鄧宇龍，張建國

（長沙師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410100）

現(xiàn)代數(shù)學(xué)是以微積分理論為基礎(chǔ)的分析數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)分析研究的主要內(nèi)容是微積分.數(shù)學(xué)分析課時(shí)長、教學(xué)內(nèi)容多，是數(shù)學(xué)專業(yè)解決“為誰培養(yǎng)人”問題的第一基礎(chǔ)課程，是很多后續(xù)專業(yè)課程的先導(dǎo)課程.因此，高校數(shù)學(xué)教師要用好數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，真正做到課程與思政同向同行.這必然要求在數(shù)學(xué)分析的課程建設(shè)中突出課程思政理念.

高階導(dǎo)數(shù)是微分理論的重要組成部分，在函數(shù)的極值、凹凸性和拐點(diǎn)以及Taylor 公式等問題的研究中有舉足輕重的作用.因此，高階導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)分析中意義重大.高階導(dǎo)數(shù)中蘊(yùn)含有豐富的課程思政元素，高校教師可以在高階導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維、演繹邏輯推理思維、歸納概括思維、應(yīng)用思維和轉(zhuǎn)化思維等基本數(shù)學(xué)思維；在高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾個(gè)常用的高階導(dǎo)數(shù)公式教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生健康的世界觀和人生價(jià)值觀；在高階導(dǎo)數(shù)的Leibniz 公式教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化以及蘊(yùn)藏的人文素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.本文以高階導(dǎo)數(shù)的教學(xué)實(shí)踐為例，論述高校教師如何在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中開展課程思政.

1 在高階導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)的重要性不僅在于它具有強(qiáng)大的工具性，還在于它具有強(qiáng)大的育人功能.數(shù)學(xué)知識(shí)承載著數(shù)學(xué)思維，是極好的思維訓(xùn)練手段，它的育人功能首先體現(xiàn)在人的思維能力培養(yǎng)方面[1].數(shù)學(xué)思維至少有2種：一種是邏輯思維，它保證了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性；另一種是應(yīng)用思維，它把數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到實(shí)際生活中.人們通過數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練，在遇到問題時(shí)，能夠抽象概括并提煉出問題的實(shí)質(zhì)，多方位開辟思維點(diǎn)，再根據(jù)條件的變化改變問題的思考方向，創(chuàng)新性地解決問題.

培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的過程是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，在高階導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維、演繹邏輯推理思維、歸納概括思維、應(yīng)用思維和轉(zhuǎn)化思維等基本數(shù)學(xué)思維能力.按照數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容的編排，學(xué)生在學(xué)習(xí)高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，已經(jīng)完成了導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算的學(xué)習(xí)以及對導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解[2].因此，在高階導(dǎo)數(shù)課前10 min，可以利用學(xué)習(xí)通、云課堂等在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，精選發(fā)布5 個(gè)左右的選擇、填空或者判斷題，要求學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成.考慮到接下來的教學(xué)內(nèi)容，課前練習(xí)的組題既要承接舊知，又要啟發(fā)新知.例如：求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；求已知曲線的切線方程或斜率；利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些未知的參數(shù)；導(dǎo)數(shù)定義的變形；求一些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)等.

這些組題既復(fù)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算性質(zhì)和幾何意義，又回顧了導(dǎo)數(shù)的概念

和導(dǎo)數(shù)定義公式的變形，加深了函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)數(shù)的認(rèn)識(shí)，且學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力得到了較好的鍛煉.由于選擇、判斷、填空題完成的時(shí)間較短，教師可以利用學(xué)習(xí)通、云課堂等在線學(xué)習(xí)平臺(tái)即時(shí)反饋學(xué)生習(xí)題完成情況，還可以讓完成速度快且質(zhì)量好的學(xué)生分享解題的經(jīng)驗(yàn)和心得.課前練習(xí)的反饋激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程的興趣，訓(xùn)練了思維的敏捷性，體會(huì)到數(shù)學(xué)對實(shí)際問題解決的作用.這種寓教于樂的作業(yè)形式得到了學(xué)生的喜愛，學(xué)生在課前練習(xí)中得到了充分的展示機(jī)會(huì)，相互之間形成了良性的競爭，學(xué)風(fēng)煥然一新.

