彎曲力、等效阻尼力、外部驅動力和重力mp g(圖5(d)),基于牛頓第二定律給出了關于節(jié)點p的位移的等效動力學方程

其中上標 (j) 表示數(shù)值計算中第j個時間步.

針對剛性可折折紙結構,空間桁架模型可以進一步簡化為只容許一維運動的連桿結構,以抓住結構的剛性可折和單自由度作動特性.Yasuda 等[92-93]通過這樣的思路對TMP 結構進行了等效動力學建模.建模的基本假設是:將TMP 折紙結構的整體折疊運動等效為兩個代表性折面的折疊運動,并進一步用兩根剛性桿(圖5(e)中紅色線段)的相對折疊運動等效折面的折疊運動;兩根連桿用鉸鏈和扭轉彈簧相連;折紙單胞的質量均勻分布于兩根連桿上;一根連桿與地面鉸接,另一根連桿通過滾子關節(jié)支撐,以確保該雙連桿系統(tǒng)只能發(fā)生一個方向的平移.通過分析剛性連桿的運動,第j個TMP 單元的動力學方程可以通過虛功原理給出[92]

其中,rj是由兩根連桿的質心坐標及方向角形成的的向量,和fj分別表示對應的質量矩陣和外力矢量.在此基礎上,Yasuda 等[92,94]還建立了由N個TMP 單元構成的超材料的動力學模型

其中,Φ 表示坐標變換矩陣,M?和f分別表示整體質量矩陣和力矢量,q則表示廣義坐標矢量.

上述空間桁架等效動力學建模方法針對剛性不可折、部分剛性可折和完全剛性可折折紙結構,采用了不同的建模假設.從動力學模型的合理性和可處理性角度來看:

(1)通過把非剛性折疊行為等效為連桿的拉伸/壓縮行為,極大地簡化了折紙結構的動力學建模過程,獲得的動力學模型也具有較高的可處理性.但是,在折疊過程中,空間桁架模型忽略了折紙結構的一些關鍵特性,如折面的慣性、折面的彎曲變形、折面繞折痕的剛性旋轉等.

(2)針對部分剛性可折的折紙結構,繞折痕的折疊行為和折面彎曲行為被等效描述為連桿的拉伸壓縮、折面繞折痕和虛擬折痕的旋轉.這樣建立的模型考慮了折面的慣性,繞折痕的旋轉和折面的彎曲也可以通過賦予折痕和虛擬折痕不同的扭轉剛度予以區(qū)分.但是,這樣的建模方法需要將折面三角化,在折紙結構模型較為復雜時將導致可處理性變差.

(3)針對完全剛性可折的折紙結構,一維連桿模型準確地體現(xiàn)了剛性折疊和單自由度作動特性,模型簡單且計算效率較高,特別適用于小振幅的波動力學問題.但這樣的動力學模型對折面的慣性簡化過度,完全丟棄了折紙結構的大變形折疊特征,無法分析大振幅動力學行為.

2.2 非線性彈簧等效動力學建模

非線性彈簧等效動力學建模方法僅僅考慮折紙結構和折紙超材料沿著折疊變形方向的直線平移運動,將折紙結構和折紙超材料整體等效為非線性彈簧-阻尼模型或非線性彈簧-質量-阻尼模型.前者忽略了折紙結構和折紙超材料自身的質量,但需要在模型中考慮添加在端部的集中載荷;而后者則將折紙結構和折紙超材料的質量等效為單元間的集中質量.通過能量法或準靜態(tài)拉壓測試,可以得到等效非線性彈簧的本構關系,并進而基于牛頓第二定律建立動力學模型.目前,已有SMO 單胞結構、SMO 超材料、流體折紙(fluidic origami)結構和TMP 超材料等建立了非線性彈簧等效動力學模型.

通過能量法推導等效非線性彈簧的本構關系常用于剛性可折折紙結構.對于剛性可折折紙結構和折紙超材料,折痕被看作是具有扭轉剛度的理想鉸鏈,通過計算所有折痕處儲存的彈性勢能即可以得到折紙結構整體的勢能.將勢能(P)對折疊變形的位移(H)求導,可以導出折紙結構的力-位移本構關系

Sadeghi 等[95]將TMP 折紙結構等效為非線性彈簧和阻尼,并利用虛功原理分析了TMP 管狀結構沿長度方向的反作用力.邱海等[96]將 SMO 雙胞串聯(lián)結構建模為等效彈簧-阻尼模型,并附加兩個集中質量,然后使用12 次多項式擬合了由能量法得到的非線性彈簧本構關系.Zhang 等[38]用兩種不同的15 階多項式擬合了SMO 單胞在內(nèi)嵌和外凸兩種不同拓撲構型下的力-位移本構關系(表示為Fin和Fout,多項式系數(shù)為 αj和βj(j=1,2,···,15),并把SMO 單胞在長度、寬度和高度方向分別周期堆疊后形成的SMO 超材料建模為串聯(lián)非線性彈簧-質量振子(圖6(a));例如,在高度方向(具有雙穩(wěn)態(tài))上,如果將連續(xù)的3 個外凸-外凸-內(nèi)嵌SMO 單胞作為一個基本單元,則第p個基本單元的動力學方程可以表示為

其中,z[p]i,i=1,2,3 表示第p個基本單元中第i個SMO 單胞的位移,Hin和Hout是SMO 單胞在兩種不同拓撲穩(wěn)定構型下的長度.

除了折痕處儲存的彈性勢能,外界物理場和作動因素也會影響折紙結構整體的勢能.Fang 等[87]將耦合有磁鐵的SMO 單胞等效為無質量非線性彈簧和粘性阻尼,基于理論模型計算了包含磁勢能和折痕彈性勢能的本構關系,并通過27 階多項式對理論本構關系進行了擬合(圖6(b)).流體折紙結構可以通過調控內(nèi)部流體壓力改變本構,Sadeghi 和Li[18]將其等效為非線性彈簧和阻尼,并用多項式擬合了在內(nèi)部壓力作用下的力-位移本構關系.

圖6 折紙結構和折紙超材料的非線性彈簧等效動力學模型[27,38,87,92]Fig.6 Nonlinear spring-based equivalent dynamic models of origami structures and origami metamaterials[27,38,87,92]

此外,2.1 節(jié)中介紹的TMP 結構的一維等效連桿模型也可以被進一步簡化描述為非線性彈簧-質量振子.Yasuda 等[92]將TMP 結構的的力-位移本構關系(具有應變軟化特征)通過多項式進行擬合(圖6(c)),并施加一個拉伸方向的位移偏移量,以使非線性彈簧-質量振子模型在受壓和受拉區(qū)域都可以近似雙連桿模型的力-位移本構關系.為了分析在平衡位置附近的小振幅運動,還可以在小位移假設下對力-位移本構關系進行線性化,從而建立單個TMP結構和多個TMP 鏈式結構的線性彈簧-質量振子等效模型.

準靜態(tài)拉壓實驗可以直接得到折紙結構和折紙超材料的力-位移本構關系.Fang 等[27]對SMO 單胞進行了簡諧位移激勵,發(fā)現(xiàn)SMO 單胞的動力學響應具有明顯的二次和三次諧波項,意味著SMO 單胞結構包含顯著的平方和立方非線性特征.為此,可以對由準靜態(tài)拉壓實驗得到的力-位移本構關系進行三階多項式擬合,并確保SMO 單胞的兩個穩(wěn)定平衡位置(z=z1和z=z2) 和一個不穩(wěn)定平衡位置(z=z0)對應于力-位移本構本構關系的3 個零點(圖6(d)),由此得到SMO 單胞的非線性彈簧-阻尼-質量振子動力學模型

其中y表示位移激勵.Fang 等[30]還在折紙結構中發(fā)現(xiàn)了由自鎖行為引起的分段剛度本構,提出了具有雙向限位功能的自鎖折紙超材料,并通過組合彈簧模型來近似自鎖折紙超材料的分段剛度本構,其中,組合彈簧的剛度通過準靜態(tài)實驗或有限元仿真得到.

上述非線性彈簧等效動力學建模方法可以準確地描述折紙結構和折紙超材料整體的力-位移本構關系,包括分段線性剛度、多穩(wěn)態(tài)和磁彈耦合等復雜情況.因此,通過非線性彈簧等效動力學建模方法得到的動力學方程一般有著較為簡單的形式.此外,使用多項式函數(shù)對折紙結構和折紙超材料的非線性本構關系進行擬合有助于實現(xiàn)計算精度與計算效率的平衡.但是,非線性彈簧等效動力學建模方法也存在著較大的局限性.首先,非線性彈簧等效模型通常忽略折紙結構和折紙超材料整體的慣性,或將其等效為額外的集中質量;這樣的模型無法描述折紙結構和折紙超材料自身質量無法忽略時的動力學行為.其次,通過多項式擬合本構關系時,多項式的階數(shù)會對準確性與可處理性產(chǎn)生顯著影響,如何選擇多項式的階數(shù)是一個值得探討的問題;過高的階數(shù)將顯著降低模型的可處理性,而過低的階數(shù)將無法抓取本構關系的重要特征.再次,非線性彈簧等效模型通常無法處理存在不理想因素時的情況,例如由于不理想折痕引起的非折疊方向的振動.

2.3 基于廣義哈密頓原理的動力學建模

基于廣義哈密頓原理對折紙結構和折紙超材料進行建模是一種更具普遍性和準確性的動力學建模方法.在該方法中,首先需要推導結構的動能、勢能和非保守力所做虛功,隨后代入廣義哈密頓原理,得到一般形式的拉格朗日方程

其中,K和P分別表示折紙結構和折紙超材料的動能與勢能,Q和q則分別為非保守廣義力矢量與廣義坐標矢量.折紙結構和折紙超材料的動能、勢能獲取方法主要有兩類:模型簡化方法和基于剛性折疊的運動學分析方法,下面分別介紹.最后,對文獻中出現(xiàn)的不同類型廣義力進行介紹.

模型簡化方法是指將折紙結構和折紙超材料進行一定程度的簡化,以便于求得動能與勢能,大致可以細分為以下3 種.

第1 種是對折紙結構和折紙超材料的動能計算進行簡化.例如,將折面質量等效為折面質心處的集中質量,由此簡化折面動能的推導.Sadeghi 和Li[74]在對waterbomb 折紙結構建模時,將三角形折面的質量簡化為折面質心處的集中質量,根據(jù)各個折面相對于中心頂點的關系得到了各個折面質心的速度,由此求得了waterbomb 折紙結構整體的動能等效表達式 (圖7(a)).

