喻 波，梁 磊

(1.中國航空工業(yè)集團(tuán)公司洛陽電光設(shè)備研究所，河南 洛陽 471000；2.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京 211000)

0 引言

天線陣列的組陣方式多樣，波束控制靈活，被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)預(yù)警、氣象水文、無線通信系統(tǒng)等諸多領(lǐng)域[1-3]。多波束天線可以從同一孔徑產(chǎn)生多種方向圖，是陣列天線的一個(gè)重要應(yīng)用領(lǐng)域。最初，它們用于雷達(dá)系統(tǒng)中的監(jiān)視和跟蹤[4-5]。使用多個(gè)波束的優(yōu)點(diǎn)在于可以從不同的空間方向管理更多的通信/服務(wù)并在多個(gè)頻帶上操作。在干擾機(jī)或干擾信號存在的情況下，利用不同形狀的多波束方向圖可用于自適應(yīng)系統(tǒng)以保持可靠的無線鏈路，正確地處理不同的服務(wù)請求。

對于多波束陣列的實(shí)現(xiàn)方式，人們提出了許多策略來綜合可切換陣列[6]和可重構(gòu)陣列[7-9]?？汕袚Q陣列的激勵(lì)是在預(yù)定的配置列表中選擇的，而在可重構(gòu)陣列中，激勵(lì)是自適應(yīng)控制的(通常只有相位權(quán)重以簡化硬件實(shí)現(xiàn))。由于整個(gè)陣列單元都經(jīng)過優(yōu)化以產(chǎn)生每一個(gè)方向圖，所以即使每個(gè)時(shí)刻只能產(chǎn)生一個(gè)波束，也可以獲得高的輻射性能。為了避免無法同時(shí)產(chǎn)生多波束的缺點(diǎn)，采用時(shí)間調(diào)制方式是一個(gè)有效的解決方案，雖然它的理論公式[10]和獲得平均超低旁瓣方向圖[11]的第一個(gè)實(shí)際實(shí)現(xiàn)可以追溯到20世紀(jì)60年代，但是得益于射頻開關(guān)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對這種解決方案的興趣正在不斷增長，這一點(diǎn)可在天線參考文獻(xiàn)中以及時(shí)間陣列的成功應(yīng)用中得到證實(shí)。這些系統(tǒng)的主要局限性與波束形成網(wǎng)絡(luò)中射頻開關(guān)的周期性通斷、換相引起的邊帶輻射有關(guān)。然而，基于進(jìn)化算法的優(yōu)化策略(例如差分進(jìn)化[12]、模擬退火[13]、粒子群優(yōu)化[14])提供了有效的切換方案來解決這一問題。另外，時(shí)間調(diào)制陣列的理論已經(jīng)以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方式進(jìn)行了修訂和形式化[15-16]，以推導(dǎo)出精確量化與邊帶相關(guān)的功率分布的解析關(guān)系，進(jìn)一步的研究已經(jīng)涉及到方向性和增益的評估[17]及其優(yōu)化[18]。文獻(xiàn)[19]通過合成一個(gè)二元時(shí)間調(diào)制陣列來評估精確的雷達(dá)定位和跟蹤能力，在這種情況下，分別在中心和一次諧波處產(chǎn)生了兩個(gè)波束。

針對時(shí)間調(diào)制稀疏陣列天線方向調(diào)制信號綜合問題，本文首先在主瓣約束、旁瓣最大電平最低、陣元等激勵(lì)約束條件下，建立方向調(diào)制信號優(yōu)化模型；其次，通過分步迭代凸優(yōu)化(Stepwise Iterative Convex,SI-CVX)算法進(jìn)行射頻開關(guān)開啟時(shí)刻和開啟時(shí)長的優(yōu)化，解決了上述稀疏陣列的方向調(diào)制數(shù)學(xué)模型的非凸轉(zhuǎn)凸的問題；最后，通過稀疏線陣的頻域和時(shí)域仿真驗(yàn)證了所提算法的高效性。

1 陣列數(shù)學(xué)模型

由N個(gè)各向同性陣元組成的直線線陣如圖1所示。

圖1 N元直線陣列示意圖Fig.1 Linear array of N-element antennas

沒有噪聲干擾的陣列的遠(yuǎn)場輻射電場強(qiáng)度可以表示為[20]

(1)

當(dāng)該線陣受到調(diào)制周期為Tp的時(shí)間調(diào)制時(shí)，利用傅里葉級數(shù)展開將第n個(gè)陣元對應(yīng)的以Tp為調(diào)制周期的周期性開關(guān)函數(shù)Un(t)從時(shí)域變換到頻域中，展開式為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

