史 寧 中

(東北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130024)

2022年4月21日教育部頒布了《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》[1]。其修訂大體遵循兩個基本原則：一是保留2011年版義務教育數(shù)學課程標準的合理內(nèi)核；二是延續(xù)2017年版普通高中數(shù)學課程標準倡導的數(shù)學核心素養(yǎng)主張。

2011年版義務教育數(shù)學課程標準的重要貢獻，是把傳統(tǒng)的數(shù)學課程目標從“雙基”拓展到“四基”、從“兩能”拓展到“四能”，提出了發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的十個“核心詞”，即數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識。這些核心詞與數(shù)學核心素養(yǎng)內(nèi)涵關聯(lián)密切。

一、構建與數(shù)學教育有關的核心素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)的提出，源于2014年頒布的《教育部關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見》文件[2]，其目的是更好地貫徹黨的十八大提出的“把立德樹人作為教育的根本任務”這一宗旨。該文件提出了基于核心素養(yǎng)的課程目標，并且要求將課程目標落實到當時正在修訂的普通高中課程標準中。在這樣的背景下，2017年版普通高中數(shù)學課程標準提出了基于“三會”的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，并將“三會”作為培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的指導思想[3]?；凇叭龝钡臄?shù)學學科核心素養(yǎng)是指(1)2017年版普通高中數(shù)學課程標準描述的是：會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界。2022年版義務教育數(shù)學課程標準，把其中的“世界”改為“現(xiàn)實世界”，其目的是強調(diào)數(shù)學是人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的語言。該思想充分體現(xiàn)在關于課程性質(zhì)的表述中。：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。與此對應的數(shù)學學科核心素養(yǎng)分別是：數(shù)學抽象和直觀想象，邏輯推理和運算能力，數(shù)學模型和數(shù)據(jù)分析。

黨的十九大進一步提出教育要“落實立德樹人根本任務”，因此，基于核心素養(yǎng)的課程標準的修訂，對這一任務的強調(diào)只能加強，不能削弱。這也意味著，數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成不僅包括高中階段的數(shù)學教育，還包括義務教育階段的數(shù)學教育，或許，也應包括大學階段的數(shù)學教育。數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要具有一致性和階段性。一致性，即從小學到初中、高中，甚至到大學，數(shù)學核心素養(yǎng)內(nèi)涵基本保持不變；階段性，即在不同的教育階段，數(shù)學核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)應當有所不同。由此，數(shù)學核心素養(yǎng)一般被表述為：經(jīng)過數(shù)學課程的學習，受教育者應當具備的基本素養(yǎng)。

為了做到一致性和階段性，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)又應具有整體性，即必須兼容數(shù)學和數(shù)學教育的基本特征。數(shù)學和數(shù)學教育的基本特征，是人們在數(shù)學學習和數(shù)學研究的過程中逐漸形成和發(fā)展起來的、每個人都具有的主要特點?！叭龝笔菙?shù)學核心素養(yǎng)的題中應有之義。無論是《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》提出的十個核心詞，還是《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出的六個主要方面，都是數(shù)學核心素養(yǎng)在不同學段的具體表現(xiàn)?？梢钥隙ǖ氖?，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在各個學段的表現(xiàn)應當具有進階性，即：低年級段數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應偏于具體，更加側重于意識方面；高年級段數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應偏于抽象，更加側重于能力方面。基于這樣的思想，2022年版義務教育數(shù)學課程標準就把數(shù)學教育所應形成和發(fā)展的核心素養(yǎng)，統(tǒng)一表述為“三會”，并分別描述了“三會”在小學階段和初中階段的具體表現(xiàn)。

數(shù)學的眼光是什么呢？主要是數(shù)學抽象。正如大多數(shù)數(shù)學家和哲學家所理解的那樣，數(shù)學的研究對象以及那些描述研究對象性質(zhì)、關系和規(guī)律的術語都是抽象了的數(shù)學符號，這些抽象的數(shù)學符號源于現(xiàn)實世界，來源于人們的經(jīng)驗，是數(shù)學思維抽象的結果。數(shù)學抽象的對象主要是數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系，抽象的過程就是舍去承載物的物理背景的過程。隨著數(shù)學自身的發(fā)展，數(shù)學可以脫離現(xiàn)實世界，并對那些已經(jīng)抽象出來的內(nèi)容進行更深層次的抽象，從而得到新的研究對象和術語。比如：通過自然數(shù)和三維空間得到實數(shù)和高維空間的概念，通過數(shù)的運算法則得到矩陣與四元數(shù)的運算法則，等等。由此，數(shù)學的抽象就形成了數(shù)學的第一個基本特征，即數(shù)學的一般性。