第2 種是對折紙結構和折紙超材料的勢能計算進行簡化.例如將折痕折疊和折面彎曲等效為具有不同剛度的扭轉彈簧,從而將連續(xù)體的彈性勢能計算簡化為理想彈簧的勢能計算.Soleimani 等[97]用6 個線性和扭轉彈簧來限制兩塊相連的四邊形折面在6 個自由度上的相對位移,并進而對其折疊行為進行建模描述.該系統(tǒng)的勢能包括折面彎曲儲存的應變能(),折面邊界彈簧引起的勢能(),以及模擬折疊行為的耦合彈簧所引起的勢能(Pf)(圖7(b))

具體地,折面邊界彈簧勢能被等效為3 個線性彈簧和2 個扭轉彈簧(圖7(b)右下角),而折面的折疊行為則處理為3 個線性彈簧和3 個扭轉彈簧(圖7(b)右上角).此外,折紙結構中的熱力學作動也可以被等效建模為彈性勢能.例如,Fonseca 和Savi[98]研究了含有折紙輪結構的機器人的非線性動力學行為,并用2,4,6 階多項式近似擬合了形狀記憶合金(SMA)彈簧(其為折紙輪的作動器)的勢能

圖7 折紙結構和折紙超材料基于廣義哈密頓原理等效建模研究進展[34,74,97,99-100,104]Fig.7 Equivalent dynamic modeling of origami structures and origami metamaterials based on generalized Hamilton principle[34,74,97,99-100,104]

其中,ci(i=1,2,3)為本構模型參數(shù),TM表示臨界溫度,馬氏體在低于這個溫度時是穩(wěn)定的,u表示SMA彈簧的長度變化量.針對非剛性可折三浦折紙管狀結構展開時不同半單胞間的折疊差異,Wu 等[34]在相鄰半單胞間附加了扭轉彈簧,并用附加彈性勢能來建模和約束相鄰半單胞間的折疊差異.Zhou 等[99]也用類似的附加扭轉彈簧建模了SMO 雙胞串聯(lián)結構中單胞間的非理想連接,并通過附加彈性勢能來約束兩個SMO 單胞的折疊差異(折疊差異通過兩個角度描述(圖7(c))).Liu 和Felton[36]針對由柔性鉸鏈和塑料折面構成的折紙結構,發(fā)現(xiàn)其勢能可以通過計算從靜平衡構型準靜態(tài)地切換到不穩(wěn)定平衡點所做的功得到,即對準靜態(tài)實驗中的力矩積分得到.

第3 種是直接對折紙結構和折紙超材料進行結構簡化,以方便動能和勢能的計算.最常見的是對折面通過有限單元法進行建模,將折面的分布質量等效為節(jié)點處的集中質量,或通過折面的形函數(shù)得到集中質量矩陣.Xia 等[100]將連續(xù)的三浦折紙薄板簡化為連桿-節(jié)點集中質量系統(tǒng)(圖7(d)),其系統(tǒng)動能可以表示為節(jié)點動能之和,系統(tǒng)勢能包括折面彎曲變形和折痕彎曲的能量,及連桿伸縮的彈性勢能.Zhang 等[101]將四邊形單元離散為兩個三角形單元,在三角形折面區(qū)域V上對形狀函數(shù)(幾何描述)進行積分后得到三角形折面單元的一致質量矩陣

其中 ρ 為體積密度,N為形狀函數(shù)矩陣.將兩個三角形單元的矩陣元素進行組合,得到四邊形單元的一致質量矩陣

其中I為三維單位矩陣,s表示三角形單元的面積.Yuan 等[102]基于絕對節(jié)點坐標法(absolute nodal coordinate formulation,ANCF)將折紙薄膜結構離散為三角形單元,并通過單元的形狀函數(shù)矩陣求得三角形單元的動能,在此基礎上通過連接矩陣推導出結構整體動能.除了上述基于有限單元思想的簡化方法,也有研究直接將折紙結構和折紙超材料簡化為桁架和非線性彈簧組合的系統(tǒng),Han 等[103]建立了基于三浦折紙管狀結構的準零剛度隔振器,并將其等效為由四根連桿、一個水平彈簧和一個垂直彈簧構成的系統(tǒng),極大地簡化了動能和勢能的計算.

基于剛性折疊的運動學分析方法是指在剛性可折假設下,通過剛體運動學明確折面上各點的速度,隨后通過柯尼希定理或積分方法推導折紙結構或折紙超材料整體的動能;折紙結構和折紙超材料的勢能包括折痕折疊彈性勢能和重力勢能,它們可以在剛性可折假設下基于上述簡化分析方法求得.

具體地,折面的動能可以進一步分為平動動能和轉動動能,因此,動能的推導問題轉變?yōu)檎勖尜|心速度、折面旋轉角速度和轉動慣量的計算問題.例如,通過在折面質心上建立質心坐標系(圖7(e)) 并根據(jù)運動學關系得到折面的質心速度、繞質心軸的角速度和旋轉張量,可以計算折面的動能[104-105].當折紙結構的折面頂點被固定時,折面的運動表現(xiàn)為定點轉動的形式;Liu 和Felton[36]在建立三浦折紙結構構型切換的動力學模型時考慮了這種情形.折面速度積分方法首先將折面上任意一點的坐標用頂點坐標表示,隨后對時間求導得到該點的速度,并以此速度代表該點所在的微元的速度.通過計算微元的動能并對整個折面積分可以得到整個折面的動能.Wu 等[34]基于SMO 管狀結構剛性折面上任意一點與頂點的位移關系(圖7(f)),確定了該點沿3 個主方向的速度分量,并通過折面速度積分法得到了折面和SMO 管狀結構整體的動能.類似地,Soleimani等[97]在每個折面上建立局部坐標系,并推導折面上每個質點在局部坐標系中的位移分量,進而求出該質點處的速度分量并對折面積分求得整個結構的動能(圖7(b)).

在剛性可折假設下,折痕折疊時的彈性勢能是折紙結構整體勢能的重要組成部分,其可以被描述為折痕處扭轉剛度和相對折疊二面角的函數(shù).基于此,研究者們給出了waterbomb 折紙結構[74,104]和三浦折紙結構[34]的彈性勢能.折紙結構在構型變化時折面的質心相對高度會發(fā)生變化,從而改變重力勢能,但當前折紙結構動力學研究中對重力勢能的關注較少.例如,在計算waterbomb 折紙結構[74,104]和折紙輪結構[98]的勢能時,質心改變引起的重力勢能改變都被計算在內(nèi),但其對動力學行為的影響較小.

在基于廣義哈密頓原理建立折紙結構和折紙超材料的動力學模型時,非保守力對應的廣義力必須予以考慮.目前主要關注的是阻尼力、主動力和接觸力所對應的廣義力,他們通常都通過虛功原理得到.在動力學研究中,折紙結構和折紙超材料中的阻尼因素不可忽略.當前,主要考慮的阻尼類型有線性阻尼[74]、黏性阻尼[34,98,100,104-105]和比例阻尼[102].在動力學研究中,主動力也起著至關重要的作用,用以給系統(tǒng)提供外激勵或者改變初始構型.常見的外激勵形式包括:簡諧激勵[74,104-105]、沖擊力[98]和位移激勵[98,100]等.此外,為了限制系統(tǒng)的響應在一定范圍內(nèi),有些研究還給出了對應于幾何約束的廣義力[101,104-105].為了防止具有柔性的折面在運動過程中相互接觸,Yuan 等[102]還利用混合接觸模型定義了廣義接觸力.

基于廣義哈密頓原理的動力學建模方法充分考慮了折紙結構和折紙超材料本身的慣性、折面繞折痕的折疊運動、折面彈性形變等.模型推導中,根據(jù)折紙結構和折紙超材料是否保持剛性可折性,動能和勢能可以基于不同方法推導(例如剛體運動學關系、模型等效簡化、折面速度積分、實驗本構關系積分和有限元單元法等),得到的動力學模型較為完備.但是,相較于桁架等效模型和非線性彈簧等效模型,基于廣義哈密頓原理的動力學建模過程較為繁瑣,模型自由度明顯提高,造成計算復雜度較高,模型可處理性較低.此外,對于柔性特別顯著的折紙結構和折紙超材料,其變形與剛性折疊迥異,需要通過有限單元離散來實現(xiàn)建模;為了保證計算精度,通常離散的單元數(shù)目眾多,方法本質上已成為了有限元方法.

2.4 約束及接觸的處理

在對折紙結構和折紙超材料進行動力學建模時,折紙結構和折紙超材料的邊界連接方式、相鄰單胞間的幾何和運動學約束、非剛性折紙或非零厚度折紙結構中折面接觸與碰撞等問題常帶來許多挑戰(zhàn),值得深入研究.下面將對這幾個方向的研究進展作簡要介紹,其中部分工作雖未涉及動力學建模,但這些關于折紙結構邊界約束、折面厚度、折面接觸的研究對折紙結構精細化動力學建模具有重要的借鑒意義.

折紙結構和折紙超材料邊界處的約束方式對整體性能具有較大影響.Terada 等[106]對不同邊界條件下三浦折紙結構的實驗結果與有限元結果進行了比較.實驗中,將三浦折紙的短邊夾緊會增大靠近約束部位的單胞的剛度(圖8(a));約束在幾何上的不對稱性,也會對橫向方向剛度產(chǎn)生較大影響,因此有必要考慮約束的方向性.注意到,在上述非線性彈簧等效動力學建模中,通常僅考慮折紙結構沿一個方向的運動,因此邊界條件較為簡單,主要包含固定邊界、位移激勵邊界以及自由邊界3 種類型.而在空間桁架等效動力學建模和基于廣義哈密頓原理的動力學建模中,限制某些頂點的全部或部分方向的位移則是普遍的處理方法.

圖8 折紙結構和折紙超材料約束及折面接觸處理[102,106-107,110]Fig.8 Constraints and contact of origami structures and origami metamaterials

盡管剛性可折假設極大地簡化了折紙結構和折紙超材料的建模與分析,但是折紙結構和折紙超材料中常包含一些非剛性成分,并受到了越來越多研究者的關注.虛擬折痕就是一個最典型的例子,其將折面的彈性彎曲變形等效為兩個折面繞虛擬折痕的折疊變形.其次,不同折紙單胞之間的連接也常具有非剛性特征,并會對結構性能產(chǎn)生較大影響.Fang等[107]研究了兩個SMO 單胞在高度方向上堆疊形成的雙胞串聯(lián)結構,用額外的彈性勢能來表征兩個單胞間共享折痕處連接方式的差異(圖7(c)).對于理想折痕連接,附加彈簧的剛度為無窮大,兩單胞SMO 串聯(lián)結構退化為單自由度系統(tǒng);對于非理想折痕連接,附加彈簧的剛度為有限值;而對于剛性桿連接,附加彈簧的剛度為零,兩個單元的折疊變形完全獨立.研究表明,不同的附加彈簧剛度會顯著地改變雙胞串聯(lián)結構的力-位移本構關系,甚至實現(xiàn)機械二極管效應(圖8(b)).Wu 等[34]在考慮SMO 管狀結構不同單胞之間折疊差異時也用了類似的附加彈性勢能進行等效建模.Zhang 等[108]在研究折紙關節(jié)的非剛性連接問題時,基于板理論和扭轉彈簧模型預測了半剛性連接折紙關節(jié)的折疊剛度和彎曲變形.

