陳琳琳，任元，王麗芬，劉政良

（航天工程大學 宇航科學與技術系，北京 101416）

PID 控制特性是學生學習自動控制原理課程必須掌握的一個基本控制規(guī)律，也是控制類專業(yè)學生必須掌握的知識.傳統PID 控制特性的教學方法通過概念講解加上理論推導為主[1-4]，學生對PID 控制特性的理解較為膚淺，不能和實際工程應用結合起來，無法徹底掌握PID 控制特性在控制系統中的作用.

在磁懸浮小球控制系統“穩(wěn)”“快”“準”控制的需求牽引下，本文首先建立磁懸浮小球的重力控制系統數學模型；然后，基于時域分析和頻域分析等手段，分析PID 控制器的參數變化對磁懸浮小球重力控制系統性能的影響，實現對磁懸浮小球的重力控制.該教學模式能夠引導學生以工程需求為牽引，引導學生伴問題而思考，化抽象為具體，調動學生對學習理論知識的興趣，提升學生從物理問題-數學問題-科學問題-工程實踐的分析問題和解決問題的能力.

1 磁懸浮小球控制原理

磁懸浮小球處于線圈繞組產生的磁場中，磁懸浮小球控制系統主要由鐵芯、線圈、位置傳感器、放大器、數字控制器和控制對象小球組成[5].當電磁鐵上的線圈繞組通電時，小球靠近某個線圈時，會受到線圈產生磁力的吸引力；同時磁懸浮小球也會受到重力的影響，通過設計PID 控制器，將磁懸浮小球穩(wěn)定在中心位置，且不出現振蕩.

在磁懸浮小球系統中，調節(jié)電流，使小球的位置z始終保持在平衡位置.忽略小球受到的其它干擾力，小球在系統中只受電磁吸力和自身重力.小球在豎直方向的動力學方程描述為

式中：m為磁懸浮小球的質量，單位：kg；g為重力加速度，單位：m/s2；z為磁極到小球的氣隙，單位：m；i為電磁鐵繞組中的瞬時電流，單位：A；F（i,z）為電磁吸力，單位：N.經過拉普拉斯變換，根據式（1）推導出電磁鐵線圈的傳遞函數G0（s）為

如果式（2）中的ki=1,m=1,kh=0.02，則電磁鐵線圈的數學模型簡化為

式中：Ks為氣隙與電壓的關系系數，單位：V/mm；Ka為功率放大器的增益.

2 P 控制

比例控制器的傳遞函數為[8-9]

式中：KP為比例系數；e（t）為誤差信號（輸入信號）；uP（t）為輸出信號.根據式（1）～（4），推導出磁懸浮小球重力方向控制系統的閉環(huán)傳遞函數Φ（s）為

根據式（6），從磁懸浮小球重力方向控制系統閉環(huán)特征根得出結論：當KP＞0.02時磁懸浮小球處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；KP＜0.02時磁懸浮小球位置是發(fā)散的，即磁懸浮小球處于不穩(wěn)定狀態(tài).式（6）可以進一步化簡為

式中：ωn為振蕩頻率.根據式（7），當系統的輸入為單位階躍函數時，二階系統的單位階躍響應（c t） 為

當式（8）中KP分別取50 和0.1 時，系統穩(wěn)態(tài)響應（c t）分別為

根據式（9）～（10），系統穩(wěn)態(tài)響應的Matlab[10]仿真曲線見圖1，當KP=0.1時，磁懸浮小球位置處于穩(wěn)定狀態(tài)，隨著KP增大，磁懸浮小球振蕩頻率增大，但其振蕩幅值減?。划擪P=50時，磁懸浮小球處于振蕩狀態(tài)，同時系統超調也增加.

圖1 KP 分別取50 和0.1 時系統單位階躍響應曲線

3 PD 控制

為了解決P 控制下的磁懸浮小球系統的超調和振蕩，需要加入微分控制.PD 控制的微分方程為[8-9]

式中：KD為微分系數；uPD（t）為輸出信號.在磁懸浮小球控制系統的比例控制基礎上增加微分控制，保持比例系數KP=0.3不變的情況，微分系數分別取KD=8，KD=50，系統穩(wěn)態(tài)響應的仿真曲線見圖2.

圖2 KD 參數不同時系統單位階躍響應曲線

從圖2 中可以看出，微分參數增大，微分作用越強，輸出響應的超調減小，調節(jié)時間縮短，但是上升時間和峰值時間增加，即系統的動態(tài)響應速度變慢.如果從頻域方面分析，系統的截止頻率增加和穩(wěn)態(tài)裕度均增加，而穩(wěn)定裕度增加，超調量、調節(jié)時間減小，與時域分析結果一致.

磁懸浮小球的位置穩(wěn)態(tài)誤差為

在PD 控制下，系統誤差與比例控制器的系數有關，且系統穩(wěn)態(tài)誤差無法消除.

4 PID 控制

為了解決PD 控制下系統穩(wěn)態(tài)誤差無法消除的問題，需要引入積分控制.PID 控制的微分函數為[8-9]

式中：KI為積分系數；uPID（t）為輸出信號.磁懸浮小球控制系統在PD 控制基礎上引入積分控制后，小球位置的穩(wěn)態(tài)誤差為

引入積分環(huán)節(jié)后，可以完全消除系統穩(wěn)態(tài)誤差，使小球穩(wěn)定在平衡位置.在比例系數KP和微分系數KD不變的情況下，積分系數分別取KI=0.01，KI=2時，仿真曲線見圖3.當KI太小時，穩(wěn)態(tài)誤差消除比較慢，隨著KI增大，積分作用加強，穩(wěn)態(tài)誤差消除加快；但當KI太大時，系統的超調量增大，振蕩加劇，穩(wěn)定性下降.

圖3 KI 參數不同時系統單位階躍響應曲線

5 結語

本文基于磁懸浮小球控制系統“穩(wěn)”“快”“準”控制的需求，首次將磁懸浮小球重力控制問題貫穿于PID 控制特性的課堂教學中，將物理問題轉化為數學問題，分析PID 控制器的參數變化對系統性能的影響，實現對磁懸浮小球的重力控制.該教學模式能夠引導學生以工程需求為牽引，化抽象為具體，調動學生學習積極性，開拓學生的創(chuàng)新性思維，提升學生利用PID 特性分析用于工程實踐解決具體問題的能力.