為了啟發(fā)學(xué)生對高階導(dǎo)數(shù)概念的探索，可引導(dǎo)學(xué)生思考：如果一階導(dǎo)函數(shù)f′(x) 還可以繼續(xù)求導(dǎo)數(shù)，應(yīng)如何給出這個(gè)定義.學(xué)生通過導(dǎo)數(shù)概念的復(fù)習(xí)，運(yùn)用發(fā)散思維后可以很快地給出回答：若函數(shù)f(x) 的導(dǎo)函數(shù)f′(x) 在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則有導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

依此類推，可以引導(dǎo)學(xué)生給出二階導(dǎo)數(shù)的定義，并層層演繹出三階導(dǎo)數(shù)等概念，歸納總結(jié)出高階導(dǎo)數(shù)概念.

由此可見，高階導(dǎo)數(shù)的定義是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，通過對這個(gè)概念的層層解讀，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維、演繹邏輯推理思維、類比思維和歸納概括思維等基本的思維能力，同時(shí)，也讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)密、細(xì)致和邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性.

2 在高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算過程中引領(lǐng)人生情感

“師者，傳道、授業(yè)、解惑也”，這句話生動(dòng)地概括了教師的2大職責(zé)——教書和育人.教師，在傳授學(xué)生知識(shí)的同時(shí)，還要兼顧教導(dǎo)學(xué)生做人的道理.高階導(dǎo)數(shù)概念晦澀難懂，給人“高大上”的錯(cuò)覺，但在高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和表達(dá)公式中也蘊(yùn)含了一些人生哲理和為人處世之道.通過對高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和表達(dá)公式中隱含的人生哲理和為人處世之道的解讀，不僅能活躍課堂氣氛，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，還能幫助學(xué)生明白做人做事的基本道理，實(shí)現(xiàn)教師教書和育人的宗旨.

根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)的定義可知，要求得函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，就需要對比它低一階的導(dǎo)函數(shù)再求一次導(dǎo)數(shù).因此，利用高階導(dǎo)數(shù)概念來求解函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)是最基本的方法.

例1求冪函數(shù)f(x)=xn（n為正整數(shù)）的各階導(dǎo)數(shù).

解由冪函數(shù)的求導(dǎo)公式可知，f′(x)=nxn-1，f′ (x)=n(n-1)xn-2，…，f(n)(x)=n!，f(n+1)(x)=0，….

顯然，利用高階導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)循序漸進(jìn)、連續(xù)求函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的過程.因此只需要利用一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，對函數(shù)逐階求導(dǎo)即可.換句話說，要求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，只能先求一階導(dǎo)數(shù)，再求二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)等，依次類推，逐步地往上求解，才能得到函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，達(dá)到最終目標(biāo).這正如我們的學(xué)習(xí)、生活以及工作，無論做什么事情，都需要按部就班、腳踏實(shí)地地去做，沒有捷徑可尋，“三天打魚，兩天曬網(wǎng)”行不通，一蹴而就更不可能.

例2求函數(shù)f(x)=sin（x）的各階導(dǎo)數(shù).

這是基本初等函數(shù)求任意階導(dǎo)數(shù)的問題.為找出其中的規(guī)律性，可以先具體求出若干階導(dǎo)數(shù).對于函數(shù)f(x)=sin（x），由三角函數(shù)的求導(dǎo)公式可知

不難發(fā)現(xiàn)，sin（x）的高階導(dǎo)數(shù)具有一種循環(huán)性，一方面涉及 sin（x）和cos（x）之間的互相轉(zhuǎn)化，另一方面涉及符號(hào)交互轉(zhuǎn)化.

還應(yīng)注意到，當(dāng)求解一個(gè)問題比較繁瑣時(shí)，可以考慮轉(zhuǎn)換一種思維方式.事實(shí)上，在求函數(shù)f(x)=sin（x）的各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，由(u+v)(n)=u(n)+v(n)，(Cu)(n)=Cu(n)可知

在教學(xué)中，經(jīng)常用xn,ex,sin（x）,ln(1+x)作為求函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的實(shí)例進(jìn)行講解分析.對于正整數(shù)冪函數(shù)xn，每一次求導(dǎo)，都能把冪次降低1.顯然，第n次求導(dǎo)可得一個(gè)常數(shù)，而求導(dǎo)次數(shù)大于n時(shí)的導(dǎo)數(shù)都等于0；指數(shù)函數(shù)ex的各階導(dǎo)數(shù)仍是ex；三角函數(shù)（x）sin 的高階導(dǎo)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)；對數(shù)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)卻發(fā)生了改變.這正如人生的4 種態(tài)度，即消逝不見、始終不變、周期循環(huán)、改變目標(biāo).如果把每一次求導(dǎo)當(dāng)成一次挫折，那么，到底是被挫折磨滅了意志，還是始終堅(jiān)持初心，或者原地踏步徘徊不前，或者改變最初的理想，在經(jīng)歷幾次磨礪后就面目全非亦或蕩然無存.我們不禁會(huì)問，有沒有像函數(shù)ex那樣，雖歷經(jīng)磨難，但始終不忘初心、堅(jiān)定信念、百折不撓、勇敢面對的一種誓言[3].