就具體表現(xiàn)而言，2022年版義務教育數(shù)學課程標準希望學生達成的目標是：在小學階段形成符號意識、數(shù)感、量感；在初中階段形成抽象意識；在高中階段則上升為擁有數(shù)學抽象能力。此外，培養(yǎng)學生形成和發(fā)展幾何直觀和空間想象力是貫穿新課標始終的目標。養(yǎng)成觀察問題的習慣非常重要。通過觀察問題，學生能直觀理解所學的數(shù)學知識及其現(xiàn)實背景，能在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，在日積月累的數(shù)學探究過程中，逐步養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，并在主動學習中學會把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁，從而使好奇心、想象力和創(chuàng)新意識都得到發(fā)展。

數(shù)學的思維是什么呢？主要是邏輯推理。這也是數(shù)學發(fā)展所依賴的基本思維形式。邏輯推理是依據(jù)規(guī)則進行的、具有傳遞性的推理，大體分為兩種形式：一種是基于思辨的推理，稱為演繹推理，是從設立的前提命題出發(fā)進行的推理，命題涉及的范圍從大到小，因此，如果前提命題正確，那么結論命題就必然正確；另一種是基于經(jīng)驗的推理，稱為歸納推理，是從經(jīng)驗事實出發(fā)進行的推理，命題涉及的范圍從小到大，因此，即使前提命題正確，得到的結論也不一定正確(2)不能通過結論的正確與否判斷推理是否有邏輯性，只能通過推理的過程判斷推理的邏輯性。。數(shù)學的所有結論在形式上都是命題(3)數(shù)學計算屬于演繹推理。如果語言可以表述數(shù)學計算的結果，那么數(shù)學計算也可以表述命題的形式。。數(shù)學獲得的結論更多是依賴歸納推理，數(shù)學驗證結論更多是依賴演繹推理。這兩種推理都是有邏輯的。這就形成了數(shù)學的第二個基本特征，即數(shù)學的嚴謹性。

就具體表現(xiàn)而言，2022年版義務教育數(shù)學課程標準希望學生在小學階段能夠形成一些推理意識，初中階段逐漸形成推理能力，高中階段則上升為形式化的邏輯推理。運算能力是唯一要求學生自始至終都要具備的能力。學生養(yǎng)成推理思考的習慣，能夠合乎邏輯地認識和理解數(shù)學的結論和方法，探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境所蘊含的數(shù)學規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”過程，在日積月累的學習中，逐漸形成和發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，并樹立實事求是的科學態(tài)度，養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣，從而擁有理性精神。

數(shù)學的語言是什么呢？主要是數(shù)學模型(4)這里所說的數(shù)學模型包括用于數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計模型。。數(shù)學借助數(shù)學模型回歸現(xiàn)實世界，數(shù)學模型搭建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁。一方面，數(shù)學發(fā)展的真正動力是其在現(xiàn)實世界中的應用，數(shù)學要有重大發(fā)展，必須并且只能靠研究者在現(xiàn)實世界中獲取靈感，并在不斷應用的過程中汲取養(yǎng)分，只有那些直接從現(xiàn)實世界中抽象出來的數(shù)學問題，才會朝氣蓬勃、具有頑強的生命力；另一方面，在現(xiàn)代社會，幾乎所有的學科在科學化、條理化的過程中都要使用數(shù)學語言，并借助數(shù)學符號構建數(shù)學模型，以此揭示研究對象的性質(zhì)、關系和規(guī)律。這就形成了數(shù)學的第三個基本特征，即數(shù)學應用的廣泛性。

