尹元洪

（仙游縣教師進(jìn)修學(xué)校，福建 仙游 351200）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：習(xí)題的設(shè)計(jì)要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法。探究性作業(yè)指的是在教師預(yù)設(shè)的探究性問題的引領(lǐng)下，學(xué)生在已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)及思維方式的基礎(chǔ)上，親歷創(chuàng)意思考、動(dòng)手探索、解決問題的學(xué)習(xí)過程的一種作業(yè)形式。探究性作業(yè)以滿足學(xué)習(xí)的鞏固、復(fù)習(xí)、應(yīng)用、拓展需要為目標(biāo)，從知識(shí)的本源出發(fā)，關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)。它依托的基礎(chǔ)是“探究性問題”，作業(yè)完成的標(biāo)志回歸到學(xué)生是否解決了問題，是否經(jīng)歷了探究的過程，并且將已有的知識(shí)和方法運(yùn)用到探究問題的過程中。

探究性作業(yè)當(dāng)在課堂內(nèi)外應(yīng)然而生，供學(xué)生自主選擇，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)作業(yè)相比較，其呈現(xiàn)方式多樣，解決問題的方法更具靈活性、針對(duì)性和開放性，更能滿足學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)的需要。同時(shí)，減少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)作業(yè)機(jī)械重復(fù)、千人一面、思維含量低等問題。在學(xué)習(xí)探究新知之后，讓作業(yè)任務(wù)盡可能再次成為學(xué)習(xí)的探究之旅，從而解決問題，提高素養(yǎng)，提升思維品質(zhì)。［1］本文試從以下五個(gè)方面，探討如何設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)探究性作業(yè)。

一、把握概念內(nèi)涵探究，設(shè)計(jì)概念表征性作業(yè)

數(shù)學(xué)概念是在大量分析判斷、提煉概括的基礎(chǔ)上總結(jié)出來的數(shù)學(xué)成果。它借助符號(hào)化表達(dá)與文字表述，將復(fù)雜的知識(shí)抽象為簡單的文字或符號(hào)說明，讓人能夠清晰理解其深刻內(nèi)涵。對(duì)于小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)概念相對(duì)抽象，不易理解，導(dǎo)致其概念不清，越學(xué)越糊涂。因此，在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)后，為了發(fā)展學(xué)生的歸納推理、提煉概括、辨析判斷能力，以及良好的數(shù)學(xué)概念理解能力，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，正確理解與運(yùn)用概念，可以設(shè)計(jì)概念表征型探究性作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖像、文字或語言來表征概念，表達(dá)自己對(duì)概念的理解。

例如，學(xué)習(xí)“簡易方程”時(shí)，教師設(shè)計(jì)以下開放性的探究性作業(yè)，“3ⅹ+（ ）=20 是方程嗎？3+（ ）=10 是方程嗎？請(qǐng)用20+ⅹ=30 描述生活中的一件事?！睂W(xué)生站在“方程的定義”角度完成作業(yè)，嘗試填寫不同的答案，發(fā)現(xiàn)3+（ ）=10，若（ ）中寫的是7，就不是方程，因?yàn)闆]有未知數(shù)；而3ⅹ+（ ）=20 則是方程，因?yàn)樗稀暗仁健薄昂形粗獢?shù)”的要求。然后要求運(yùn)用20+ⅹ=30 來描述生活中的事情，意在激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言來表征概念，從而更加深刻地理解概念。

在對(duì)數(shù)的意義、運(yùn)算定律、圖形與幾何及統(tǒng)計(jì)與概率的名稱、概念等進(jìn)行理解闡述時(shí)，亦可設(shè)計(jì)此類概念表征性作業(yè)。教師應(yīng)著力啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，洞悉概念要義，準(zhǔn)確地以自己的方法理解、說明概念，將自己對(duì)概念理解的思路、對(duì)問題思考的過程，以語言描述、算式表達(dá)、圖形表示、思維導(dǎo)圖、文字符號(hào)等方式可視化地表征出來，從而加深對(duì)概念的理解，靈活運(yùn)用知識(shí)、內(nèi)化知識(shí)。