本文基于均勻間隔的時(shí)間調(diào)制線陣，優(yōu)化陣列的靜態(tài)激勵(lì)和開關(guān)時(shí)序，抑制中心頻帶旁瓣的同時(shí)，使得邊帶在主輻射方向上形成零陷。首先分析旁瓣和邊帶優(yōu)化模型的約束條件，假設(shè)歸一化的陣元開啟時(shí)長為τ′n=[b,1]，b為陣元開啟時(shí)間的下限，由于射頻開關(guān)導(dǎo)通和斷開動(dòng)作的時(shí)間消耗，通常取b=0.01。靜態(tài)激勵(lì)歸一化幅值的絕對值為|In|∈[I0,1]，根據(jù)式(4)知，第n個(gè)陣元的開啟時(shí)長取值范圍為

(7)

τn∈τ′n∩τ″n=[τn,min,τn,max]?[0,1]

(8)

式中：τn,min=max(|w0n|,b)，τn,max=min(|w0n|/I0,1)，為了保證凸問題有解，需要滿足I0b≤|w0n|,|w0n|≤1,n=1，2，…，N。由式(4)可知，|w0n|=Inτn，|w1n|=Inτnsinc πτn，令τmin={τ1,min,τ2,min,…,τn,min}，τmax={τ1,max,τ2,max,…,τn,max}，且sinc(·)在[0,π]的區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，W1取值范圍為

|W0|sinc πτmax≤|W1|≤|W0|sinc πτmin。

(9)

基于上述分析，陣元等間距排列的時(shí)間調(diào)制線陣的方向調(diào)制數(shù)學(xué)模型為

(10)

式(10)是非凸的，可以通過對約束的松弛處理，使得非凸問題轉(zhuǎn)化為可以求解的凸問題。對于一個(gè)復(fù)變量，其絕對值不小于實(shí)部的值，即|·|≥Re(·)。為了保證主波束指向期望方向，對絕對值函數(shù)的虛部進(jìn)行約束，使得lm(·)=0。式(10)可轉(zhuǎn)化為

(11)

由上述分析知，如果式(11)中W0是變量已知，在靜態(tài)激勵(lì)的幅值|In|已知的條件下，可以確定τmin和τmax的值，則約束4和約束5的上約束是凸的。因此，式(11)的優(yōu)化問題可以分為兩步處理，下面運(yùn)用凸優(yōu)化算法分兩步求解式(11)的問題。

2 分步迭代凸優(yōu)化算法

根據(jù)前文分析，第一步需要求解等效激勵(lì)系數(shù)W0，式(11)被分解為求解中心頻帶性能的優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型為

(12)

式(12)的目標(biāo)函數(shù)和約束均是凸的，可以通過Matlab的CVX工具箱求解。優(yōu)化后可得W0，同時(shí)求出旁瓣電平。在此基礎(chǔ)上優(yōu)化邊帶電平，使其在主輻射方向上形成零陷，優(yōu)化模型為

(13)

(14)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文SI-CVX算法對方向調(diào)制信號方向圖綜合的性能，對均勻間隔時(shí)間調(diào)制陣列進(jìn)行了仿真，并與文獻(xiàn)[21-22]的仿真結(jié)果進(jìn)行了對比。本次仿真考慮一個(gè)初始陣元數(shù)量為16的以λ/2為初始間隔均勻布局的直線陣。陣列采用等幅同相激勵(lì)，優(yōu)化目標(biāo)為在-30 dB的旁瓣約束條件下，得到方向調(diào)制信號。一階邊帶和二階邊帶在主輻射方向上的δ1,δ2設(shè)置為相等。文獻(xiàn)[21-22]也做過類似的實(shí)驗(yàn)，但是采用的是以λ/2為間隔的陣元均勻布局。

3.1 頻域特性分析

本文算法經(jīng)過11次迭代后算法收斂，優(yōu)化過程耗時(shí)4.837 s。優(yōu)化后的方向調(diào)制信號方向圖如圖2所示，中心頻帶的主輻射方向?yàn)?°，半功率波束寬度(HPBW)為8.4°，旁瓣電平為-31.75 dB，低于文獻(xiàn)[21]的-30 dB。一階邊帶和二階邊帶在主輻射方向的優(yōu)化電平分別為-54.58 dB和-51.19 dB。第一邊帶電平為-16.43 dB，第二邊帶電平為-20.33 dB。邊帶電平均低于文獻(xiàn)[21]。優(yōu)化后的主輻射方向上，中心頻帶信號與邊帶信號的差值相差50 dB以上，較好地抑制了邊帶輻射。雖然文獻(xiàn)[22]的邊帶峰值輻射電平較低，但是在主輻射方向上的一階邊帶和二階邊帶的輻射強(qiáng)度僅為-42 dB，與文獻(xiàn)[21]和本文的優(yōu)化結(jié)果相比較差。具體的參數(shù)對比情況見表1，表1中PSLL為最大峰值旁瓣電平，PSBL為峰值邊帶電平。