就具體表現(xiàn)而言，2022年版義務教育數(shù)學課程標準希望學生在小學階段能夠具備一定的模型意識、數(shù)據(jù)意識，在初中階段形成模型觀念、數(shù)據(jù)觀念，在高中則要建立模型思想、數(shù)據(jù)分析思想。養(yǎng)成這樣的表達問題的習慣，學生能夠感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界獨特的交流方式，理解數(shù)學表達的合理性，感受數(shù)學的美，并且適應數(shù)字化發(fā)展，能夠有意識地通過數(shù)據(jù)分析認識、理解和表達現(xiàn)實世界中那些不確定的現(xiàn)象，在日積月累的過程中，逐步養(yǎng)成用數(shù)學語言表達與交流的習慣，從而具備跨學科應用意識與實踐能力。

二、表述與數(shù)學教育有關的數(shù)學

為了更好地融入核心素養(yǎng)，筆者認為有必要清晰地表述與數(shù)學教育有關的數(shù)學的基本特征。除了保留“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學”的傳統(tǒng)表述，還要強調(diào)數(shù)學的一般性、嚴謹性和應用的廣泛性。另外，基于心理學描述，筆者認為還要強調(diào)數(shù)學的抽象性、邏輯性和現(xiàn)實性。如此，可以這樣描述：數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，即通過對數(shù)量和數(shù)量關系的抽象、圖形和圖形關系的抽象，得到數(shù)學的研究對象及其關系；基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數(shù)學的結論和方法，以此幫助人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關系和規(guī)律。數(shù)學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數(shù)學承載的思想和文化，是人類文明的重要組成部分。

把數(shù)學認定為一種語言，是表述數(shù)學抽象性、邏輯性和現(xiàn)實性最為清晰簡潔的路徑。數(shù)學語言由數(shù)學的基本概念、符號表達、運算規(guī)則、形式邏輯、模型構建等基本元素組成，與日常生活中所使用的語言一樣，人們可以借助這樣的語言進行思維、表達和交流，也可以借助這樣的語言認識、理解和反映現(xiàn)實世界。由此，就能順理成章、恰到好處地引出“三會”所表達的數(shù)學核心素養(yǎng)。

事實上，對數(shù)學這樣的理解是從伽利略(GalileoGalilei)和牛頓(Isaac Newton)那個時代開始的。作為科學家的伽利略曾經(jīng)感慨：“哲學被寫在展現(xiàn)于我們眼前的偉大之書上，這里我指的是宇宙。但是，如果我們不首先學會用來書寫它的語言和符號，我們就無法理解它。這本書是以數(shù)學語言寫的，它的符號就是三角形、圓形和其他幾何圖形，沒有這些符號的幫助，我們簡直無法理解它的片言只語；沒有這些符號，我們只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索”[4]。基于這樣的認識，伽利略成為第一位用數(shù)學語言講述現(xiàn)實自然界故事的人，他用數(shù)學的方程式表達了自由落體的變化規(guī)律，后來人們稱這個方程式為重力加速度模型。從這個模型開始，伽利略給出了一個認識世界的全新方法，就是用數(shù)學語言表達探究自然界的規(guī)律，用觀察、試驗或?qū)嶒灥慕Y論驗證表達的規(guī)律。伽利略的研究方法引領了近代物理學甚至整個近代科學的發(fā)展。正如愛因斯坦(Albert Einstein)對其的評價：“由于伽利略看到了這一點，尤其是由于他向科學界諄諄不倦地教導這一點，他才成為近代物理學之父，事實上，也成為整個近代科學之父?！盵5]