在實際應用中,折紙材料的厚度是一個無法回避的問題.一方面,折紙結構和折紙超材料自身的質量會隨著材料厚度的增加而增大.另一方面,較低的折面厚度會引起折面柔度增加,加大折面彎曲和扭轉的可能性.此外,有厚度的折面在折疊到一定程度時也會引起折疊性能的改變,如折疊自鎖的發(fā)生條件會改變,引起分段剛度本構[30]等.當前已有不少研究開始關注材料的厚度對折紙結構和折紙超材料折疊變形和力學性能的影響,即厚板折紙研究.Yellowhorse 等[63]使用有限元模型對由厚板材料制成的剛性可折折紙管進行了結構優(yōu)化,討論了在不同長度下的對稱和非對稱管的力學性能.Zhang 和Kawaguchi[109]利用廣義逆理論研究了重力與折紙厚度共存時厚板折紙結構的折疊運動.Zirbel 等[110]提出了兩種方式來實現(xiàn)厚板折紙的物理建模,即允許折面沿對角線折疊或在折痕處添加指定寬度的薄膜襯墊(圖8(c));基于此建立的模型已在厚板可展開太陽帆板中予以驗證.Chen 等[111]提出了一種剛性厚板折紙結構的綜合運動學模型,通過空間連桿運動模擬剛性折紙的球面連桿機構,再現(xiàn)了與零厚度折紙相同的折疊運動.在計算方面,Zhu 和Filipov[112]提出可以通過調整折紙結構數(shù)值計算模型中的參數(shù)來模擬折面厚度對接觸的影響.

在真實折疊運動和折疊的數(shù)值仿真中,折面都有可能與其他折面或頂點發(fā)生接觸與碰撞,主要原因有以下幾方面.首先,在實驗中,某些折紙結構不具有可折平性,它們的剛性折疊過程會由于折面與折面的接觸而終止[30];由于材料厚度不可忽略,厚板折紙在折疊過程中的接觸與碰撞現(xiàn)象更容易發(fā)生,例如發(fā)生折面邊界與其他折面的接觸,兩個折面邊界的接觸等.其次,折紙結構的可折疊范圍有限,而數(shù)值計算模型無法避免這種情形,從而導致數(shù)值模型中折面與折面發(fā)生接觸與穿透,致使計算結果發(fā)散.針對這種情況,直接的解決辦法是在動力學方程中增加邊界約束力,如前文提到的與邊界約束相關的廣義力[104-105]用以限制系統(tǒng)響應范圍,表示為一個等效的彈性彈簧剛度,或者用運動學約束對限制進行表示,并寫成運動學約束的廣義力形式[101].折紙結構和折紙超材料折疊過程中頂點與折面或折面與折面之間的接觸碰撞問題也已經(jīng)引起了研究者的關注.Zhu 和Filipov[112]提出了一種在廣義折紙框架下模擬面板接觸的數(shù)值方法,用以分析接觸的發(fā)生和接觸引發(fā)的力學特性.具體地,在摩擦力不顯著的條件下,假設接觸力是保守的并對應于一個勢能函數(shù);因此,當頂點與折面非常接近時,接觸勢能將導致一個很大的內(nèi)力矢量和剛度矩陣;距離接近零時,內(nèi)力矢量和剛度矩陣都將趨向于無窮大,以防止穿透發(fā)生.Yuan 等[102]在研究折紙空間薄膜結構展開的動力學建模問題時,采用了基于絕對節(jié)點坐標法的三角膜單元來解決薄膜幾何非線性和折疊問題,并提出將折面-折面(surface-to-surface,STS)接觸單元和節(jié)點-折面(node-to-surface,NTS) 接觸單元(圖8(d)) 混合使用以提高接觸碰撞問題的計算精度.

2.5 幾何與物理參數(shù)辨識

盡管已經(jīng)提出許多折紙結構和折紙超材料的動力學建模方法,但注意到,這些建立的模型大多只能定性地預測和分析折紙結構的動力學行為,無法定量地與實驗結果進行比照.部分原因在于,折紙結構和折紙超材料的動力學行為與其物理參數(shù)和幾何參數(shù)息息相關.對剛性折疊而言,其力與位移本構關系主要與折痕的扭轉度剛度和相鄰折面間處于無應力狀態(tài)時的角度相關[107,113];而對非剛性折疊來說,還涉及到折面材料的拉伸、彎曲和剪切以及折痕的彎曲模量[83,114].遺憾的是,這些參數(shù)往往很難通過簡單的測量精確得到.沒有這些參數(shù)的準確信息,獲得精確的折紙結構和折紙超材料力學特性描述和動力學行為預測將變得十分困難.因此,識別折紙結構和折紙超材料的幾何和物理參數(shù)對于靜、動力學研究都具有重要意義.下面,對常見動力學參數(shù)辨識方法在折紙結構和折紙超材料上的適用性進行分析,并對已有的折紙結構和折紙超材料動力學參數(shù)辨識研究進行綜述.

折紙結構和折紙超材料常具有大變形和強幾何非線性等特征,會誘發(fā)復雜的動力學行為,給動力學參數(shù)辨識帶來困難.以剛性可折的雙穩(wěn)態(tài)SMO 結構為例,實驗中觀察到了包括小振幅阱內(nèi)振蕩、大振幅阱間穩(wěn)態(tài)響應和大振幅阱間混沌振蕩響應等[27].在相同的激勵條件下,雙穩(wěn)態(tài)SMO 結構有可能在不同初始條件下收斂到不同的穩(wěn)態(tài)響應.這樣的初始條件敏感性會加重現(xiàn)有的基于初值迭代的辨識方法的計算負擔[115-116].另一方面,折紙結構和折紙超材料常具有全局強幾何非線性,有可能誘發(fā)全局混沌響應,而動力學測量會不可避免地涉及噪聲,這使得在辨識過程中難以分離噪聲和混沌信號.一些傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)時域辨識方法依賴于離散數(shù)據(jù)和他們的高階導數(shù)來建立回歸矩陣[117],然后通過最小二乘方法,可以很方便地求解得到最優(yōu)辨識參數(shù).研究指出,在采樣時間趨于零的情況下,利用差分算子可以將連續(xù)時間系統(tǒng)等價為離散時間系統(tǒng),這使得前者也能像后者一樣擁有良好的回歸形式,取得高效的辨識結果[118].但是注意到該算法需要不斷對離散測量數(shù)據(jù)進行數(shù)值差分,將不可避免地導致噪聲放大,從而造成辨識結果偏差.由此,學者們提出了一系列降噪[119-121]和消除偏差[122]的方法,但考慮到雙穩(wěn)態(tài)SMO 結構對噪聲敏感且可以呈現(xiàn)混沌響應,簡單的濾波處理不再適用,需要考慮系統(tǒng)動力學行為來適當?shù)胤蛛x噪聲和混沌數(shù)據(jù),但這往往會顯著提高計算量.

避免數(shù)值差分引起的噪聲可以采用基函數(shù)辨識方法來解決.對測量數(shù)據(jù)的擬合或對擬合函數(shù)進行求導可以代替數(shù)值差分操作.基函數(shù)的選取對求導十分關鍵,對擬合精度過高的要求會導致求導時發(fā)生高頻低幅振蕩.通常而言對于周期數(shù)據(jù),傅里葉基函數(shù)[123-124]比較合適;而對于任意形式的數(shù)據(jù),B 樣條曲線[125-126]或者小波基函數(shù)[127]較常用.除了基函數(shù)的形式,基函數(shù)的個數(shù)也直接影響辨識結果:越多的基函數(shù)個數(shù)能更好地逼近測試數(shù)據(jù),但也同時逼近了測量噪聲,因此在求導運算中也更容易放大噪聲;而基函數(shù)個數(shù)較少則有可能丟失數(shù)據(jù)的一些關鍵特征[128].由此,學者們提出了逐步變量選擇和變量修剪方法[129],用來確定合理的基函數(shù)個數(shù).也有研究通過迭代的方式來修正過擬合的數(shù)據(jù)[125],這和濾波的效果較為相似.粗糙度懲罰也是解決該問題的常用方法之一[128],通過對擬合過程施加懲罰項,過擬合的粗糙特性將被削減,由此擬合函數(shù)將更加光滑,從而避免差分引起的噪聲問題.然而,懲罰程度如何選取又是一個需要解決的問題,常用的方式包括廣義交叉驗證[130],但會不可避免地帶來額外的計算量.

為平衡計算復雜度與辨識精度,針對雙穩(wěn)態(tài)SMO 結構所具有的強非線性、初始條件和測量噪聲敏感性等辨識難題,Liu 等[131]通過在時域內(nèi)應用B 樣條伽遼金有限元方法,提出了一種新的適用于全局強非線性折紙結構的參數(shù)辨識方法.該方法仍然采用B 樣條基函數(shù)構造全局解,但通過伽遼金弱解形式和分部積分消除了對擬合函數(shù)直接求導的操作.因此,該方法既不放大測量噪聲,又不增加計算量,具有適用范圍廣、效率高、魯棒性好等優(yōu)點.該方法成功辨識了SMO 結構處于無應力狀態(tài)時的折疊角、折痕剛度和阻尼系數(shù)等幾何與物理參數(shù),識別了SMO 結構的雙穩(wěn)態(tài)本構(圖9(a)),使得定量預測強非線性動力學響應成為可能.

圖9 折紙結構和折紙超材料的參數(shù)辨識和數(shù)據(jù)驅動動力學建模[131,140-141]Fig.9 Parameter identification and data-driven dynamic modeling of origami structures and origami metamaterials[131,140-141]

圖9 折紙結構和折紙超材料的參數(shù)辨識和數(shù)據(jù)驅動動力學建模[131,140-141] (續(xù))Fig.9 Parameter identification and data-driven dynamic modeling of origami structures and origami metamaterials[131,140-141] (continued)

當然,對于參數(shù)辨識,并沒有一種“一刀切”的方法.對于其他具有不同超常規(guī)特性的折紙結構和折紙超材料的幾何與物理參數(shù)辨識,仍需要定制相應的辨識方法.這方面的研究還處于初始階段,亟待發(fā)展.

2.6 基于數(shù)據(jù)驅動的動力學建模方法

基于模型的折紙結構和折紙超材料參數(shù)辨識方法依賴于預先給定的理論模型,然后基于實驗數(shù)據(jù)識別幾何和物理參數(shù).這樣得到的模型具有強可解釋性、易于開展參數(shù)分析等優(yōu)點.但是,許多折紙結構具有復雜的幾何構型和變形模式,例如非剛性折紙的折疊變形模式尚不清晰,就難以給出第一性原理模型(反應物理規(guī)律的模型).其次,折紙超材料往往由數(shù)目眾多的單胞構成,對每個單胞進行第一性原理建模將使模型過于復雜化,難以處理.再次,折紙結構和折紙超材料的大變形和幾何非線性特征容易誘發(fā)強非線性多穩(wěn)態(tài)和非光滑剛度跳躍等特性,對傳統(tǒng)參數(shù)辨識方法也提出了巨大挑戰(zhàn).為避免繁瑣的理論建模和復雜的參數(shù)辨識方法構建,以數(shù)據(jù)驅動的方式建立折紙結構的等效動力學模型逐漸得到關注.