3 在求高階導(dǎo)數(shù)的Leibniz 公式中滲透數(shù)學(xué)文化

在人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過程中，數(shù)學(xué)發(fā)揮了關(guān)鍵的作用.它不僅具有深邃的科學(xué)精神，還蘊(yùn)藏著豐富的人文精神.縱觀我國古今在數(shù)學(xué)上取得的豐碩成就，強(qiáng)烈的民族自豪感油然而生.在人類文明的發(fā)展進(jìn)程中，數(shù)學(xué)是堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)和重要的支柱.人們只有接受數(shù)學(xué)文化的熏陶和洗禮，才能真正地走近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)和熱愛數(shù)學(xué).教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該挖掘數(shù)學(xué)分析課程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)人文精神，幫助學(xué)生了解人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)分析知識(shí)所起的重要作用，形成正確的數(shù)學(xué)觀.

高階導(dǎo)數(shù)的Leibniz 公式不僅留下了數(shù)學(xué)家Leibniz 和Lagrange 奮斗拼搏的軼事，還蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法.

Leibniz 公式用于求2個(gè)函數(shù)的乘積的高階導(dǎo)數(shù)[4].由乘積求導(dǎo)法則可知

觀察(uv)′,(uv)′ ′,(uv)′′′展開式中各項(xiàng)的系數(shù)公式，容易發(fā)現(xiàn)這是二項(xiàng)式系數(shù).于是，人們通過類比，歸納總結(jié)出了Leibniz 公式.

Leibniz 公式若函數(shù)u,v有任意階導(dǎo)數(shù)，則

Leibniz 公式在形式上與我國古代數(shù)學(xué)的杰出成果之一，即二項(xiàng)式(u+v)n展開式系數(shù)的楊輝三角相似.楊輝三角把二項(xiàng)式系數(shù)的表示圖形化，直觀地體現(xiàn)出了組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)[5].通過這樣的比較關(guān)聯(lián)，既能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一，又能激發(fā)學(xué)生的文化自信.

此外，教師在教學(xué)中還可以穿插數(shù)學(xué)家Leibniz 和Lagrange 的故事.Leibniz 在數(shù)學(xué)史和哲學(xué)史上都占有重要的地位，他所創(chuàng)立的微積分?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)被廣泛地使用，他的數(shù)學(xué)成果很多都是在往返于各大城鎮(zhèn)的顛簸的馬車上完成的.我們有整潔的教室和教學(xué)樓，窗明幾凈，因此更應(yīng)該珍惜現(xiàn)在求學(xué)的好時(shí)光.

18 歲的Lagrange 曾獨(dú)立地推出了Leibniz 公式，他興奮地把論文寄給大數(shù)學(xué)家Euler.然而，Euler 卻告之Leibniz 在半世紀(jì)前就已經(jīng)得到了這個(gè)結(jié)果，這個(gè)“不幸”的消息非但沒有使Lagrange 泄氣，反而激發(fā)了他鉆研數(shù)學(xué)的信心，給出了著名的Lagrange 中值定理.因此，在面對挫折時(shí)，更應(yīng)該堅(jiān)定信念，把挫折化作前進(jìn)的動(dòng)力.

總之，數(shù)學(xué)分析中的定理、公式，甚至于一個(gè)表達(dá)符號(hào)的背后都蘊(yùn)含了動(dòng)人的故事，包藏了滿滿的人文精神.教師在教學(xué)中融會(huì)貫通，挖掘隱藏在Leibniz 公式中的數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)家的故事，不僅能鞏固學(xué)生對高階導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)的掌握，還活躍了課堂氣氛，提升學(xué)生學(xué)習(xí)高階導(dǎo)數(shù)的興趣.學(xué)生在不自覺中接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，不但學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)家的奮斗精神，更容易理解和領(lǐng)悟Leibniz 公式在求解高階導(dǎo)數(shù)中的作用.

4 在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)實(shí)踐中融入課程思政元素的關(guān)鍵

從課程思政融入到高階導(dǎo)數(shù)的教學(xué)實(shí)踐來看，把課程思政滲透到數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，不僅有利于克服傳統(tǒng)教學(xué)中概念、定理、計(jì)算公式羅列堆積的不足，還有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想分析問題、解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂引領(lǐng)作用.在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)實(shí)踐中融入課程思政元素，以數(shù)學(xué)知識(shí)吸引學(xué)習(xí)興趣，以數(shù)學(xué)素養(yǎng)影響良好人格，以數(shù)學(xué)文化浸潤美好心靈.