三、實施基于核心素養(yǎng)的數(shù)學教育

基于核心素養(yǎng)的數(shù)學教育，在關注數(shù)學內(nèi)容教育的同時，還要關注數(shù)學內(nèi)容所蘊含的核心素養(yǎng)。換句話說，基于數(shù)學教育所希望培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，教育者需要重新審視教學內(nèi)容、構建內(nèi)容框架、設計教學方案和實施教學活動。比如：義務教育階段的數(shù)學教育，就必須關注數(shù)學的抽象性，特別要關注數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系的抽象。根據(jù)進階原則，小學階段要引導學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程，也就是經(jīng)歷舍棄物理背景得到“數(shù)”和圖形的過程，從而使學生逐漸形成符號意識和空間觀念，獲得幾何直觀、數(shù)感和量感；初中階段要引導學生經(jīng)歷更高層次數(shù)學抽象的過程，也就是經(jīng)歷用字母表示數(shù)和代數(shù)運算的過程，從而使學生逐漸形成抽象能力和空間想象力，拓展幾何直觀。應當注意的是，我國基礎教育階段的數(shù)學教育，一直沒有強調(diào)抽象能力的培養(yǎng)，傳統(tǒng)的數(shù)學“三大能力”是指運算能力、邏輯思維能力和空間想象力，這些是分析問題和解決問題應具備的能力。如果希望培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，那么許多數(shù)學問題就要從源頭開始思考，甚至需要研究者自己提取和表達研究對象，發(fā)現(xiàn)和驗證研究對象的性質(zhì)、關系及規(guī)律。這些都依賴研究者的抽象能力。因此，2011年版義務教育數(shù)學課程標準特別強調(diào)數(shù)學的基本思想，而數(shù)學基本思想可以歸結為三個核心要素，其中一個要素就是抽象。設計與邏輯性和現(xiàn)實性有關的，或者與核心素養(yǎng)有關的數(shù)學教學，教師可以用抽象的方法，此處不再累述。

為了便于實施基于核心素養(yǎng)的教學，在數(shù)學抽象的基礎上，還需要強調(diào)數(shù)學的抽象結構。所謂“抽象結構”，用現(xiàn)在流行的表述方式，可以表示為“研究對象+”的形式，其中“+”的內(nèi)容可以是性質(zhì)、關系，也可以是運算(5)這里所想表達的內(nèi)容是豐富多彩的：性質(zhì)可以包括公理體系的諸公理，如算術公理體系、集合論公理體系等，所涉及的就是這樣的抽象結構；關系可以包括滿足若干條件的二元關系，如有序空間、距離空間等，所涉及的就是這樣的抽象結構；運算可以被限制滿足某些運算律，如抽象代數(shù)涉及的就是這樣的抽象結構。。就是說，在數(shù)學教學過程中，單純研究對象的教學是不全面的，應同時表達“+”的那些內(nèi)容。關于這一點，希爾伯特(Hilbert)說得非常形象：“歐幾里得關于點、線、面的定義在數(shù)學上是不重要的，它們之所以成為討論的中心，僅僅是因為公理述說了它們之間的關系。換句話說，無論把它們稱為點、線、面，還是把它們稱為桌子、椅子、啤酒瓶，最終推理得到的結論都是一樣的?！盵6]

正是基于這樣的思想，小學階段“數(shù)與代數(shù)”領域，把傳統(tǒng)的“數(shù)的認識”“數(shù)的運算”“常見的量”“探索規(guī)律”“式與方程”“正比例、反比例”六個主題整合為“數(shù)與運算”“數(shù)量關系”兩個主題。小學階段“圖形與幾何”領域，把傳統(tǒng)的“圖形的認識”“測量”“圖形的運動”“圖形與位置”四個主題整合為“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”兩個主題。另外，把“數(shù)的認識”“數(shù)的運算”兩個主題整合為“數(shù)與運算”一個主題，基本上就是采用了“研究對象+”的原則。因此，在課程標準實施的過程中，以及教材編寫和教學活動中，都應當注意將數(shù)學概念的教學與“+”的內(nèi)容融為一體，這樣的教學才有利于突出數(shù)學本質(zhì)，才有利于學生形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

針對過去義務教育階段數(shù)學課程不重視代數(shù)推理的現(xiàn)象，2022年版數(shù)學課程標準明確提出“增加代數(shù)推理，加強幾何直觀”的主張，這與2017年版普通高中數(shù)學課程標準保持一致，體現(xiàn)了通過幾何建立直觀、通過代數(shù)予以表達的現(xiàn)代數(shù)學的基本特征。

總之，義務教育階段的數(shù)學教育，要關注學生現(xiàn)實生活的需要，更要關注學生未來發(fā)展的可能性；要關注學生知識技能的掌握，更要關注學生思維能力的提升；要關注學生數(shù)學知識的進階，更要關注學生核心素養(yǎng)的發(fā)展?；谶@樣的考量，義務教育階段數(shù)學課程的總目標，就可以用“三會”所表述的核心素養(yǎng)統(tǒng)領“四基”“四能”和“情感態(tài)度價值觀”，這不僅繼承了我國數(shù)學教育的傳統(tǒng)特色與合理內(nèi)核，還體現(xiàn)了與時俱進的發(fā)展理念。