數(shù)據(jù)驅動建模不同于依賴物理定律的第一性原理理論建模,它直接通過數(shù)據(jù)來建立等效力學模型.近年來,隨著數(shù)據(jù)科學和機器學習方法的飛速發(fā)展,可以借助它們來更好地理解復雜數(shù)據(jù),并基于完備的模型庫提取最簡模型形式.當前,數(shù)據(jù)驅動的靜力學建模方法已經(jīng)取得了重要進展,但從大數(shù)據(jù)中提取動力學模型的研究才剛起步,并受到了廣泛關注.

基于數(shù)據(jù)的動力學建模方法可以追溯到開普勒和牛頓時期.應用大量精確觀測的行星運行數(shù)據(jù),開普勒建立了數(shù)據(jù)驅動的行星運行模型,即著名的橢圓軌道模型.近年來,基于觀測數(shù)據(jù)提取非線性動力學模型的方法取得了一定突破,Bongard 和Lipson[132]以及Schmidt 和Lipson[133]利用符號回歸[134]來發(fā)現(xiàn)非線性微分方程形式,同時平衡了模型復雜度、測量數(shù)目和模型精度之間的矛盾.但是,符號回歸計算代價昂貴,并不適用于高維模型,且十分容易過擬合.Brunton 等[135-136]應用稀疏回歸方法重構了混沌洛倫茲系統(tǒng)、繞障渦流方程和參數(shù)化系統(tǒng)的動力學模型,證明了該方法對常微分方程、偏微分方程、分岔和流形等問題的有效性.

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(ANN)[137-138]模擬人腦神經(jīng)元的運行方式,可以對復雜的輸入輸出數(shù)據(jù)進行學習處理,近年來成為人工智能領域的研究熱點.神經(jīng)網(wǎng)絡十分適合用于建立復雜非線性系統(tǒng)的等效模型[139].Yasuda 等[140]利用準靜態(tài)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡建立了雙穩(wěn)態(tài)Kresling 折紙結構的數(shù)據(jù)驅動動力學模型,并成功預測了結構的混沌響應(圖9(b)).該方法不需要對非剛性可折的Kresling 折紙結構進行理論建模,而直接通過數(shù)據(jù)驅動的方式建立模型并預測動力學響應;另一方面,通過對網(wǎng)絡隱藏層的分析,該方法可以用來理解所建立的數(shù)據(jù)驅動模型對不同類型信號的處理過程.

另一方面,類似人類的推理過程,模糊邏輯以一種可解釋性的方式來表現(xiàn)模糊和不精確信息.神經(jīng)網(wǎng)絡和模糊邏輯的混合使用綜合了ANN 的“學習”和“普遍逼近”的優(yōu)點以及模糊邏輯的“可解釋”的優(yōu)點,有希望用于建立具有可解釋性的數(shù)據(jù)驅動動力學模型.針對具有非光滑分段剛度本構的自鎖折紙結構[30],Liu 等[141]基于分段線性假設,構建了一個物理可解釋的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡來關聯(lián)自鎖折紙結構的激勵和動力學響應數(shù)據(jù).該方法所構造的神經(jīng)網(wǎng)絡模型參數(shù)和實際自鎖折紙結構參數(shù)一一對應,具有較強的物理可解釋性:神經(jīng)元數(shù)目與自鎖折紙結構剛度本構的分段數(shù)目相關聯(lián),局部線性模型的系數(shù)與剛度本構的參數(shù)相關聯(lián),有效性函數(shù)與非光滑點的位置相關聯(lián) (圖9(c)).

折紙結構和折紙超材料的數(shù)據(jù)驅動動力學建模是近年來新興的研究領域,目前還處于個例分析階段,更加通用的建模方法還有待研究.

3 動力學分析與實驗測試

折紙結構和折紙超材料的動力學研究方法主要包括:基于模型的動力學分析方法、有限元計算方法和動力學實驗方法.對折紙結構和折紙超材料進行動力學分析與測試是為了揭示由折疊誘發(fā)的動力學特性,進而為折紙結構的設計與優(yōu)化提供依據(jù).本節(jié)對上述3 個方面的研究進展進行綜述.

3.1 基于模型的動力學分析

第2 節(jié)建立的動力學方程通常具有常微分方程(組)(ODEs)或微分代數(shù)方程(組)(DAEs)的形式,因而可以基于各種解析與數(shù)值方法進行定性分析和定量求解.例如Han 等[104]在考慮waterbomb 折紙結構在平衡位置附近的小振動時,對動力學方程進行了泰勒級數(shù)展開與線性化處理.Zhang 等[101]通過定義非線性殘差及泰勒展開,利用Newton-Raphson迭代法對三浦折紙結構進行了線性化.研究頻率成分相關問題時,Yasuda 等[94]利用二維快速傅里葉變換(FFT)分析了Kresling 折紙超材料作為波傳播媒介時波數(shù)與頻率的關系,Fang 等[27]應用FFT 分析了雙穩(wěn)態(tài)SMO 結構動力學響應主頻率分量的位移傳遞率.在數(shù)值求解方法方面,除了廣泛使用的各種類型ODE 求解器,一些不常見的數(shù)值求解方法也得到了應用.例如,在處理空間可折疊薄膜的展開問題時,變步長廣義-α算法被用來求解帶有約束的多體系統(tǒng),其動力學方程形式為微分指數(shù)為3 的DAEs[102];Soleimani 等[97]將折紙和剪紙結構中折痕折疊描述為偏微分方程組(PDEs),廣義微分求積法(GDQ)可以基于函數(shù)值在整個域的指定節(jié)點上的加權線性組合來近似導數(shù),被用來數(shù)值求解耦合偏微分方程組.

就研究內(nèi)容而言,折紙結構和折紙超材料動力學研究主要關注固有頻率與特征值、穩(wěn)態(tài)動力學和瞬態(tài)動力學3 個方面.下面分別介紹進展.折紙結構和折紙超材料在穩(wěn)定平衡構型處的固有頻率是重要的動力學特征.Sadeghi 和Li[74]利用頻閃采樣研究了waterbomb 折紙結構在兩個穩(wěn)定平衡構型附近的阱內(nèi)共振頻率(圖10(a)).邱海和方虹斌等[96]研究了SMO 雙胞串聯(lián)結構在4 個穩(wěn)定構型處的固有頻率特征.此外也有研究關注折紙結構在參數(shù)改變或構型改變時動力學特性的變化,如Han 等[104]在對多穩(wěn)態(tài)waterbomb 折紙結構的動力學方程進行線性化處理的基礎上,考慮了穩(wěn)定構型附近的小振幅振動問題,分析了固有頻率及平衡點的分岔問題;Xia等[100]通過對三浦折紙薄板進行特征值分析,明確了固有頻率隨展開過程的變化.

折紙結構和折紙超材料的穩(wěn)態(tài)動力學響應主要分為3 類:第1 類是簡諧位移激勵下的強迫響應,一般用位移傳遞率(輸出與輸入信號的均方根(RMS)值之比)來表示.折紙結構和折紙超材料的穩(wěn)態(tài)響應可以通過不同方法進行求解,例如Han 等[103]在預測三浦折紙管狀結構準零剛度隔振器的動態(tài)性能時使用的泰勒級數(shù)逼近非線性項和平均法;Yasuda等[94]在求解TMP 單胞頻響關系時的射擊法(shooting method)等;Fang 等[27]在分析SMO 單胞、SMO 雙胞串聯(lián)結構[96]、耦合有磁鐵的SMO 單胞[87](圖10(b))的頻響關系時采用的離散頻率掃描方法等.第2 類則是折紙結構和折紙超材料在外激勵下的非線性動力學行為,包括穩(wěn)定性、分岔和混沌等.例如,Rodrigues 等[105]和Han 等[104]研究了waterbomb 折紙結構在熱場和機械激勵下的復雜非線性動力學行為;邱海等[96]對SMO 雙胞串聯(lián)結構進行了吸引盆分析,研究了初始條件對動力學行為的影響,并用吸引盆穩(wěn)定性 (basin stability)指標來衡量不同激勵幅值下結構動力學特性的演變.第3 類是色散分析,包括波在SMO 超材料中的帶隙特征和超傳遞行為[38],TMP 折紙超材料中波數(shù)與頻率的關系[94](圖10(c))等.

圖10 基于模型的折紙結構動力學分析方法[34,36,74,87,94]Fig.10 Model-based dynamic analysis methods of origami structures[34,36,74,87,94]

折紙結構和折紙超材料的瞬態(tài)動力學響應包括在沖擊力下的瞬態(tài)動力學行為、自由展開和受控展開的瞬態(tài)動力學行為、構型動態(tài)切換行為,以及自由衰減振動響應四種類型.沖擊力下的瞬態(tài)動力學主要研究沖擊波在折紙結構和折紙超材料中的傳播速度與衰減.例如,不同幅度沖擊力下TMP 折紙超材料中壓縮應變波和拉伸應變波的傳播[92],TMP 折紙鏈式結構中稀疏波的存在性和穩(wěn)定性[92],以及Kresling 折紙超材料在壓縮沖擊下不同單元的應變[89]等.折紙結構和折紙超材料的展開動力學研究分為自由展開和受控展開.自由展開是指折紙結構在一端受到約束,而另一端在約束釋放后的自由展開行為.吳海平和方虹斌等研究了三浦折紙管狀結構在自由展開過程中由非剛性折疊誘發(fā)的軸向和橫向方向上的瞬態(tài)動力學行為[34](圖10(d));Kidambi 和Wang[33]研究了Kresling 折紙結構在軸向和離軸方向自由展開時的瞬態(tài)動力學響應.受控展開是指折紙結構在一端受到約束,另一端在指定速度下的展開行為.Zhang 等[101]研究了可折疊板結構從折疊狀態(tài)到完全展開狀態(tài)的整個動態(tài)展開過程.展開的瞬態(tài)動力學行為常關注以下指標:展開的穩(wěn)定時間(settling time)和超調量(overshoot)[34]、節(jié)點之間的偏差長度[100]、von Mises 應力分布[102]等.

構型動態(tài)切換是指折紙結構和折紙超材料在動態(tài)過程中越過能障,發(fā)生穩(wěn)態(tài)構型切換的行為,如在不同的阱內(nèi)共振頻率下waterbomb 折紙結構在不同穩(wěn)態(tài)構型間的快速跳躍[74],三浦折紙結構通過展平狀態(tài)時的動態(tài)切換[36](圖10(e)).折紙結構和折紙超材料的自由衰減振動通常由外界擾動、非穩(wěn)定初始條件、平衡位置改變所誘發(fā),例如熱載荷下折紙支架結構的自由振動響應[105],不同初始條件下waterbomb 折紙結構的有阻尼自由振動[104],以及在外部微擾動下含有折紙輪的機器人系統(tǒng)的瞬態(tài)動力學行為[98].

