李 楊， 胡旭東， 彭來湖， 鄭秋揚(yáng)

(浙江理工大學(xué) 浙江省現(xiàn)代紡織裝備技術(shù)重點實驗室， 浙江 杭州 310018)

紗線是纖維沿軸向方向經(jīng)加捻后形成的纖維集聚體，在織造過程中紗線受到外力作用時呈現(xiàn)極其復(fù)雜的動力學(xué)特征[1-2]。紗線在傳輸過程中的穩(wěn)定性對織物的品質(zhì)、生產(chǎn)效率以及后續(xù)加工的順利進(jìn)行產(chǎn)生較大影響[3]。在織造過程中紗線振動引起的張力變化，會使織物表面產(chǎn)生疏密不勻、高低不平等問題，影響產(chǎn)品質(zhì)量，降低織物等級[4]。因此，對紗線傳輸過程中的振動特性分析顯得尤為重要。

紗線軸向運(yùn)動的橫向振動可轉(zhuǎn)化為運(yùn)動弦線的非線性振動，很多學(xué)者對此進(jìn)行了研究。Swope等[5]利用狀態(tài)空間的復(fù)特征值確定弦的模態(tài)函數(shù)；Mote等[6]利用哈密頓Hamilton原理研究了軸向運(yùn)動弦線的非線性振動特性；Ames等[7]采用Galerkin截斷法討論了紗線周期激勵條件下的運(yùn)動特性，建立了包含紗線速度、初始張力、橫向位移和線密度的控制方程。隨著研究的不斷深入，以兩端受約束的軸向運(yùn)動紗線為研究對象，分析了主參激共振時系統(tǒng)的穩(wěn)定性[8]；以紗線傳輸速度和初始張力作為因變量，對紗線的動態(tài)力學(xué)性能進(jìn)行研究分析[9-10]。以往描述紗線大都為Lagrange范疇，而紗線運(yùn)動模態(tài)較為復(fù)雜，基于此，本文采用哈密頓動力學(xué)方法，研究了針織緯編生產(chǎn)中運(yùn)動紗線的橫向振動。通過研究紗線輸送速度和以紗線作為連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)的Hamilton雙變量的函數(shù)，并利用變分原理求解行進(jìn)紗線的對偶方程，以期對行進(jìn)紗線的特征值以及在不同傳輸速度下的自由振動和受迫振動提供研究思路。

1 針織緯編紗線動力學(xué)模型

針織緯編在生產(chǎn)過程中，紗線由于織機(jī)針筒的轉(zhuǎn)動從紗筒上退繞，經(jīng)過輸紗器穿過導(dǎo)紗孔鉤在織針上[11]。紗線在運(yùn)動過程中受到針織機(jī)初始張力激勵和織機(jī)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的外部激勵發(fā)生振動。這些激勵會造成紗線張力不穩(wěn)定，從而導(dǎo)致紗線輸送狀態(tài)產(chǎn)生變化。

圖1 軸向運(yùn)動紗線模型

對軸向運(yùn)動紗線系統(tǒng)的各變量和參數(shù)做無量綱化如下：

(1)

式中：c0為瞬時速度，s為運(yùn)動時間。

(2)

式中：Xi,η、uj,η分別為橫向、縱向位移分量。

該點的無量綱張力為：

(3)

在物質(zhì)坐標(biāo)系下，紗線的Lagrange運(yùn)動微分方程為

(4)

在絕對坐標(biāo)系下，紗線的運(yùn)動力學(xué)微分方程：

(5)

忽略紗線在空間中各方向的振動，紗線的自由振動微分方程為

uk,tt+2cuk,ηt+δ(uk,t+cuk,η)+

(6)

式中：qk(t)為紗線受到的外部激勵減去紗線靜止?fàn)顟B(tài)下受到的載荷。

此時，初始條件和邊界條件為

(7)

式中：αk(η)為紗線靜止?fàn)顟B(tài)時位移構(gòu)形；βk(η)為織機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時紗線速度構(gòu)形。

2 紗線振動模態(tài)函數(shù)

為方便求解，假設(shè)紗線在運(yùn)動過程中所受阻尼為0，由式(6)得紗線的自由振動微分方程為

(8)

式中：U=U(η,t)為紗線上一點處于靜止?fàn)顟B(tài)時的橫向位移。邊界和初始條件為：

(9)

絕對坐標(biāo)系下紗線的無量綱Hamiltion函數(shù)為

(10)

引入U(η,t)的對偶變量p=p(η,t)。根據(jù)變分原理，得到Hamilton對偶方程組為

(U(η,t),p(η,t))T

(11)

用分離變量法得出對偶方程組(11)的特征值：

(12)

式中：Φ(η)=(Φ1(η)，Φ2(η))T是特征向量；λ為特征值。

紗線在靜止時自由振動的特征值為

(13)

(14)

3 軸向行進(jìn)紗線振動響應(yīng)

3.1 軸向行進(jìn)紗線自由振動響應(yīng)

針織生產(chǎn)過程中紗線的輸送狀態(tài)會隨著編織工藝的改變而發(fā)生變化。當(dāng)紗線軸向行進(jìn)速度為0時，由于自身重力會產(chǎn)生自由振動。根據(jù)展開定理，紗線的橫向位移函數(shù)可表示為模態(tài)函數(shù)的疊加，即：

(15)

初始條件為

(16)

式中：

(17)

根據(jù)式(14)紗線振動的辛共軛正交性條件，可得到紗線軸向行進(jìn)速度為0時的自由振動響應(yīng)：

(18)