4.1 注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思維能力

高校數(shù)學(xué)教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思維能力是人腦按一定思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)，是人們運(yùn)用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)思考問題、解決問題的能力.它包括抽象概括能力、推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等7個(gè)方面.

培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育的根本目的，也是最重要的課程思政.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重要課題在于如何錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì).培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維要遵循數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，如果只講知識(shí)，不講精神；只講技巧，不講思想，學(xué)生就不能掌握數(shù)學(xué)的精髓，真正地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)[6].數(shù)學(xué)基本概念、定理是進(jìn)行數(shù)學(xué)論證的理論基礎(chǔ)，因此，高校教師既要注重基本概念和定理的教學(xué)，又要理解蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)精神；既要注重?cái)?shù)學(xué)的基本運(yùn)算和應(yīng)用技能的教學(xué)，又要引導(dǎo)學(xué)生思考蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思維方法.

4.2 教師既要當(dāng)“經(jīng)師”又要當(dāng)“人師”

高校數(shù)學(xué)教師既要當(dāng)“經(jīng)師”，又要當(dāng)“人師”.為師之道，自古就有“經(jīng)師”和“人師”之說.經(jīng)師把教師職業(yè)當(dāng)作謀生的手段，他們認(rèn)真鉆研業(yè)務(wù)，扎實(shí)掌握基本技能，嚴(yán)肅、嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)格對待教育和教學(xué)工作，對教育事業(yè)有著積極的推動(dòng).

然而，經(jīng)師只是作為教師的起碼要求，人師才堪稱人類靈魂的工程師.人師把教師職業(yè)當(dāng)作事業(yè)的追求和精神的享受，他們有高深的學(xué)問以及偉大的人格和高尚的修養(yǎng)，陶冶著學(xué)生的人格.中國教育的傳統(tǒng)觀念，要求教師除了有經(jīng)師之范外，還要有人師的境界，以自身的人格魅力、德才情操潛移默化地感化和塑造學(xué)生人格.著名的無產(chǎn)階級(jí)教育家徐特立老先生就提出過“經(jīng)人合一”的教育思想.“經(jīng)師”和“人師”正是教師職業(yè)傳播知識(shí)和真理以及塑造靈魂和人格的職業(yè)定位，二者的統(tǒng)一就是專業(yè)知識(shí)和課程思政的有機(jī)融合.

4.3 注重用數(shù)學(xué)文化浸潤學(xué)生的心靈

高校數(shù)學(xué)教師要注重用數(shù)學(xué)文化浸潤學(xué)生的心靈.狹義的數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言以及它們的形成和發(fā)展；廣義的數(shù)學(xué)文化在狹義的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵基礎(chǔ)上，還兼顧了數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等[7].數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是連接感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)的橋梁，有深厚的數(shù)學(xué)教育內(nèi)涵.數(shù)學(xué)文化由數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)史組成.數(shù)學(xué)精神主要有數(shù)學(xué)理性精神、數(shù)學(xué)求真精神、數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)合作與獨(dú)立思考精神等[8].數(shù)學(xué)中大膽的猜測、奇特的構(gòu)思以及縝密的推理構(gòu)成了數(shù)學(xué)思想的特質(zhì)[9].數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)了對真理的探索精神.數(shù)學(xué)史蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的思想、方法、精神及其發(fā)生和演進(jìn)過程，揭示了數(shù)學(xué)家的文化活動(dòng)以及數(shù)學(xué)在人類文明進(jìn)步中的巨大作用[10].數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的起源、產(chǎn)生和發(fā)展過程.可見，如果不了解承載了數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)文化，分裂地看待數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)生就會(huì)缺乏學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，開展有效的課程思政，能最大限度地提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.

5 結(jié)語

值得注意的是，數(shù)學(xué)分析課程主要講授的還是數(shù)學(xué)的經(jīng)典知識(shí)，即以極限概念為基礎(chǔ)的微積分知識(shí).高階導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)分析課程的一個(gè)細(xì)微而重要的部分，課程思政元素在其中的滲透應(yīng)該是相向而行、潤物無聲，而不能喧賓奪主，淡化了學(xué)生對高階導(dǎo)數(shù)概念的理解和掌握，沖淡了學(xué)生對數(shù)學(xué)經(jīng)典知識(shí)的學(xué)習(xí).