3.2 有限元計算

對于真實的折紙結構和折紙超材料,尤其是當剛性可折性不滿足時,折面和折痕的彈性變形將不可忽略,他們的折疊行為也非常復雜,這使得基于運動學和力學原理的建模變得較為困難.基于非線性彈簧和空間桁架的等效動力學模型雖然為動力學分析提供了一定的可行性,但是這些模型無法精確描述折紙結構和折紙超材料的真實折疊行為,更無法對折面和折痕的應變和應力分布等做出刻畫.面對這一挑戰(zhàn)性難題,采用有限元軟件(例如Abaqus 和ANSYS)對折紙結構和折紙超材料進行建模和分析并與實驗結果進行比對成為一種可行選擇[142-144].在建立有限元模型時,常采用的單元類型為:桿單元、4 頂點/3 頂點殼單元和四面體實體單元.如采用桿單元時,通常將折紙結構視為空間桁架進行分析,例如Cai 等[78]和Chen 等[145]分別利用Abaqus 建立了Kresling 折紙結構和三浦折紙結構的桿單元有限元模型并分析在折疊過程中各桿的受力情況(圖11(a)).基于桿單元的有限元模型雖然較為簡單,但無法體現(xiàn)折紙結構的面內(nèi)變形情況,因此學者們開始采用殼單元和實體單元進行建模.例如,Yang 等[146]和Song 等[147]建立了多種管狀折紙結構的殼單元有限元模型并分析了它們的受壓和吸能特性,建模中不對折痕作額外處理而僅設置初始折疊角度;Du 等[143]和Hu 等[148]分別對曲線折痕折紙結構和三浦折紙結構建立了殼單元模型(圖11(b)),并將折痕建模為帶剛度的彈性鉸,進而研究了折紙結構在折疊時產(chǎn)生的恢復力.對于實體單元有限元模型,一般是直接將折紙結構的CAD 模型導入有限元軟件后利用四面體實體單元進行網(wǎng)格劃分.例如Fang 等[30]建立了自鎖折紙結構的實體單元有限元模型(圖11(c)),其中折痕處的材料厚度小于折面的厚度,因此結構可以在給定載荷下沿著預先設計好的折痕進行折疊,并分析由于折面接觸導致的自鎖所引起的剛度跳躍行為.Sane 等[149]建立了三浦折紙管狀結構的實體單元有限元模型,并對折痕做了相似的消減厚度的處理,而后分析了內(nèi)部充氣氣壓對結構整體變形率的影響.

圖11 基于不同單元類型的折紙結構有限元模型[30,78,148]Fig.11 FE models of origami structures based on different types of elements[30,78,148]

3.3 動力學實驗

折紙結構和折紙超材料動力學實驗的主要目的是為了定性或定量地驗證動力學模型和數(shù)值計算的準確性.具體地,實驗研究可以分為以下3 類:(1)施加周期性外部激勵以研究折紙結構和折紙超材料的穩(wěn)態(tài)動力學性能;(2)自由和受控展開實驗以研究瞬態(tài)展開動力學性能;(3)沖擊實驗以研究抗沖擊和能量吸收能力.

對于第1 類實驗研究,折紙結構和折紙超材料通常與激振器相連,通過激光位移傳感器、加速度傳感器、高速相機等獲得折紙結構和折紙超材料在周期性外激勵作用下的位移(或速度、加速度)-時間歷程數(shù)據(jù),進而在時域或頻域內(nèi)對信號作分析以獲得穩(wěn)態(tài)動力學特性.例如,Fang 等[27]通過激振器對雙穩(wěn)態(tài)SMO 結構施加了簡諧位移激勵(圖12(a)),利用激光測振儀獲得了其位移-時間歷程數(shù)據(jù),通過離散掃頻并基于FFT 得到了雙穩(wěn)態(tài)SMO 結構的頻響關系.為了避免重力的影響,SMO 結構整體通過懸吊法固定;為了在同一激勵條件下捕獲所有可能穩(wěn)態(tài)動力學響應,通過敲擊實現(xiàn)初始條件的改變以切換穩(wěn)態(tài)響應.另一個具有代表性的工作來自于Yasuda等[39],他們對Kresling 折紙超材料開展了波動力學測試(圖12(b)),利用高速相機記錄了Kresling 折紙超材料在周期性位移激勵下各單元的位移-時間數(shù)據(jù),從而明確了其波傳播特性.

對于第2 類實驗,通常將折紙結構和折紙超材料的一端固定,通過預壓的方式儲存勢能,另一端自由釋放或受控釋放,通過高速相機等獲取折紙結構和折紙超材料的位移-時間歷程數(shù)據(jù),從而明確其瞬態(tài)展開動力學特性.例如,Wu 等[34]通過類似方法記錄了三浦折紙管狀結構自由展開時各個標定點的位置,從而明確了其在展開方向和橫向方向的瞬態(tài)動力學特性(圖12(c)).Sadeghi 等[150]將TMP 折紙結構放置在水平面上,將其沿高度方向壓縮后自由釋放,利用高速相機記錄了其在跳躍過程中的運動軌跡,進而分析了其非線性剛度對跳躍性能的影響.

圖12 折紙結構和折紙超材料動力學實驗[27,34,39,151]Fig.12 Dynamic experiment of origami structures and origami metamaterials[27,34,39,151]

對于第3 類實驗,通常是將折紙結構和折紙超材料置于沖擊試驗機上進行測試,利用試驗機自身的力位移傳感器或高速攝像機記錄沖擊發(fā)生時的力-位移-時間歷程數(shù)據(jù)和變形情況,進而分析結構的吸能特性.例如,Xiang 等[151]利用分離式霍普金森壓桿(SHPB)實驗系統(tǒng)測試了SMO 超材料在不同速度沖擊載荷下的行為,并通過高速攝像機記錄試樣變形情況,進而分析結構的吸能特性(圖12(d)).Kshad 等[152]利用落錘沖擊試驗機對由碳納米纖維增強復合材料制成的三浦折紙結構進行沖擊測試,并利用動載荷傳感器記錄力的數(shù)據(jù),以分析三浦折紙結構的能量傳遞特性.Elsayed 等[153]利用Instron沖擊試驗機對由牛皮紙制作的多層三浦折紙結構進行了沖擊測試,得到了沖擊力和能量相對于位移變化的數(shù)據(jù),分析了三浦折紙結構在3 個方向的吸能特性.

4 折疊誘發(fā)的動力學行為

折疊是折紙結構和折紙超材料的主要變形特征,也是其超常規(guī)靜力學和運動學特性(1.4 節(jié))的主要來源.在動力學環(huán)境下,這些超常規(guī)靜力學和運動學特性也會誘發(fā)獨特的動力學行為,包括雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)動力學行為、可編程剛度相關的動力學行為、折疊展開瞬態(tài)動力學行為和折紙超材料波動力學行為.下面,從這4 方面進行綜述.

4.1 雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)動力學行為

當折紙結構和折紙超材料具有兩個及以上的穩(wěn)定構型(對應于穩(wěn)定平衡點),且不需要外力就可以維持其穩(wěn)定構型,則被認為是多穩(wěn)態(tài)的.折紙結構和折紙超材料的多個穩(wěn)定構型對應于勢能超曲面上的多個局部極小值.從動力系統(tǒng)角度來看,多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的兩個穩(wěn)定平衡點之間必然存在著一個不穩(wěn)定平衡點.因此,對于多穩(wěn)態(tài)折紙結構和折紙超材料而言,其穩(wěn)定構型間也必然存在著一個不穩(wěn)定臨界構型(對應于不穩(wěn)定平衡點).

折紙結構和折紙超材料在不同的穩(wěn)定構型處常具有不同的動力學特性.例如,waterbomb 折紙結構在不同穩(wěn)定構型處具有不同的切線剛度,使得不同的小振幅阱內(nèi)振動呈現(xiàn)出不同的共振頻率[74,96],進而改變折紙超材料整體的帶隙特征[38]和瞬態(tài)展開行為[34].將折紙結構和折紙超材料從一個穩(wěn)定構型切換至另一個穩(wěn)定構型時,必然要經(jīng)過不穩(wěn)定的臨界構型.在通過該不穩(wěn)定臨界構型時,折紙結構和折紙超材料會發(fā)生快速的突彈跳躍(snap-through)行為,并在力-位移本構關系上表現(xiàn)為負剛度特征.這種突彈跳躍切換可以通過內(nèi)部壓力[154]或外界簡諧激勵[27]等方式觸發(fā).事實上,負剛度特征在多穩(wěn)態(tài)折紙結構和折紙超材料中廣泛存在.通過改變折紙結構內(nèi)部壓力可以將負剛度調整為準零剛度,其在低頻隔振上有著很好的效果[18,155].

在外界激勵作用下,雙穩(wěn)態(tài)這一全局強非線性可以誘發(fā)出豐富的動力學行為.例如,對雙穩(wěn)態(tài)SMO 結構施加不同頻率和幅值的位移激勵,可以觀察到多種復雜動力學響應,包括圍繞不同平衡點的小振幅阱內(nèi)振動,以及圍繞多個平衡點的大振幅阱間振動.FFT 分析表明,這些振動可以與外激勵保持相同的頻率,也可以是亞諧(sub-harmonic)和超諧(super-harmonic)的,甚至是混沌(chaotic)的[27,96](圖13(a)).此外,對應于不同的響應類型,雙穩(wěn)態(tài)折紙結構的輸入與輸出的位移和能量傳遞率可以表現(xiàn)出很大的差別[27,38,87,103].

多穩(wěn)態(tài)也使得折紙結構和折紙超材料的穩(wěn)態(tài)動力學響應具有顯著的初始和外激勵條件敏感性.例如,雙穩(wěn)態(tài)SMO 結構可以在相同的激勵條件下呈現(xiàn)定性不同的穩(wěn)態(tài)響應,且可以通過調整初始條件(例如敲擊)實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)響應的切換[27].吸引盆為同一激勵條件下穩(wěn)態(tài)響應的切換提供了參考依據(jù),而吸引盆穩(wěn)定性[156]則進一步明確了某一穩(wěn)態(tài)響應的出現(xiàn)概率隨結構和激勵參數(shù)演化的規(guī)律[96].此外,通過觸發(fā)waterbomb 折紙結構在穩(wěn)定構型處的共振頻率,可以用遠小于準靜態(tài)臨界力的激勵幅值實現(xiàn)不同阱內(nèi)振動的相互切換[74](圖13(b)).