二、關(guān)注整體結(jié)構(gòu)探究，設(shè)計(jì)知識(shí)綜合性作業(yè)

數(shù)學(xué)知識(shí)縱橫交錯(cuò)，是一個(gè)有聯(lián)系的整體。作業(yè)是學(xué)習(xí)的拓展與延伸，是數(shù)學(xué)知識(shí)的意志和呈現(xiàn)，知識(shí)的整體性、連貫性和系統(tǒng)性，在數(shù)學(xué)作業(yè)中應(yīng)予以充分體現(xiàn)。［2］在教學(xué)中，需要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究學(xué)習(xí)。同時(shí)，設(shè)計(jì)一些知識(shí)綜合探究性作業(yè)，讓學(xué)生整體地感知數(shù)學(xué)知識(shí)的脈絡(luò)，更系統(tǒng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系。因此教師要啟發(fā)和鼓勵(lì)學(xué)生，幫助學(xué)生以舊引新、新舊類比，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的區(qū)別和聯(lián)系，逐步建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)知識(shí)的綜合分析與運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)能力。

例如，在學(xué)習(xí)“小數(shù)除法”知識(shí)時(shí)，教師設(shè)計(jì)以下探究性作業(yè)：

①小明有24 張動(dòng)畫卡，小明的張數(shù)是小青的3倍，請(qǐng)問小青有多少張動(dòng)畫卡？

②小明有24 張動(dòng)畫卡，小青的張數(shù)是小明的1/3，請(qǐng)問小青有多少張動(dòng)畫卡？

③小明有24 張動(dòng)畫卡，小青與小明張數(shù)的比為1∶3，請(qǐng)問小青有多少張動(dòng)畫卡？

問：如果都用“24÷3=8（張）”來解答，你認(rèn)為正確嗎？為什么？

學(xué)生先分析除法、分?jǐn)?shù)、比例的概念，再分析問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)站在除法、分?jǐn)?shù)、比例的核心本質(zhì)的角度來看“24÷3=8（張）”，這個(gè)答案是正確的。但是從概念的角度分析，這三道題是不同的概念，若要體現(xiàn)問題的區(qū)別與除法、分?jǐn)?shù)、比例概念的不同，就需要分別用：“①24÷3=8（張）；②24×（1/3）=8（張）；③解方程：ⅹ∶24=1∶3，ⅹ=8”來解題。其關(guān)鍵點(diǎn)在于三者概念不同，但是回歸到本質(zhì)又相似。學(xué)生在完成這類知識(shí)綜合探究性作業(yè)的過程中，不僅學(xué)會(huì)類比分析、區(qū)分異同點(diǎn)，提升辨析思維，而且強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，從而構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

三、滲透思想方法探究，設(shè)計(jì)建構(gòu)模型性作業(yè)

數(shù)學(xué)思想是人們經(jīng)過長期的數(shù)學(xué)研究后形成的本質(zhì)性的統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，是“四基”之一，是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與核心，能夠幫助人們科學(xué)地思考問題、探索規(guī)律、獲得解題的策略。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在數(shù)學(xué)思想與方法的掌握，重在以數(shù)學(xué)思想和方法引領(lǐng)學(xué)習(xí)。如果學(xué)生能夠真正理解領(lǐng)悟隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的思想和方法，將更加全面、深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更加得心應(yīng)手地應(yīng)用數(shù)學(xué)。小學(xué)階段是數(shù)學(xué)思維形成的重要時(shí)期，是抽象邏輯思維的進(jìn)階階段，可借助探究性作業(yè)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想和方法的熏陶與滲透，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

數(shù)學(xué)模型建構(gòu)強(qiáng)調(diào)對(duì)真實(shí)問題情境的抽象與概括、解釋和應(yīng)用，教師可通過設(shè)計(jì)這類探究性作業(yè)，理清數(shù)學(xué)邏輯體系，助力學(xué)生模型性、系統(tǒng)性地學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)內(nèi)涵，切實(shí)提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。如人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“數(shù)學(xué)廣角”學(xué)習(xí)單元，以生活中常見的數(shù)學(xué)活動(dòng)為依托，通過感受數(shù)學(xué)現(xiàn)象、積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)探究過程，從而滲透數(shù)學(xué)方法、感悟數(shù)學(xué)思想、建立數(shù)學(xué)模型。因此，教師在“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)中，要巧妙滲透數(shù)學(xué)思想方法，設(shè)計(jì)建構(gòu)模型性作業(yè)，從而啟迪、喚醒學(xué)生，幫助學(xué)生學(xué)以致用、舉一反三地應(yīng)用數(shù)學(xué)。［2］

