吳兆榮，朱麗芹

（濟南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟南 250022）

引言

“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，是一門大課，分三學(xué)期學(xué)習(xí)，由大一到大二完成，是后繼課“復(fù)變函數(shù)”“實變函數(shù)”“微分方程”“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”“泛函分析”“計算方法”等的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)專業(yè)考研的專業(yè)基礎(chǔ)課，因此“數(shù)學(xué)分析”的重要性不言而喻。學(xué)生開學(xué)的第一節(jié)課基本都是“數(shù)學(xué)分析”，接觸大學(xué)專業(yè)課的第一位教師往往就是數(shù)學(xué)分析教師，所以學(xué)生對分析教師印象深刻，意味著分析教師對學(xué)生的影響比較大，在學(xué)生的三觀沒有完全定型前，教師教書與育人同等重要，在傳授知識的同時加入一些思政元素非常有必要，因此我們對“數(shù)學(xué)分析”做了課程思政[1]研究與實踐。

1 文化自信

文化自信包括對數(shù)學(xué)文化的自信和對中國文化的自信。

1.1 數(shù)學(xué)文化自信

第一次上課之前把三次數(shù)學(xué)危機[2]的資料發(fā)到數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)交流QQ 群，在講第一章第一節(jié)實數(shù)[3]中可以適當講一下，我們今天看來很自然很輕松的問題，實數(shù)由有理數(shù)與無理數(shù)構(gòu)成，但當年無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)卻掀起巨大風(fēng)波，導(dǎo)致第一次數(shù)學(xué)危機。在講第七章實數(shù)的完備性時，適當講一下第二次數(shù)學(xué)危機，微積分誕生初期解決了很多問題同時又產(chǎn)生了很多矛盾，引起很大爭論，19 世紀初期發(fā)現(xiàn)分析學(xué)的不嚴密性到了非解決不可的地步，經(jīng)過很多數(shù)學(xué)家的努力，發(fā)現(xiàn)研究微積分需要用到極限，而研究極限又要用到實數(shù)，因此實數(shù)理論是必須解決的基礎(chǔ)理論。最終確定六大定理，這六個定理相互等價，它們都充分體現(xiàn)了實數(shù)的完備性。有了實數(shù)理論做基礎(chǔ)，給出極限的嚴格定義，再用極限給出導(dǎo)數(shù)、積分的準確定義，這樣微積分的嚴密化基本完成。第二次數(shù)學(xué)危機的解決，促進了微積分的發(fā)展且完善了數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。通過適當介紹數(shù)學(xué)危機與數(shù)學(xué)的發(fā)展，能夠培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的興趣與自信。

1.2 中國文化自信

在講極限時，先講中國古代對極限思想的描述，如我國莊子《天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。劉徽為《九章算術(shù)》作注時提出“割圓術(shù)”：用正多邊形逼近圓周。他說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！边@都是極限論思想的成功應(yīng)用，以此培養(yǎng)學(xué)生民族自豪感和堅定的中國文化自信。

2 數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想

2.1 對立統(tǒng)一

在數(shù)學(xué)分析中哲學(xué)思想隨處可見，學(xué)生自學(xué)不一定能悟到，需要教師在講課中給學(xué)生點撥一下，這樣可以有意識地去培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點。數(shù)學(xué)分析中對立又統(tǒng)一的概念成對出現(xiàn)，如收斂與發(fā)散、無窮小量與無窮大量、連續(xù)與間斷、微分與積分、正常積分與反常積分、一致連續(xù)與非一致連續(xù)、一致收斂與非一致收斂等。其中一致連續(xù)與非一致連續(xù)是比較難掌握的，雖然可以利用數(shù)形結(jié)合形象地解釋，但能夠準確地理解掌握還是需要用對立統(tǒng)一的思想。

2.2 特殊到一般

牛頓與萊布尼茨是微積分的創(chuàng)始人，牛頓是從力學(xué)角度研究給出導(dǎo)數(shù)概念及其物理意義，萊布尼茨從幾何角度給出導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義，同時他們又各自研究積分，著名的公式是牛頓-萊布尼茨公式，雖然他們出發(fā)的角度不同，但從最后結(jié)果看是殊途同歸，從本質(zhì)上是研究的一樣的數(shù)學(xué)問題。講導(dǎo)數(shù)定義前，先從兩個例子出發(fā)，讓學(xué)生在實例中尋找掩藏在現(xiàn)象背后的規(guī)律，再從特殊到一般，抽象出導(dǎo)數(shù)定義，從理論上系統(tǒng)研究后，再從一般到特殊，講導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義。