3.2 軸向行進(jìn)紗線受迫振動響應(yīng)

假設(shè)織機(jī)在運(yùn)行過程中由各機(jī)構(gòu)振動對紗線產(chǎn)生的耦合激勵為均勻激勵，紗線受迫振動的動力學(xué)方程為

(19)

式中：f(η,t)為作用在紗線上的載荷。紗線受迫振動的對偶方程為

(20)

展開全狀態(tài)向量：

(21)

把紗線所受外部激勵函數(shù)h按照特征向量展開為

(22)

將紗線振動對偶方程的展開全向量(22)和紗線外部激勵函數(shù)的特征向量代入紗線受迫振動的對偶方程(20)，得：

(23)

對于紗線的受迫振動，我們只考慮f(η,t)的第1項，得到紗線系統(tǒng)受迫振動的特解：

(24)

4 數(shù)值分析和討論

為驗證本文主要結(jié)果，以棉紗為例，初始張力T=120 cN、彈性模量E=7.84 MPa、長度S=1.2 m、線密度ρ=27.4 tex，進(jìn)行了數(shù)值模擬。通過算例分析了紗線不同速度下的模態(tài)，指出速度對模態(tài)的形狀和幅值的影響。此外，還討論了紗線的自由振動響應(yīng)以及受迫振動響應(yīng)。

4.1 紗線臨界速度響應(yīng)

考慮紗線自由振動模態(tài)的前三階正交歸一化模態(tài)函數(shù)，我們對紗線在不同行進(jìn)速度下的模態(tài)進(jìn)行分析，指出行進(jìn)速度對模態(tài)的形狀和振動幅值的影響。

圖2示出c=0.8,c0=1時的前三階模態(tài)函數(shù)?？梢钥闯鲭S著行進(jìn)速度的增大，模態(tài)實部幅值的絕對值隨之減小。反之，隨著行進(jìn)速度的增大，模態(tài)虛部的幅值的絕對值隨之增大。

圖2 行進(jìn)速度接近臨界速度時模態(tài)函數(shù)

為觀察紗線運(yùn)動速度對模態(tài)的影響，以3種不同的速度c=0.0,c=0.5,c=1.0計算模態(tài)函數(shù)的實部。圖3示出不同運(yùn)動速度下紗線的前三階模態(tài)實部函數(shù)?？梢钥闯瞿B(tài)函數(shù)的形狀與紗線的速度密切相關(guān)。紗線運(yùn)動速度與模態(tài)函數(shù)的實部呈正相關(guān)關(guān)系。反之，紗線運(yùn)動速度與前三階模態(tài)函數(shù)的周期為負(fù)相關(guān)關(guān)系。

圖3 不同速度下模態(tài)函數(shù)

4.2 紗線自由振動響應(yīng)

在計算紗線的自由振動時，設(shè)初始速度為0，初始構(gòu)形U=0.3η(η-1)。圖4示出紗線中間位置處c0=0.5時不同行進(jìn)速度下的響應(yīng)曲線，隨著行進(jìn)速度c的增大紗線振動得響應(yīng)周期變大。圖5示出紗線在不同位置處的響應(yīng)曲線。隨著η的增大，響應(yīng)幅值逐漸增大，并且在中點處達(dá)到最大。

圖4 不同行進(jìn)速度的響應(yīng)

圖5 不同位置的響應(yīng)

4.3 紗線受迫振動響應(yīng)

考慮無阻尼時紗線受迫振動，對一個周期內(nèi)不同外激頻率、不同傳輸速度和不同項數(shù)構(gòu)形的影響。

圖6示出紗線中點位置處c=0.5,c0=1.8時一個周期內(nèi)的構(gòu)形，可看出構(gòu)形的幅值隨著時間的增大而減小。圖7示出為c=0.5,c0=1.8時紗線在不同運(yùn)動速度時的構(gòu)形，可看出運(yùn)動速度越大構(gòu)形幅值變化越大，周期變小。圖8示出c=0.5,c0=1.8,t=1.2時，取不同項數(shù)的模態(tài)函數(shù)疊加得到的構(gòu)形，n=2,n=3在時構(gòu)形基本重合，因此取前2項模態(tài)函數(shù)疊加即可計算出紗線橫向位移的大小。

圖6 一個周期內(nèi)構(gòu)形圖

圖7 不同行進(jìn)速度下的構(gòu)形圖

圖8 不同項數(shù)構(gòu)形圖

5 結(jié) 論

本文以針織緯編織機(jī)為例，建立了由儲紗器到織針導(dǎo)紗孔之間的運(yùn)動紗線在Hamiltonian體系下的動力學(xué)微分方程，引入紗線橫向位移的對偶變量，利用變分原理，得到行進(jìn)紗線的對偶方程組。根據(jù)分離變量法，求得紗線振動的特征值和特征向量。利用辛共扼正交性條件和展開定理，得到了紗線自由振動響應(yīng)。通過有關(guān)算例求解并分析了紗線的模態(tài)。經(jīng)數(shù)值仿真可知，紗線的傳輸速度不同，振動響應(yīng)周期也不同，速度越大響應(yīng)周期也越大；運(yùn)動速度不變，紗線上不同點的響應(yīng)幅值不同，紗線中點處的振幅最大，兩邊逐漸減?。辉?個振動周期內(nèi)，紗線振幅在起始時刻振幅最大，而后逐漸減??；紗線振動位移按模態(tài)展開項數(shù)n=2,n=3時的構(gòu)形基本相同，只取前2項相即可計算出紗線的橫向位移。