張逸航，王玉惠,，王 剛，劉昊天

(1.南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京 211000；2.光電控制技術(shù)重點實驗室，河南 洛陽 471000)

0 引言

武裝直升機(jī)發(fā)射火箭彈武器時，火箭彈尾焰沖擊發(fā)射架，導(dǎo)致產(chǎn)生后坐力。后坐力打破直升機(jī)原有的平衡狀態(tài)，使得直升機(jī)的姿態(tài)發(fā)生變化。若沒有及時對姿態(tài)進(jìn)行有效調(diào)整，后坐力作用效果累加會嚴(yán)重影響射擊精度，甚至威脅載機(jī)安全[1]。合理、有效地克服后坐力產(chǎn)生的影響，能夠大幅提升直升機(jī)火箭彈射擊效能。

在后坐力補(bǔ)償控制方面，已經(jīng)取得不少成果。夏良[2]分析了武器外掛對載機(jī)的基本參數(shù)以及穩(wěn)定性的影響，并比較前飛與懸停發(fā)射對直升機(jī)產(chǎn)生的影響。邢君等[3]、魏衡華等[4]將后坐力視為一種擾動現(xiàn)象，采用PID控制，有效地抑制了射擊擾動。于志等[5]在研究了后坐力對載機(jī)影響的基礎(chǔ)上，提出基于非線性H∞方法的后坐力補(bǔ)償控制方案。雖然文獻(xiàn)[2-5]實現(xiàn)了武器系統(tǒng)和載機(jī)在后坐力的作用下仍能保持穩(wěn)定，但均未涉及補(bǔ)償控制時間的要求。終端滑模控制[6]、模型預(yù)測控制[7]、預(yù)設(shè)性能控制[8]等均可對系統(tǒng)響應(yīng)時間進(jìn)行約束，但終端滑模控制對超調(diào)沒有限制，模型預(yù)測控制又依賴于被控對象精確的模型，相較之下，預(yù)設(shè)性能控制[9]既可實現(xiàn)對控制響應(yīng)時間的要求，也能有效避免過高的系統(tǒng)超調(diào)。

預(yù)設(shè)性能控制對設(shè)計方法限制較少，因此可根據(jù)模型特點結(jié)合不同方法的優(yōu)勢進(jìn)行設(shè)計。胡云安等[10]采用Backstepping方法對預(yù)設(shè)性能控制器進(jìn)行設(shè)計，在嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)中取得了理想的效果；ZHANG等[11]將預(yù)設(shè)性能控制與自適應(yīng)控制結(jié)合起來，研究了艦載無人機(jī)的瞬態(tài)跟蹤誤差，解決了系統(tǒng)的跟蹤控制問題；TAN等[12]針對無人機(jī)縱向模型的不確定性以及存在外部干擾的情況，提出了一種新的性能函數(shù)，并具有很好的收斂性能，設(shè)計出來的控制器具有很強(qiáng)的魯棒性。上述成果充分驗證了預(yù)設(shè)性能控制在解決實際問題上的優(yōu)勢，但由于直升機(jī)飛行特性和武器發(fā)射系統(tǒng)的復(fù)雜性，已有成果很難直接應(yīng)用于直升機(jī)的后坐力補(bǔ)償控制。

本文針對武裝直升機(jī)發(fā)射火箭彈時產(chǎn)生的后坐力問題，基于預(yù)設(shè)性能控制方法設(shè)計了后坐力補(bǔ)償控制系統(tǒng)。首先，給出了武裝直升機(jī)姿態(tài)系統(tǒng)模型，并分析火箭彈發(fā)射時產(chǎn)生的后坐力大小和后坐力力矩對載機(jī)姿態(tài)產(chǎn)生的影響；然后，結(jié)合預(yù)設(shè)性能函數(shù)對姿態(tài)系統(tǒng)跟蹤誤差進(jìn)行約束，采用Backstepping方法設(shè)計了預(yù)設(shè)性能控制器；最后，通過仿真驗證了所設(shè)計控制器的有效性。

1 武裝直升機(jī)姿態(tài)系統(tǒng)模型

如圖1所示，通過分析計算旋翼、尾槳、平尾、垂尾和機(jī)身的受力以及重力，武裝直升機(jī)的姿態(tài)動力學(xué)方程可描述為

(1)