2.3 量變到質(zhì)變

有限個實數(shù)相加其和一定存在且為一個實數(shù)，而無限個數(shù)相加會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果呢？通過舉例引導(dǎo)，提出問題：無限個數(shù)相加是否存在和，如果存在和，怎么求出和？如果不存在和，原因是什么？顯然無限個數(shù)相加比有限個數(shù)相加要復(fù)雜得多，需要進一步深入研究。從而引出數(shù)項級數(shù)這一章，通過學(xué)習(xí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無限個有理數(shù)相加結(jié)果可能是無理數(shù)，無限個數(shù)相加結(jié)果也可能是無窮大，無限個數(shù)相加也可能沒有結(jié)果，充分體會到了量變到質(zhì)變的過程，體會到數(shù)學(xué)中的辯證法思想。

3 科學(xué)精神與科學(xué)方法

3.1 深度思考

第一堂課講到數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)方法，引用我國數(shù)學(xué)家華羅庚先生的名言，要打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有二個必經(jīng)過程：先學(xué)習(xí)、接受“由薄到厚”；再消化、提煉“由厚到薄”。鼓勵學(xué)生不僅要多思考，更要深度思考。在后續(xù)講課中，常常用問題導(dǎo)入法引起學(xué)生思考，然后逐步地解決問題，在講課過程中或最后總結(jié)時，又提出新問題作為思考題留給學(xué)生深度思考。如，在學(xué)習(xí)可積函數(shù)類時，閉區(qū)間上有界函數(shù)，間斷點個數(shù)多少就不影響一元函數(shù)的可積性？平面上有界閉集上的有界函數(shù)，間斷點個數(shù)又是多少就不影響二元函數(shù)的可積性？空間中有界閉集上的有界函數(shù)，間斷點的個數(shù)又是多少不影響三元函數(shù)的可積性？通過學(xué)習(xí)研究得出結(jié)論：一元函數(shù)間斷點集合的長度等于零，二元函數(shù)間斷點集合的面積為零，三元函數(shù)間斷點的體積為零，而且這些間斷點也不影響定積分值、二重積分值、三重積分值。留下思考題“這些問題有相似之處，從高度抽象角度能否變成一個問題？”讓學(xué)生開拓思維，也為后繼課實變函數(shù)的學(xué)習(xí)留下伏筆。

3.2 克服學(xué)習(xí)困難

用“ ”數(shù)學(xué)語言敘述極限定義，初學(xué)者往往不好理解，是學(xué)習(xí)的難點，但又是學(xué)習(xí)的重點，必須熟練掌握。這種語言表達形式抽象難懂，怎么讓學(xué)生不畏懼？我們先講用幾何直觀描述極限，有不準確性，再講這個問題解決的歷史背景，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯在當中學(xué)教師時，將分析做到“算術(shù)化”，他反對“變量無限趨向于”之類的說法，認為變量無非是一個字母，用來表示某區(qū)間內(nèi)的數(shù)。這一想法導(dǎo)致了變量取值這樣的表示方法。這樣，在他手里，終于得到了現(xiàn)今廣泛采用“ ”的定義，完全擺脫了幾何直觀描述所帶來的模糊概念。讓學(xué)生從思想上認識它的重要性，同時用數(shù)形結(jié)合的方法講解，最后讓學(xué)生感覺不是多么難理解。

3.3 向科學(xué)家學(xué)習(xí)

熟練掌握不定積分與定積分的計算，需要做很多題加強訓(xùn)練，學(xué)生有點不耐煩，這時講講我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生的故事，蘇步青說他學(xué)微積分時，做了一萬道題，正是有了這樣的決心和毅力才成就了他后來的成功。還有現(xiàn)在的密碼女神王小云，當年是怎樣破譯密碼MD5 的？所有的數(shù)學(xué)模型，有一百多個方程都是她用手一個一個算出來的。這些小故事讓學(xué)生認識到學(xué)數(shù)學(xué)做練習(xí)就是練基本功，這個過程很重要。

3.4 類比與推廣

多元函數(shù)許多概念、性質(zhì)、定理都是在一元函數(shù)的系統(tǒng)理論下，繼承和發(fā)展的基礎(chǔ)上提出來的，但多元函數(shù)的性質(zhì)要比一元函數(shù)復(fù)雜得多。在授課過程中，充分利用類比與推廣的方法，如把多元函數(shù)用點函數(shù)形式表示，這樣多元函數(shù)的極限、連續(xù)的定義及平面上完備性定理的敘述形式，由一元函數(shù)類似地推廣過來，同時探討哪些方面不同，加強學(xué)習(xí)不同點。再如，數(shù)列收斂的柯西準則類比推廣到函數(shù)列一致收斂的柯西準則；數(shù)項級數(shù)收斂的柯西準則類比推廣到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則；反常積分收斂的柯西準則類比推廣到含參量反常積分一致收斂的柯西準則。通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生感受到，類比與推廣是研究數(shù)學(xué)分析非常重要的方法，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的一種很好的手段。