圖2 中心頻帶、一階邊帶和二階邊帶構(gòu)成的方向調(diào)制信號方向圖Fig.2 Directional modulation pattern composed by main band,the first sideband and the second sideband

表1 SI-CVX算法優(yōu)化的方向調(diào)制信號參數(shù)與PSO和GA算法的比較Table 1 Comparison of SI-CVX algorithm with PSO and GA algorithms

圖3為陣列天線在0°，15°，30°及70°的頻譜圖(包含正負(fù)15個(gè)邊帶)。從圖3中看出，在主輻射方向0°只有主頻率，不受時(shí)間調(diào)制的影響，在其他角度上均存在頻率各異的邊帶頻譜，而且頻譜的功率均大于主頻率的功率，接收機(jī)很難從這些信號中篩選出載波信號，保證了信號傳輸?shù)陌踩浴?/p>

圖3 不同角度上的輻射頻譜分布Fig.3 Spectrum distribution at different angles

3.2 時(shí)域特性分析

單獨(dú)看一個(gè)調(diào)制周期內(nèi)的每個(gè)時(shí)間段，都是一個(gè)傳統(tǒng)的陣列天線，每個(gè)時(shí)間段均為均勻激勵(lì)線陣。圖4給出了7個(gè)時(shí)間段的功率方向圖。在主輻射方向，7個(gè)時(shí)間段的輻射電平一致，而在旁瓣區(qū)域，由于邊帶電平的引入，各個(gè)時(shí)段的輻射強(qiáng)度各有差異。該結(jié)果驗(yàn)證了主輻射方向上僅存在中心頻帶信號，而且旁瓣區(qū)域的寬頻帶可以模擬噪聲信號，防止非目標(biāo)方向上的有用信息被竊取。

圖4 不同時(shí)間段的時(shí)域方向圖Fig.4 Time domain patterns in different time periods

線陣的陣元采用等間距排列，因此方向性系數(shù)即為陣元個(gè)數(shù)[23]。經(jīng)過計(jì)算，期望方向上的方向性系數(shù)為D=10，而且并不隨開關(guān)動(dòng)作的變化而變化，其他方向上的方向性系數(shù)隨著開關(guān)動(dòng)作而變化，其方向性系數(shù)隨時(shí)間的變化情況如圖5所示。

圖5 方向性系數(shù)隨時(shí)間的變化情況Fig.5 The change of directional coefficient with time

圖5中為對不同的方位角θ進(jìn)行采樣得到的各個(gè)時(shí)間段的陣列方向性系數(shù)，可看出，當(dāng)θ=0°時(shí)，整個(gè)調(diào)制周期內(nèi)，陣列因子方向性系數(shù)始終為10，在其他輻射方向上，隨著時(shí)間推移，θ分別為15°,30°,70°時(shí)的方向性系數(shù)隨陣元開關(guān)的切換而跳變，范圍在-5～5之間，遠(yuǎn)小于θ=0°時(shí)的增益。該結(jié)果進(jìn)一步說明期望方向上的陣列增益穩(wěn)定，沒有邊帶干擾。

4 結(jié)束語

針對時(shí)間調(diào)制稀疏陣列的邊帶利用問題，本文提出了一種分步迭代凸優(yōu)化算法，在滿足主/旁瓣約束和陣元等激勵(lì)條件下降低了主輻射方向上的邊帶電平，有效抑制邊帶輻射給主輻射方向帶來的信號干擾，并通過對邊帶信號的方向調(diào)制，在旁瓣區(qū)域形成方向性系數(shù)隨時(shí)間可變的輻射信號，提升了無線通信的安全性。本文將上述算法應(yīng)用于稀疏線陣的仿真分析，并與PSO，GA算法進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，本文SI-CVX算法優(yōu)化的旁瓣電平比采用PSO,GA算法優(yōu)化的旁瓣電平均降低了1.75 dB。同時(shí)，旁瓣方向上能夠形成有效的干擾信號，而且該算法優(yōu)化結(jié)果比進(jìn)化算法所得優(yōu)化結(jié)果穩(wěn)定，從而驗(yàn)證了算法的穩(wěn)定性和高效性。