在折疊展開過程中,折紙結構和折紙超材料的最終穩(wěn)定構型由能障(energy barrier)與其儲存能量或外界輸入能量的大小關系決定[33,36].通過調整幾何設計和剛度布置[27],或通過嵌入磁鐵[87]、調整內(nèi)部壓力[154](圖13(c))等方式,可以改變折紙結構和折紙超材料的勢能本構,進而實現(xiàn)對多穩(wěn)態(tài)特性的定性和定量調控.例如,在磁鐵作用下,SMO 結構可以在單穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)之間切換,從而定性地改變其頻響關系[87].

圖13 折紙結構和折紙超材料中的雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)動力學行為[74,96,154]Fig.13 Bistable and multi-stable dynamics of origami structures and origami metamaterials[74,96,154]

圖13 折紙結構和折紙超材料中的雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)動力學行為[74,96,154] (續(xù))Fig.13 Bistable and multi-stable dynamics of origami structures and origami metamaterials[74,96,154] (continued)

4.2 可調剛度相關的動力學行為

如1.4 節(jié)所述,折紙結構和折紙超材料具有獨特的剛度可調性和可編程性,來源于其折疊行為、自鎖和多穩(wěn)態(tài)構型切換、外界部件和作動等.剛度的可調性也使得折紙結構和折紙超材料的動力學行為具備了一定的可調性.這里,由雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)帶來的剛度可調性及相關動力學特性的可調性不再贅述(見4.1 節(jié)).

自鎖也是調節(jié)折紙結構和折紙超材料剛度的重要方式之一.Fang 等[30]提出可以通過構成單胞的受控自鎖來調節(jié)折紙超材料整體的剛度,從而實現(xiàn)幅值顯著不同的兩類動力學響應;其中一類響應的幅值在非共振的寬頻帶內(nèi)明顯高于對應的線性系統(tǒng),而在共振帶內(nèi)則顯著低于線性系統(tǒng)(圖14(a)).

此外,通過外界部件和外界作動也可以有效地調節(jié)折紙結構和折紙超材料的剛度,進而實現(xiàn)動力學特性的可調性.例如,通過調整折紙結構內(nèi)部壓力,可以達到構型切換和剛度控制的目的;內(nèi)部壓力和折痕彈性引起的勢能相互作用,還可以使折紙結構呈現(xiàn)出準零剛度,有希望用于隔振器的設計[18,155].研究還發(fā)現(xiàn)加壓流體折紙結構具有獨特的非對稱準零剛度特性,顯著提高了低頻大振幅條件下的振動隔離效果(圖14(b)),且可以通過調節(jié)內(nèi)部壓力以適應靜載荷的變化[18].

圖14 折疊誘發(fā)的可編程剛度相關動力學行為[18,30]Fig.14 Programmable stiffness-dependent dynamics induced by folding[18,30]

4.3 瞬態(tài)動力學行為

折紙結構和折紙超材料在開發(fā)可展開結構、能量吸收裝置等方面具有巨大潛力.對于真實的折紙結構和折紙超材料而言,折疊展開本質上是一個動力學過程,且動力學展開過程與運動學展開過程存在顯著差異,需要額外關注.例如Zhang 等[101]模擬了可折疊板結構從折疊狀態(tài)到完全展開狀態(tài)的整個動態(tài)展開過程,發(fā)現(xiàn)動力學展開比運動學展開經(jīng)歷了更多的波動.當前折紙結構和折紙超材料瞬態(tài)動力學研究的主要關注點有3 個方面:(1)折紙結構和折紙超材料折疊展開過程中沿展開方向與橫向方向上的瞬態(tài)振動;(2)薄膜類折紙結構展開過程中的應力集中等行為;(3)折紙結構和折紙超材料在沖擊載荷下的瞬態(tài)動力學行為.

折疊展開過程中,展開方向及橫向方向瞬態(tài)振動常通過穩(wěn)定時間和最大振動幅值等關鍵參數(shù)予以表征.Kidambi 和Wang[33,157]基于Kresling 折紙結構的6 自由度等效動力學模型研究發(fā)現(xiàn):通過調整幾何設計參數(shù),Kresling 折紙結構可以在單穩(wěn)態(tài)、非對稱雙穩(wěn)態(tài)和對稱雙穩(wěn)態(tài)之間切換.對于單穩(wěn)態(tài)結構,可以將其壓縮至緊湊狀態(tài)后釋放約束以實現(xiàn)展開;對于雙穩(wěn)態(tài)結構,要求初始儲存的能量足夠大以克服兩個穩(wěn)態(tài)間的能障才能實現(xiàn)展開;對于離軸(offaxis) 運動,因其最低固有頻率明顯高于軸向運動(圖15(a)),使得離軸擾動會更快消散.Chen 等[158]提出了基于彈性flasher 折紙結構和剪刀機構的太陽能電池板陣列,并建立了黏彈性本構模型以預測自膨脹展開行為,其包括兩個階段:旋轉與環(huán)向膨脹.Wu 等[34]分析了預壓縮SMO 管狀結構自由展開的瞬態(tài)動力學行為.動力學實驗表明除了在展開方向,SMO 管狀結構在橫向方向上也存在明顯的瞬態(tài)振動,其無法通過基于剛性折疊的運動學模型予以描述.研究還進一步明確了幾何和物理參數(shù)對瞬態(tài)振動的超調量和穩(wěn)定時間的影響.Xia 等[100,159]研究了三浦折紙薄板的自由展開和恒定速度受控展開,在展開過程中,除了沿展開方向的收縮和膨脹,三浦折紙薄板的折面會發(fā)生明顯的彎曲和拉伸變形,并在橫向方向出現(xiàn)明顯的瞬態(tài)振動.注意到,展開順序及橫向振動的形式與受控展開的速度密切相關.當速度較快時,三浦折紙薄板的受控端單元會首先展開(圖15(b));當速度較慢時,三浦折紙薄板中央的單元會首先展開.

薄膜類折紙結構在展開過程中會頻繁地遇到折面接觸碰撞、應力集中、展開平整度等問題.事實上,薄膜折痕處的力學特性極其復雜.Deboeuf 等[160]指出,薄片的褶皺行為和折疊行為從表面上看具有顯著差異,但它們存在一定相似性.Deboeuf 等研究發(fā)現(xiàn),折疊和褶皺產(chǎn)生剛度具有相同的機理,因而折疊的模型可以捕捉褶皺的主要特征;褶皺具有分層特征,類似于多次折疊.Yuan 等[102]考慮了leaf-in 折紙薄膜結構的受控展開問題,分析了膜單元邊界和膜單元內(nèi)部的穿透現(xiàn)象、部分區(qū)域的褶皺現(xiàn)象以及完全張緊時的應力集中現(xiàn)象(圖15(c)).Cai 等[161]利用有限元軟件Abaqus 對三浦折紙膜結構的展開進行了仿真模擬,并基于光滑度指數(shù)和完全展開狀態(tài)下的最大Mises 應力這兩個指標評估了加載節(jié)點、加載時間和邊界形狀等因素對展開的影響.研究發(fā)現(xiàn),增加加載節(jié)點數(shù)目可以有效地降低完全展開狀態(tài)時的光滑度指數(shù)和最大Mises 應力,但多節(jié)點加載有可能引起應力集中.Bhuiyan 等[162-163]使用多體動力學(MBD)仿真軟件創(chuàng)建了flasher 折紙結構的動力學模型,分析了其展開時間、折紙結構中折痕處的力和力矩、折面彎曲角度和剛性可折性等.研究發(fā)現(xiàn),當引入板內(nèi)節(jié)點時,模型具有剛性可折性,且板內(nèi)節(jié)點在展開過程中可以旋轉達到10°～ 35°.

由于具有獨特的可控坍塌模式這一優(yōu)點[164],折紙結構和折紙超材料常用于開發(fā)吸能材料和吸能結構,并受到越來越多的關注.例如,Kshad 和Naguib[144]觀察到三浦折紙三明治芯(miura-ori sandwich core)結構發(fā)生斷裂時,折痕會先失效(圖15(d)),而折面則呈現(xiàn)剛體旋轉運動.利用這種特性,Yuan 等[165]提出可以通過預先設計折痕以調控汽車保險杠在沖擊發(fā)生時的失效模式.沖擊載荷下折紙結構和折紙超材料的瞬態(tài)動力學常關注兩個指標:能量吸收能力和力峰值.為實現(xiàn)沖擊載荷下能量吸收的最大化及力峰值的最小化,許多研究從形狀優(yōu)化[62]、折疊角度設計[166]和材料功能梯度配置[37]等方面開展了數(shù)值和實驗研究.在折紙箱薄壁管的沖擊實驗研究中,Zhou 等[167]觀察到了3 種坍塌模式,包括完整菱形模式、局部屈曲模式和對稱模式.實驗結果表明,完全菱形模式的能量吸收效率最高,而對稱模式的能量吸收效率最低.

圖15 折紙結構和折紙超材料展開瞬態(tài)動力學行為[33,102,144,159]Fig.15 Transient dynamic behaviors of origami structures and origami metamaterials during deployment[33,102,144,159]

沖擊載荷下折紙結構和折紙超材料瞬態(tài)動力學的另一個研究方向是沖擊波的傳播與衰減.

4.4 折紙超材料波動力學行為

折紙超材料還可以作為波傳播的媒介,折紙結構單胞自身的可折疊、多穩(wěn)態(tài)等特性有可能賦予折紙超材料整體出色的波動力學特性.通常,折紙超材料由數(shù)目眾多的折紙結構單胞構成,人們主要關注波經(jīng)過折紙超材料后的輸出特性(例如,波傳播速度、帶隙特征、傳遞率等),而對構成單胞自身的動力學行為并不感興趣.對于由單個或數(shù)目較少的折紙結構單胞構成的系統(tǒng),可以采用解析或數(shù)值方法求解常微分方程,明確每個單胞的動力學行為.而對于由無窮多折紙結構單胞構成的超材料,傳統(tǒng)的動力學分析和計算方法面臨著自由度高、效率低等局限,而波動力學分析方法,例如線性色散分析、偏微分方程求解等,可以高效地給出折紙超材料中的波傳播特性,具有顯著優(yōu)勢.