3.5 數(shù)學(xué)技巧

在數(shù)學(xué)分析中很多稍微難一點的問題或綜合性問題，如果僅僅知道證明方法是證不出來的，原因是里面的技巧不知道。如，應(yīng)用單調(diào)有界定理證明問題，大方法一致但里面技巧不同，技巧不會就導(dǎo)致不會做。再如，關(guān)于二個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等定理的證明，這個定理證明過程中輔助函數(shù)做得比較巧妙。所以在講課時提醒學(xué)生要重視這些數(shù)學(xué)技巧，有些技巧不是一時就能想出來的，但可以慢慢學(xué)習(xí)掌握，遇到類似的問題會用，再慢慢積累達到能靈活應(yīng)用，將來爭取會創(chuàng)造數(shù)學(xué)技巧解決難題。

3.6 有大局觀

系統(tǒng)的學(xué)習(xí)需要有大局觀，不能整天沉浸在局部問題中。如，講函數(shù)極限時，提醒學(xué)生從大的方面看，研究問題的思路與數(shù)列極限類似，都是研究極限的概念，極限的性質(zhì)，極限存在的條件。在講導(dǎo)數(shù)的定義、積分的定義、級數(shù)的定義時，提醒學(xué)生，數(shù)學(xué)分析中重要概念都是以極限形式給出來，所以極限理論是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。再如，含參變量積分是數(shù)學(xué)分析中比較難懂的一章，學(xué)生往往因為某些細節(jié)難懂而望而卻步，上課時可以經(jīng)常提醒學(xué)生從細節(jié)中跳出來，從大的方面看這一章主要在講用含參變量積分表示的這種新函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性），以及極限運算、求導(dǎo)運算、積分運算任意二種運算在滿足一定條件下可以交換順序。并指出最難部分含參量反常積分研究的問題與論證方法上與函數(shù)項級數(shù)極為相似，這樣大的方面明確清楚了再研究細節(jié)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來就不會感覺那么難。又如，數(shù)學(xué)分析兩本書，學(xué)習(xí)三學(xué)期，共22 章，內(nèi)容多且瑣碎，為此我把數(shù)學(xué)分析分成五大塊，極限與連續(xù)理論、一元函數(shù)微分學(xué)理論、一元函數(shù)積分學(xué)理論、級數(shù)理論、多元函數(shù)微積分學(xué)理論。上課經(jīng)常說一說，學(xué)生感覺數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容輪廓清晰，所以在學(xué)習(xí)過程中，有時需要跳出來，從大的方面看問題，思路更清晰，因此學(xué)習(xí)要有大局觀。

4 提高學(xué)習(xí)興趣，熱愛數(shù)學(xué)專業(yè)

課堂上提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的方法多種多樣，不同的內(nèi)容用不同的方法。有時通過講數(shù)學(xué)概念的背景，很容易吸引學(xué)生，如三重積分背景，講一個最貼近生活的實例切土豆丁，把土豆先切成土豆片，再切成土豆條，最后切成土豆丁，想想還原鏡頭，把所有土豆丁加在一起，就是整個土豆。把每塊土豆的質(zhì)量求出來相加就得到整個土豆的質(zhì)量。把土豆抽象成空間的一個立體，如何求這個立體的質(zhì)量呢？從而引出三重積分的積分和、三重積分的定義。通過這個貼近生活的實例激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時更熱愛生活，更熱愛所學(xué)專業(yè)。再如，現(xiàn)代科技發(fā)展離不開數(shù)學(xué)，如華為與數(shù)學(xué)，航天與數(shù)學(xué)等等，這方面文章很多，一般是把資料傳到“數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)交流QQ 群”，讓學(xué)生自己看，在課前說兩句，起到拋磚引玉的作用，因為課時有限不能占用太多上課時間。

5 結(jié)語

課程承載思政，思政寓于課程。高校教師的主要責任和擔當就是為黨育人、為國家育才。不僅要全身心投入到教學(xué)工作中，同時也要潤物無聲地把積極向上的精神、思想傳遞給學(xué)生。幫助學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。給學(xué)生打開更多的門、更多的窗，讓他們有機會去看看更大的世界。希望我們的課不僅能讓學(xué)生收獲專業(yè)知識，同時還能實現(xiàn)精神上的進步。