式中：φ,θ,φ分別表示滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角；p,q,r分別表示滾轉(zhuǎn)角速度、俯仰角速度和偏航角速度；Ix,Iy,Iz分別表示x,y,z平面的轉(zhuǎn)動慣量；Mx,My,Mz分別表示滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航方向的力矩。

考慮到直升機(jī)動態(tài)系統(tǒng)具有高耦合特性，為了便于控制，需對其中部分項進(jìn)行處理。其中，由于直升機(jī)前進(jìn)比μ相對較小，因此忽略其影響。當(dāng)主旋翼轉(zhuǎn)速恒定，且主旋翼總距控制輸入保持恒定時，主旋翼拉力及扭矩力也保持恒定，在本文中，認(rèn)為主旋翼總距輸入保持恒定。經(jīng)過處理，式(1)系統(tǒng)變換為

(2)

式中：x1=(φθψ)T；x2=(pqr)T；輸入u=(a1 sb1 sθt r)T；

圖1為直升機(jī)示意圖。圖1中：Ω,Ωtr分別為主旋翼和尾槳轉(zhuǎn)速；Ts為旋翼拉力；FP為火箭彈后坐力。

圖1 直升機(jī)示意圖Fig.1 Schematic diagram of a helicopter

2 火箭彈后坐力分析

武裝直升機(jī)進(jìn)行火箭彈發(fā)射時，內(nèi)部火藥燃燒產(chǎn)生的高溫氣體經(jīng)由噴管形成了燃?xì)馍淞鱗15]。當(dāng)火箭彈脫離定向管時，其尾流場沖擊發(fā)射架，導(dǎo)致發(fā)射器與載機(jī)結(jié)構(gòu)間產(chǎn)生相互作用力，該力是后坐力的主要部分[16]。

在以往的設(shè)計中，大都將后坐力視為方向未知、大小已知的擾動，將其影響直接作用于姿態(tài)角的動態(tài)系統(tǒng)中。事實上，通過分析式(1)姿態(tài)系統(tǒng)可知，后坐力先對姿態(tài)角速度產(chǎn)生影響，繼而影響到姿態(tài)角，因此，本文進(jìn)行如下分析。

首先，火箭彈尾焰沖擊發(fā)射架可以近似為軸對稱射流對平板的斜沖擊問題。燃?xì)馍淞骺梢詣澐譃榻鼒?、中場和遠(yuǎn)場，對于近場與中場，其燃?xì)馑俣锐R赫數(shù)大于1時，燃?xì)馍淞鲿a(chǎn)生正激波，因此可以采用超聲速皮托管公式計算動壓[17-18]，即

(3)

式中：pa為壓縮激波前氣流中的燃?xì)忪o壓力；ka為氣流的絕熱指數(shù)；Me為燃?xì)馍淞黢R赫數(shù)。

當(dāng)火箭彈逐漸飛離定向管時，定向管處燃?xì)馑俣锐R赫數(shù)小于1，此時動壓算式為

(4)

氣流作用在與氣流軸線成αa角的平面上的動壓可以計算為

pα=kcpfsin2αa

(5)

式中，kc為氣流偏斜系數(shù)，一般取0.9。

接著可以計算定向管的后坐力，定向管可以分解為多個受到同等壓強(qiáng)的平面，總后坐力大小為所有平面的受力總和，即

(6)

式中：pj表示第j(j=1,2，…，n)個平面的壓力；Δσj為壓力pj作用的面積。

后坐力作用在定向管上，通過連接機(jī)構(gòu)最終影響到載機(jī)姿態(tài)，圖2為火箭彈發(fā)射架示意圖。

圖2 火箭彈發(fā)射架示意圖Fig.2 Schematic diagram of rocket launcher

當(dāng)火箭彈發(fā)射時，后坐力方向沿著定向管向后，此時力平行于xoz平面，由于短翼與重心之間存在一定的高度差，進(jìn)而產(chǎn)生影響俯仰通道的力矩。若武器為非對稱發(fā)射，后坐力的產(chǎn)生不僅影響俯仰通道，還會對滾轉(zhuǎn)與偏航通道產(chǎn)生影響，3個通道耦合起來對直升機(jī)擾動會十分嚴(yán)重。因此，在實戰(zhàn)中，通常采用左右協(xié)同發(fā)射。

后坐力產(chǎn)生的力矩可以表示為

Md=FPl

(7)