例如，在學(xué)習(xí)“植樹問題”后，教師設(shè)計(jì)探究性作業(yè)：“為什么路燈問題、樓層問題、鋸木問題都可以稱之為植樹問題？請(qǐng)舉例說明?！痹谠撟鳂I(yè)任務(wù)下，學(xué)生意識(shí)到這些實(shí)際生活中的現(xiàn)實(shí)問題，都可以劃歸到“植樹問題”這一類別中。學(xué)生舉例說明：“樓層問題”中，第1 層不需要爬，到第2 層要爬1 層樓梯，相當(dāng)于有1 個(gè)間隔；到第3 層要爬2 層樓梯，相當(dāng)于有2 個(gè)間隔。這與“植樹問題”的2 個(gè)空格，每隔5 米，兩端都種樹，10 米需要種多少棵樹類似；與“鋸木問題”中，1 刀鋸開2 段的情況也類似；“路燈問題”中，需要幾盞燈與需要種幾棵樹，也是一樣的情況。通過舉例和畫圖分析，學(xué)生建立“植樹問題”的模型，模型的關(guān)鍵是“間隔長度、間隔數(shù)、端點(diǎn)個(gè)數(shù)”，把握不同實(shí)際情況的不同點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)，即可解決這一類問題。該探究性作業(yè)任務(wù)給予學(xué)生解決問題的啟示，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的形式加以說明，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維。學(xué)生經(jīng)過這樣有思想深度、有系統(tǒng)方法的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)，獲得持久的數(shù)學(xué)思維及終生受用的解決問題的數(shù)學(xué)思想方法，更加深刻地感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值與魅力。

四、強(qiáng)化動(dòng)手操作探究，設(shè)計(jì)生活實(shí)踐性作業(yè)

數(shù)學(xué)知識(shí)來源于實(shí)際生活，也來源于動(dòng)手操作和實(shí)踐。數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際相結(jié)合，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)需要，也是提高學(xué)習(xí)趣味性、深刻性、應(yīng)用性的重要手段。學(xué)生對(duì)自己身邊的事物最感興趣，如果生活中的問題能運(yùn)用課堂所學(xué)的知識(shí)來解決，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)與探究的積極性。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重實(shí)踐性和生活性，在生活化的情境中，創(chuàng)設(shè)實(shí)踐性練習(xí)，通過動(dòng)手操作、使用紙筆工具等，促使學(xué)生掌握分析問題、解決問題的方法。通過這類探究性作業(yè)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知與吸納，使知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生自己的實(shí)踐技能，提高實(shí)踐應(yīng)用能力。在操作實(shí)踐、主動(dòng)探究問題的活動(dòng)過程中，學(xué)生不僅獲得與實(shí)際生活緊密關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且增加動(dòng)手操作的技能，提升解決復(fù)雜問題的能力。

例如，教學(xué)“可能性”知識(shí)時(shí)，教師設(shè)計(jì)探究性作業(yè)“制作贏的可能性為八分之一的游戲”。學(xué)生模仿生活中常見的游戲類型，動(dòng)手制作“轉(zhuǎn)盤”游戲。并結(jié)合贏的可能性進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)要將圓形轉(zhuǎn)盤平均分成8 份，即將360°除以8，得出每份為45°。這類探索制作活動(dòng)須在教師的正確引導(dǎo)下開展，通過準(zhǔn)備硬紙板，剪切、畫圖、設(shè)計(jì)，安裝轉(zhuǎn)動(dòng)的指針等相關(guān)環(huán)節(jié)，動(dòng)手操作完成游戲工具的制作。在探究性作業(yè)完成的過程中，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，動(dòng)手動(dòng)腦，學(xué)以致用。同時(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，提升動(dòng)手實(shí)踐操作的能力。