目前,波動力學研究主要關注波在折紙超材料中的傳播與衰減(圖16(a)).例如,不同幅度沖擊力下TMP 折紙超材料中壓縮應變波及拉伸應變波的傳播速度,以及TMP 折紙超材料中稀疏孤波的存在性和動力穩(wěn)定性[92],同構及異構TMP 折紙超材料的可調諧波動特性[94].Yasuda 和Yang 等[89]也研究了Kresling 折紙超材料的帶隙特征以及壓縮沖擊波在超材料中的傳播(圖16(b))[39].實驗和數(shù)值研究發(fā)現(xiàn),在具有應變軟化特征的Kresling 折紙超材料中,壓縮沖擊產(chǎn)生的壓縮應變波會被稀疏孤波所替代,使得后續(xù)的Kresling 折紙結構單胞經(jīng)歷拉伸應變,而不是壓縮應變,有希望用于開發(fā)可重復使用的減震系統(tǒng).Nanda 和Karami[168]以及Xu 等[169-170]研究了一種簡單的一維可折疊超材料,數(shù)值計算和實驗測試表明,可以通過改變每個折痕的折疊角度來調控超材料整體的帶隙分布(圖16(c)).Zhang 等[38]研究了由雙穩(wěn)態(tài)SMO 單胞構成的超材料的帶隙特征.研究發(fā)現(xiàn),通過切換SMO 單胞的構型,超材料整體的帶隙會發(fā)生定性改變,這賦予了超材料帶隙的在線可調性.值得注意的是,上述兩類研究中對折紙超材料施加的均為小幅值位移激勵,折紙超材料的可折疊大變形特征以及相關的超常規(guī)力學特性并沒有得到利用.因此,針對SMO 超材料,Zhang 等進一步研究了當位移激勵幅值增大時超材料中的波傳播(圖16(d))[38].數(shù)值研究表明,盡管激勵頻率處于禁帶之中,但當激勵幅值逐漸增大并超過臨界值時,SMO 超材料將出現(xiàn)超傳遞(supra-transmission)現(xiàn)象.超傳遞是由SMO 單胞固有的雙穩(wěn)態(tài)特性誘發(fā)的突彈跳躍所引起的,其可以通過注入能量(injected energy)、發(fā)生構型切換的單胞數(shù)目、單胞的相對振幅等指標予以體現(xiàn).當超傳遞發(fā)生時,振動不會在超材料中衰減,而是持續(xù)維持.此外,也可以通過切換SMO 單胞的構型實現(xiàn)對超傳遞發(fā)生的臨界位移激勵幅值進行調控.

圖16 折紙結構和折紙超材料波動力學行為[38-39,92,169]Fig.16 Wave dynamic behavior of origami structures and origami metamaterials[38-39,92,169]

另一類波動力學研究中,波并非在折紙超材料中傳播,而是在與其相連接的結構中進行傳播.折疊引起的構型改變以及相關的非常規(guī)力學特性可以定性和定量地改變與之相連結構的拓撲特性和波動力學特性,進而影響波在其中的傳遞.例如,在梁和板上布置雙穩(wěn)態(tài)Kresling 折紙結構陣列可以形成一維和二維超材料,通過調整Kresling 折紙結構的幾何設計或切換其構型,可以有效調控超材料整體的帶隙[171].Thota 等[172-173]提出了一種由三浦折紙結構引導的圓管陣列聲子系統(tǒng),三浦折紙結構的折疊變形可以改變圓管陣列的固有對稱性特征和晶格類型,從而改變帶隙特征并實現(xiàn)可調控波導.

5 折紙結構和折紙超材料動力學應用潛力

折紙結構和折紙超材料具有出色的運動學、靜力學和動力學特性,它們在許多工程領域都受到了廣泛的關注.目前,折紙結構和折紙超材料的動力學應用主要還停留在實驗室原型驗證階段,真正用于實際工程的案例還不多,但正在不斷拓展.本節(jié)重點介紹折紙結構和折紙超材料在動力學方面的應用潛力.

5.1 折紙啟發(fā)的隔振和能量吸收裝置

折紙結構和折紙超材料常具有折疊大變形和剛度可調等特性,因此在隔振和能量吸收方面展現(xiàn)出了極大的應用前景.折紙結構隔振通常利用了折紙結構的剛度可調特性使得振動在一定范圍內(nèi)被衰減,隔振的效果常通過位移傳遞率來評估.目前,已有學者提出了基于折紙結構的準零剛度隔振器,其對于低頻振動具有較好的隔離效果.例如,Inamoto和Ishida[174]設計了Kresling 折紙結構啟發(fā)的準零剛度隔振器(圖17(a)).該隔振器可以通過調整連桿的角度以及中心軸與彈簧間的間隙實現(xiàn)對靜承載能力的調整.動力學實驗結果表明,當振動的加速度幅值較大時,該隔振器可以有效隔離2 Hz 以上的振動(傳遞率小于1.0),而在2 Hz 以下,傳遞率將大于1.0[175].Han 等[103]提出了SMO 結構啟發(fā)的非線性準零剛度隔振器,其折疊運動引起的非線性剛度和非線性阻尼可以有效提升低頻段下的隔振效果,同時拓寬了有效隔振頻帶.Yao 等[176]提出了一種受折紙結構啟發(fā)的用于衛(wèi)星動力輪組件的多方向隔振器(圖17(b)),實驗結果表明,外激勵頻率為20,40 和60 Hz 時,加速度振幅在x方向上分別衰減了96.12%,98.86%,97.06%,在y方向上分別衰減了90.79%,96.1%,99.89%,在z方向上分別衰減了98.96%,99.87%,99.99%,取得了很好的隔振效果.實現(xiàn)準零剛度的另一種方式是通過調控流體折紙內(nèi)部的壓力,Sadeghi和Li[18,155]提出的流體折紙隔振器(圖17(c))可以在0～10 Hz 范圍內(nèi)實現(xiàn)有效隔振(位移傳遞率小于1.0);但是在一些特殊情況下(低激勵頻率且高激勵幅值),位移傳遞率也可能大于1.此外,通過調節(jié)內(nèi)部壓力也使得該隔振器的靜承載具備可調性.

圖17 折紙啟發(fā)的隔振和能量吸收裝置[18,62,174,176-178]Fig.17 Origami-inspired vibration isolation and energy absorption devices[18,62,174,176-178]

通過利用折疊變形時的能量吸收能力,折紙結構和折紙超材料也被應用于開發(fā)能量吸收裝置.當前,折紙啟發(fā)能量吸收裝置的動力學研究主要關注沖擊載荷下能量吸收能力的增大與反力峰值的降低.Karagiozov 等[37]研究了均勻密度三浦折紙超材料在勻速壓縮和脈沖加載下的行為,以及梯度密度三浦折紙超材料在沖擊載荷下的行為.研究發(fā)現(xiàn),具有相同拓撲結構但相對密度較高的三浦折紙超材料表現(xiàn)出了更高的比吸能(specific energy absorption,SEA).Ciampaglia 等[62]對具有折紙形狀的復合材料盒(圖17(d))進行了耐撞性研究.實驗表明,經(jīng)過優(yōu)化的折紙盒吸收的能量比方形碰撞盒高出15%,比未優(yōu)化的折紙盒高出30%;在反力峰值方面,折紙盒比方形折紙管有明顯降低.Zhou 等[177]研究了梯形折紙結構(圖17(e)),發(fā)現(xiàn)可以利用折紙圖案的塑性變形提升對沖擊的吸收能力.Li 和You[178]發(fā)現(xiàn)與傳統(tǒng)梁結構相比,折紙梁(圖17(f)) 的反作用力更恒定,整體能量吸收明顯提高(SEA 增加了40%～60%),而負載均勻性(load uniformity,LU)降低了30%～ 40%.

5.2 折紙啟發(fā)的空間可展開結構

折紙結構因其折疊變形、質量輕的優(yōu)點,在航天可展結構方面有著廣泛的應用前景.當前,折紙啟發(fā)的空間可展結構研究主要關注概念設計、折疊方式和展開運動學分析等,展開動力學方面的研究還相對較少.

根據(jù)航天領域的實際需求,研究者們已經(jīng)基于折紙思想提出了許多空間可展結構,包括管狀的可展開吊桿和薄膜狀的可展開太陽反光板、可展開遮星罩等.其中,可展開吊桿主要利用了折紙管狀結構出色的軸向折疊和伸縮能力.You 和Cole[82]提出了一種可折疊薄壁圓筒吊桿的概念設計(圖18(a)),其可以被折疊成較小體積置入發(fā)射倉內(nèi).Schenk 等[65]提出一種由鋁膜層壓材料制成的充氣折紙吊桿結構(圖18(b)),并研究了不同折紙管狀結構的展開特性.而薄膜狀的可展開反光板、可展開遮星罩則主要通過結構橫向旋轉實現(xiàn)展開.Salazar 等[15]提出了兩類折痕圖(螺旋折痕和同心折痕)來設計可展開太陽反光板(圖18(c)).Webb 等[64]提出了一款直徑達34 m 的可展開遮星罩概念設計(圖18(d)).

圖18 折紙啟發(fā)的空間可展開結構[15,64-65,82]Fig.18 Origami-inspired space deployable structures[15,64-65,82]

航天折紙可展結構的展開本質上是動力學過程,最近也受到了越來越多的關注,研究問題包括應力集中、力和力矩變化、展開時間以及自接觸和碰撞等問題.Yuan 等[102]研究了leaf-in 折紙空間薄膜結構在展開過程中出現(xiàn)的應力集中問題和頂點折面之間的接觸碰撞問題;Bowen 等[179]使用ADAMS建立了遮星罩的動力學模型并開展了動力學仿真分析;Pehrson 等[69]提出了基于折紙思想的SDSR 空間可展開陣列的設計,并建立了多體動力學模型研究其展開過程.

此外,空間可折疊薄膜結構被廣泛應用于航天器再入減速裝置、大面積電池陣、大口徑星載天線、太陽帆等領域[180-184].注意到,薄膜結構由于材料的柔性特征占主導,其折疊行為與折紙結構具有顯著差異,已經(jīng)超出了本文的范圍,在此不做展開.

5.3 折紙啟發(fā)的波調控裝置

折紙結構和折紙超材料在波傳播調控方面的具體應用主要可以分為兩類:(1) 折紙超材料本身作為波傳播的媒介,通過折疊對波傳播特性進行調控;(2)折紙超材料本身并不是波傳播的媒介,或者波傳播與結構本身的折疊變形無關,但是可以通過折疊實現(xiàn)對波傳播媒介的調整.對于第1 類應用,其主要利用的是折疊帶來的大變形、拓撲變化和非常規(guī)力學特性.例如,Yasuda 等[92]設計了擁有應變軟化特性的Krseling 折紙超材料,其可以將壓縮沖擊產(chǎn)生的壓縮應變波轉換為稀疏孤波,進而實現(xiàn)減震.Xu 等[169]設計了一維可折疊超材料(圖19(a)),其可以通過改變折疊結構的折疊角度和折疊處的扭轉剛度實現(xiàn)對帶隙寬度和個數(shù)的調控.

對于第2 類,一般是將折紙結構與波傳播媒介相連,通過折紙結構的變形使得波傳播媒介發(fā)生形狀、拓撲、對稱性等的改變,從而影響波傳播特性.例如Thota 等[173]將一系列圓柱管與三浦折紙結構相連形成聲子結構(圖19(b)),通過折疊變形改變圓柱管陣列的晶格類型和對稱性,進而調控波導特性.Xu 等[185]利用可折疊振子來衰減低頻(10 Hz)表面彈性波的傳播.此外,也有研究利用折紙結構的構型可變特性來調控聲波的傳播.例如,Babaee 等[20]設計了基于extruded cube 折紙結構的超材料,通過改變超材料折疊角度,可以對聲能的傳播和輻射進行調控(圖19(c)).