式中：Md表示后坐力力矩；l表示等效力臂長度。

左右協(xié)同發(fā)射時產(chǎn)生的后坐力對滾轉(zhuǎn)和偏航通道的影響很小，因此本文主要分析后坐力對俯仰通道的影響。在加入后坐力后，式(1)系統(tǒng)中俯仰通道的方程可以修改為

(8)

因此，式(2)可以寫為

(9)

圖3給出了直升機(jī)處于懸停狀態(tài)時，后坐力對直升機(jī)姿態(tài)系統(tǒng)中俯仰角的影響。

圖3 后坐力對俯仰角的影響Fig.3 Influence of recoil force on pitch angle

圖3中，虛線表示發(fā)射單發(fā)火箭彈造成的影響，點劃線表示間隔為100 ms的連續(xù)發(fā)射。當(dāng)直升機(jī)懸停射擊時，發(fā)射單枚火箭彈對姿態(tài)產(chǎn)生的影響較小，而連續(xù)發(fā)射時產(chǎn)生的后坐力會導(dǎo)致后續(xù)的射擊偏差逐漸增大。需要在發(fā)射間隔內(nèi)對后坐力進(jìn)行補(bǔ)償控制，以保證攻擊目標(biāo)時打擊的精確性。

3 預(yù)設(shè)性能控制器設(shè)計

預(yù)設(shè)性能控制在保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的同時，還可實現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)性能的設(shè)計要求。具體的做法是將系統(tǒng)的跟蹤誤差限制在邊界函數(shù)約束的區(qū)域內(nèi)，其誤差如圖4所示。

圖4 跟蹤誤差示意圖Fig.4 Schematic diagram of tracking error

當(dāng)e(0)>0時，跟蹤誤差e(t)被限制在性能函數(shù)ρ(t)和-δρ(t)中。其中：δ∈(0,1]，為系統(tǒng)的響應(yīng)超調(diào)量；ρ(t),-δρ(t)分別表示邊界函數(shù)的上、下邊界，e(0),ρ(0),-δρ(0)表示初始時刻的跟蹤誤差和邊界。

本文中性能函數(shù)選取為

ρ(t)=ae-bt+ρ∞

(10)

式中，a,b,ρ∞>0，為預(yù)先設(shè)定的常數(shù)。

通過合理設(shè)計性能函數(shù)邊界，可實現(xiàn)對跟蹤誤差動態(tài)響應(yīng)的超調(diào)、調(diào)節(jié)時間以及穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行限制，從而滿足后坐力補(bǔ)償控制的要求，具體設(shè)計過程詳見下文。

3.1 控制誤差轉(zhuǎn)化

在實際的控制過程中，對跟蹤誤差的處理比較困難，因此可以對其進(jìn)行空間對等映射，從而克服性能約束函數(shù)給控制器帶來的額外復(fù)雜性，實現(xiàn)性能約束空間到無約束空間的對等轉(zhuǎn)換。

定義

e(t)=ρ(t)S(ε′)

(11)

式中：ε′為轉(zhuǎn)換誤差；S(ε′)為誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)，是一個定義域為R、值域為[-1,1]的連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)。

空間映射的轉(zhuǎn)換函數(shù)一般采用對數(shù)型映射函數(shù)或者正切型映射函數(shù)，本文采用對數(shù)型映射函數(shù)，可表示為

(12)

根據(jù)式(11)，可以將誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)S(ε′)寫成

S(ε′)=e(t)/ρ(t)。

(13)

由于S(ε′)連續(xù)且單調(diào)遞增，可以將誤差轉(zhuǎn)化函數(shù)進(jìn)行逆變換得到

ε′=S-1(e(t)/ρ(t))。

(14)

對式(13)兩邊求導(dǎo)可得

(15)

將式(11)代入式(15)，并整理可以得到

(16)

針對直升機(jī)系統(tǒng)，定義跟蹤誤差為

(17)

式中：e1表示姿態(tài)角誤差；x1c表示期望姿態(tài)角；e2表示姿態(tài)角速度誤差；x2c表示期望姿態(tài)角速度。

根據(jù)式(9)，建立原系統(tǒng)的誤差模型

(18)

考慮到e1∈R3×1，在進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)化時，e1中每一個元素會對應(yīng)不同的誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)S(ε′)，因此針對eφ,eθ,eφ分別進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)化，對應(yīng)的轉(zhuǎn)化誤差為εφ,εθ,εφ，定義ε=(εφεθεφ)T。