人教版教材中，一系列“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)打破了課堂內(nèi)外的隔閡，意在培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，促進(jìn)其思維力與創(chuàng)造力的發(fā)展。教師在設(shè)計(jì)與“綜合與實(shí)踐”相關(guān)的動(dòng)手操作探究、生活實(shí)踐性作業(yè)時(shí)，應(yīng)圍繞探究性問題展開綜合分析，在實(shí)踐練習(xí)中讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在調(diào)查分析中讓學(xué)生內(nèi)化知識(shí)，進(jìn)而應(yīng)用知識(shí)、掌握技能，解決現(xiàn)實(shí)生活問題。

五、聚焦假設(shè)驗(yàn)證探究，設(shè)計(jì)合作嘗試性作業(yè)

合作學(xué)習(xí)不僅使師生、生生之間的關(guān)系和諧、順暢，還能促進(jìn)課堂教學(xué)提質(zhì)增效。為了引發(fā)學(xué)生對(duì)問題的探究欲，教師要把握時(shí)機(jī)，適時(shí)創(chuàng)造條件，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作探究性學(xué)習(xí)。讓學(xué)生積極地提出問題、思考問題，認(rèn)真分析，分工合作，大膽嘗試，試著使用假設(shè)、驗(yàn)證的方法來解決問題，同時(shí)在自主探究、解決問題的過程中，尋找解決問題的辦法和正確的答案，增強(qiáng)思辨能力和分工合作交流的意識(shí)。［3］

例如，“某地遭遇暴雨，水庫水位已經(jīng)超過警戒線，急需泄洪。這個(gè)水庫有兩個(gè)泄洪口，只打開A 口，8 小時(shí)可以完成任務(wù)；只打開B 口，6 小時(shí)可以完成任務(wù)。如果兩個(gè)泄洪口同時(shí)打開，幾小時(shí)可以完成任務(wù)？”這是一個(gè)可以利用的假設(shè)驗(yàn)證類探究性作業(yè)素材。解題過程中，一部分學(xué)生困惑不解，他們認(rèn)為，已知條件中沒有說明“這個(gè)水庫總水量有多少”，如何求出“兩個(gè)泄洪口同時(shí)打開，幾小時(shí)可以完成任務(wù)”這一問題。此時(shí)，教師可以根據(jù)題目設(shè)計(jì)的意圖，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生分組解決問題：第一組，假設(shè)水庫的總水量為1800 萬立方米；第二組，假設(shè)水庫的總水量為3000 萬立方米；第三組，自由假設(shè)水庫的總水量（合理范圍內(nèi)）；第四組，把水庫的總水量看作單位“1”。然后讓各小組派代表展示交流結(jié)果，發(fā)現(xiàn)假設(shè)的4 種水庫的總水量雖然各不相同，但是最后計(jì)算得出的答案是相同的。學(xué)生在該案例的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷了自主探究、解決問題的過程，運(yùn)用假設(shè)、驗(yàn)證等策略解決問題，學(xué)會(huì)解決問題的方法，發(fā)展求知探索、解決問題的能力。［3］

諸如“工程問題”“行程問題”“雞兔同籠問題”“用比例解問題”等知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)，亦可布置這類探究性作業(yè)。讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)進(jìn)行假設(shè)驗(yàn)證，給學(xué)生以合作嘗試的機(jī)會(huì)，分工協(xié)作，共同探究驗(yàn)證數(shù)學(xué)知識(shí)，合作完成學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)與探究能力的提升。

總之，探究性作業(yè)可以幫助學(xué)生掌握知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)分析和解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的探究能力、實(shí)踐能力。探究性學(xué)習(xí)具有一定的挑戰(zhàn)性，在初期階段，學(xué)生難免感覺困難，通過教師積極的指導(dǎo)、正確的訓(xùn)練后，學(xué)生的解題能力、思辨水平將逐步得到提升。故此教師要有意設(shè)計(jì)、編排一些契合學(xué)生學(xué)習(xí)、生活實(shí)際的探究性作業(yè)，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試和探究、實(shí)踐與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。