圖19 折紙啟發(fā)的波調控裝置[20,169,173]Fig.19 Origami-inspired wave tailoring devices[20,169,173]

5.4 折紙機器人

折紙結構豐富的折痕設計和出色的變構型能力,也受到了機器人領域學者的廣泛關注[5].目前,已有研究通過主動智能材料實現(xiàn)了折紙機器人從二維薄板到三維構型的自折疊成型和主動作動.主動驅動主要可以分為兩類:(1) 將折紙機器人的折痕設計為主動折痕,在外界物理場(例如熱場、磁場等)的作用下實現(xiàn)主動折疊、主動成型和主動構型重構;(2) 在折紙結構內(nèi)部或外部布置驅動器(例如舵機、氣囊等),對機器人進行整體驅動.代表性研究包括:Felton 等[6]在折紙機器人的折痕處布置了由形狀記憶材料制作的夾層結構,通過電流加熱使機器人由二維平面自折疊成為三維結構(圖20(a));Paez 等[186]研發(fā)了基于Yoshimura 折紙結構的驅動器(圖20(b)),通過其內(nèi)部氣囊的充氣和放氣實現(xiàn)整體的作動;Zhang 等[187]還提出了基于Yoshimura 折紙結構、形狀記憶合金彈簧和內(nèi)部氣囊的具有三維移動能力的仿蠕蟲機器人(圖20(c)).

目前,大部分折紙機器人研究停留在準靜態(tài)階段,只利用了折紙結構的豐富變形模式.例如,Liu等[188]使用Twisted Tower 折紙結構設計了機械臂,利用該結構獨特的拉、壓、彎、扭4 種變形模式實現(xiàn)了出色的空間可達性.Sareh 等[189]則以三浦折紙結構為基礎設計了無人機的防碰撞裝置(圖20(d)),利用三浦折紙結構的變形能力提升了無人機的抗沖擊能力.

圖20 折紙機器人設計和實驗原型[6,186-187,189-191]Fig.20 Designs and prototypes of origami robots[6,186-187,189-191]

隨著對折紙結構研究的不斷深入,學者們發(fā)現(xiàn),折紙結構所特有的非常規(guī)力學特性對機器人性能提升也具有重要意義.例如,Fang 等[17]利用waterbomb折紙結構的雙穩(wěn)態(tài)特性,設計了可在管道中運動的仿蠕蟲移動機器人.Lee 等[190]則是利用了waterbomb折紙結構的雙穩(wěn)態(tài)特性設計了可變直徑輪子的機器人(圖20(e)),以實現(xiàn)在狹窄環(huán)境中的移動.此外,Kim 等[16]設計了一種可以自鎖的折紙結構,并據(jù)此設計了一款可以完全折疊的機械臂,自鎖的特性使得機械臂在完全伸長時擁有更大的剛度從而提高穩(wěn)定性.

上述折紙機器人用到了折疊誘發(fā)的靜力學特性,而將折疊動力學特性用于機器人設計的研究目前還較少.Sadeghi 等[150]設計了一種基于TMP 折紙結構的跳躍裝置,并基于動力學特性分析對其幾何設計進行了優(yōu)化.Bhovad 等[191]利用Kresling 折紙結構設計了仿蠕蟲移動機器人(圖20(f)),并利用Kresling 折紙結構的snap-through 行為實現(xiàn)了機器人步態(tài)的切換.此外,Zhakypov 等[192-193]設計了一種可折疊的Tribot 機器人,該機器人可以實現(xiàn)爬行和跳躍步態(tài);動力學建模和分析為機器人的優(yōu)化設計和控制提供了依據(jù).

6 若干值得關注的問題

上述綜述表明,折紙結構和折紙超材料的動力學研究正處于快速發(fā)展階段,還有許多問題需要進一步研究.以下,列舉出值得關注的若干問題.

(1) 針對剛性可折條件無法嚴格滿足、折面和折痕厚度無法忽略的折紙結構和折紙超材料,提出精細化動力學建模方法,探索第一性原理和數(shù)據(jù)驅動方法融合的動力學建模方法.建立的動力學模型不僅需要包含折痕和折面的幾何特征、慣性、彈性和阻尼等因素,還需要具備處理折面、折痕間的接觸、碰撞和摩擦等問題的能力,同時保持較高的計算效率,服務于動力學設計和優(yōu)化.

(2) 針對含有缺陷的折紙結構和折紙超材料,研究其動力學建模與設計優(yōu)化問題.缺陷可以是客觀存在的,如材料缺陷和工作時的破壞等;缺陷也可以是人為引入的,例如在超材料設計中引入異構單元,以調控超材料整體的折疊行為,實現(xiàn)對某項動力學特性的優(yōu)化.

(3) 針對由折疊誘發(fā)的全局強非線性本構(例如多穩(wěn)態(tài)等),研究折紙結構和折紙超材料復雜動力學行為的發(fā)生機制和演化規(guī)律.全局強非線性動力學行為的定性和定量分析方法一直是動力學研究的難題.考慮到折紙結構可以成為實現(xiàn)各類非線性特征的理想平臺,以折紙結構為對象推進非線性動力學研究,可以為該學科帶來新的活力.

(4) 針對展開、構型切換、跌落和沖擊等工況,研究折紙結構和折紙超材料的瞬態(tài)動力學和隨機動力學行為.例如,折紙機器人在運動到指定構型后,常會發(fā)生非期望瞬態(tài)振動,因此需要分析該振動產(chǎn)生的原因,通過優(yōu)化幾何設計和驅控方式,實現(xiàn)對該非期望瞬態(tài)振動的抑制.

(5) 針對波傳播問題,研究將折紙超材料作為波傳播媒介時的波動力學特征,重點關注折疊大變形及相關靜力學和運動學特性對波傳播和能量傳播的影響.探索通過折紙超材料實現(xiàn)波的可控折射、反射、透射、拓撲保護和非互易性等超常規(guī)特性.

(6) 針對長時間工作情況,研究折紙結構和折紙超材料的動疲勞問題.例如,在周期性外激勵作用下,某些折痕會經(jīng)歷長時間的快速和大幅度折疊變形,這就需要考查折痕的動態(tài)疲勞強度,研究疲勞破壞的發(fā)生和傳播.

(7) 針對工程中對可調性的需求,研究折紙結構和折紙超材料動力學特性與波傳播特性的主動調控.例如,可以將主動智能材料與多穩(wěn)態(tài)折紙結構有機結合,通過主動構型重構,實現(xiàn)對折紙結構穩(wěn)態(tài)動力學行為和波動力學行為的定性調整;進一步地,可以基于“可再編程(re-programmable)”思想,實現(xiàn)動力學響應和波傳播的“數(shù)字化”調控.

(8) 針對折紙結構和折紙超材料所特有的復雜三維構型和折疊大變形特征,完善其動力學實驗方法.需要重點關注實驗原型的加工制備方式和載荷的施加方式,邊界的固定方式,全局剛體位移和局部材料變形的同步觀測方法等.

(9) 針對工程中的極端因素,研究折紙結構和折紙超材料的極端力學行為及其機制.常見的極端因素包括尺寸極端性、材料極端性和極端物理場作用等.在這些因素作用下,折紙結構和折紙超材料的靜/動力學行為將發(fā)生顯著改變,甚至誘發(fā)一系列超常規(guī)力學行為和超常規(guī)力學特性,這就需要重新思考“折紙”力學研究的基本理論和基本方法,從建模、分析、計算和實驗等多方面深入研究“折疊行為”和“極端因素”耦合下的變形、強度、破壞、穩(wěn)態(tài)頻響和瞬態(tài)響應特性.

(10) 針對實際工程應用需求,提出基于折紙思想的工程結構、機構和裝置設計(例如:準零剛度隔振器、快速作動器、沖擊防護欄等),以突破現(xiàn)有技術局限,提升相關動力學性能.

7 結語

近年來,折紙結構和折紙超材料引起了學術界和工程界的廣泛關注,其理論和應用研究取得了長足發(fā)展.開展折紙結構和折紙超材料動力學研究具有必要性、交叉性和重要性.首先,折紙結構和折紙超材料將不可避免地在動力學環(huán)境下工作,且它們的折疊、展開和構型切換本質上都屬于動力學過程,因此,開展相應的動力學建模、動力學行為預測、動力學機制分析、動力學性能優(yōu)化和調控等研究,是折紙結構和折紙超材料應用于工程實際的必由之路.其次,折紙結構和折紙超材料具有復雜的幾何非線性、突出的大變形和剛柔耦合等特征,以折紙結構和折紙超材料為對象開展動力學研究,建立起幾何學、靜力學、運動學與動力學的聯(lián)系,并與材料、機器人及生物醫(yī)學等應用領域進行關聯(lián),將極大地豐富傳統(tǒng)動力學的研究范疇和學科內(nèi)涵,突顯了折紙結構和折紙超材料動力學研究的多學科交叉屬性.再次,“折紙”思想為工程材料、結構和器械的設計提供了無限的靈感,通過明確折紙結構和折紙超材料在不同工況下的動力學行為,發(fā)掘由折疊誘發(fā)的超常規(guī)動力學特性,有助于解決一些傳統(tǒng)材料和結構無能為力的問題,使得折紙結構和折紙超材料與多個領域的工程實際結合更加緊密.

本文對折紙結構和折紙超材料的動力學研究進行綜述.為保證完整性和提高可讀性,首先概述了“折紙”研究的基本定義和假設,歸納了常見折紙結構和折紙超材料的幾何設計與靜力學特性.隨后,從動力學建模方法、動力學分析和實驗測試、折疊誘發(fā)的動力學行為以及動力學應用4 個方面介紹了相關研究進展.在動力學建模方法方面,分別介紹了空間桁架等效建模方法和非線性彈簧等效建模方法、基于廣義哈密頓原理的建模方法和數(shù)據(jù)驅動建模方法,還討論了與建模密切相關的約束和接觸的處理方式以及參數(shù)辨識問題;在動力學分析手段方面,分別介紹了基于模型和有限元的分析方法以及動力學實驗測試方法;在動力學特性方面,分別介紹了與多穩(wěn)態(tài)、可調剛度相關的動力學行為,以及瞬態(tài)動力學和波動力學行為;在動力學應用方面,分別介紹了折紙啟發(fā)的隔振裝置、波調控裝置、空間可展開結構和折紙機器人等.盡管本文已有非常寬的覆蓋面,但限于作者有限的學識,仍存在掛一漏萬的可能性.

本文最后指出了折紙結構和折紙超材料動力學領域若干值得關注的問題.在未來研究中,折紙結構和折紙超材料可以作為動力學理論研究與應用開發(fā)相結合的新平臺,一方面為動力學這一傳統(tǒng)學科帶來新的研究對象,另一方面也為工程應用提供全新的思路.