根據(jù)式(16)，對式(18)中第1個子系統(tǒng)進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)化，可以得到

(19)

(20)

通過上述轉(zhuǎn)化，可以將預(yù)設(shè)性能函數(shù)與直升機(jī)動態(tài)方程結(jié)合起來。

3.2 控制器設(shè)計

控制器采用Backstepping方法進(jìn)行設(shè)計。

則對式(20)中第1個子系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化得

(21)

設(shè)計虛擬控制律α1為

(22)

式中，k1為設(shè)計參數(shù)，其值為正。

則有

(23)

選取Lyapunov函數(shù)

V1=0.5εTε

(24)

對其求導(dǎo)得

(25)

對式(20)中第2個子系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化得

(26)

設(shè)計實際控制律為

(27)

式中，k2為設(shè)計參數(shù)，其值為正。

則式(26)可以寫為

(28)

選取Lyapunov函數(shù)

(29)

對其求導(dǎo)得

(30)

(31)

4 仿真結(jié)果分析

為了驗證本文所設(shè)計預(yù)設(shè)性能控制器的有效性，取設(shè)計參數(shù)k1=1，k2=1。

取ρ∞=0.01，即穩(wěn)定狀態(tài)時直升機(jī)姿態(tài)變化不超過0.01°，考慮到發(fā)射間隔td=100 ms，根據(jù)式(10),取a=0.5，b=40。則采用的預(yù)設(shè)性能函數(shù)為ρ=0.5e-40t+0.01，δ=0.5。

設(shè)載機(jī)發(fā)射火箭彈時處于水平懸停狀態(tài)，定向管與發(fā)射架夾角αa=10°。在發(fā)射過程中，載機(jī)的滾轉(zhuǎn)角與偏航角受到的影響較小，因此本文主要分析俯仰角產(chǎn)生的變化。圖5給出了俯仰角隨時間變化的仿真圖像，可以看出在0.1 s時，第2發(fā)火箭彈發(fā)射，直升機(jī)俯仰角誤差變化在0.01°左右，后續(xù)發(fā)射的火箭彈也能保證其攻擊精度。

圖5 俯仰角跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curve of pitch angle

圖6和圖7分別給出了在后坐力的作用下，采用補(bǔ)償控制器前后，直升機(jī)的俯仰角速度和俯仰角的對比曲線?？梢钥闯?，未引入控制器時，俯仰角速度受后坐力影響快速增加，從而導(dǎo)致俯仰角迅速增大，載機(jī)姿態(tài)不再穩(wěn)定。采用預(yù)設(shè)性能控制器后，俯仰角穩(wěn)定性大幅增加，補(bǔ)償效果明顯。

圖6 俯仰角速度補(bǔ)償前后對比圖Fig.6 Comparison of pitch angular rates before and after compensation

圖7 俯仰角補(bǔ)償前后對比圖Fig.7 Comparison of pitch angle before and after compensation

圖8分別給出了采用預(yù)設(shè)性能函數(shù)、不采用預(yù)設(shè)性能函數(shù)與滑?？刂?種方法的對比。當(dāng)不采用預(yù)設(shè)性能函數(shù)設(shè)計控制器時，雖然最終可以收斂，但是調(diào)節(jié)時間過長。滑?？刂埔部梢赃_(dá)到控制目標(biāo)，但會帶來抖振，在本系統(tǒng)中，預(yù)設(shè)性能控制效果更好。

圖8 不同控制方法對比圖Fig.8 Comparison of different control methods

5 結(jié)論

本文針對武裝直升機(jī)進(jìn)行火箭彈發(fā)射時產(chǎn)生的后坐力問題進(jìn)行分析，根據(jù)火箭彈發(fā)射的實際情況估算出火箭彈后坐力大小。結(jié)合發(fā)射角度和發(fā)射方式對力矩進(jìn)行計算，進(jìn)而分析后坐力對載機(jī)姿態(tài)產(chǎn)生的影響。針對產(chǎn)生的影響，本文提出基于預(yù)設(shè)性能的后坐力補(bǔ)償控制方案，解決了連續(xù)發(fā)射火箭彈導(dǎo)致的直升機(jī)姿態(tài)不穩(wěn)定和射擊誤差逐漸增大的問題，仿真驗證了所設(shè)計方案的有效性。本文的研究為提高武裝直升機(jī)連射火箭彈的打擊精確性提供了重要參考。