袁卓俊 郭棟祥

（江蘇科技大學(xué) 鎮(zhèn)江 212100）

1 引言

通常設(shè)計齒輪時，首先要對齒輪強度進行核算。對于齒輪齒根應(yīng)力計算方法，最早于1893年，Lewis［1］將輪齒視為懸臂梁，以此為基礎(chǔ)計算齒根應(yīng)力值。此后，基于Lewis懸臂梁理論的齒輪齒根應(yīng)力計算方法被多數(shù)國家標準采用。現(xiàn)有標準［2～4］的齒輪齒根應(yīng)力計算里，應(yīng)力值取決于齒輪的齒形、結(jié)構(gòu)參數(shù)、工況條件，與材料屬性無關(guān)。但在文獻［5］里，D Walton闡述了非金屬齒輪由于彈性模量小，在變形影響下會導(dǎo)致齒輪實際重合度增大的可能性；在文獻［6］與［7］中，Christian Hasl與Jabbour分別嘗試以現(xiàn)有標準為基礎(chǔ)，擬定一種考慮實際重合度增大引起的塑料直齒輪與塑料斜齒輪齒根應(yīng)力計算方法。

本文采用ANSYS Workbench軟件，對鋼-塑料齒輪副單齒嚙合模型的塑料齒輪齒根應(yīng)力仿真分析，通過改變不同的彈性模量值，以及考慮輪齒撓曲變形的影響，計算不同材料彈性屬性的塑料齒輪在一定負荷下的齒根應(yīng)力。

2 試驗參數(shù)與條件

齒輪參數(shù)如表1所示，齒輪副為外嚙合標準漸開線直齒圓柱齒輪，常溫下工作。材料參數(shù)如表2所示，塑料材料的泊松比范圍μ?(0.3，0.5)，這里取泊松比值μ=0.4。齒輪副參數(shù)不變，彈性模量選取1000Mpa～4000Mpa范圍內(nèi)的4個數(shù)值，主動輪施加的扭矩T1選取0.06Nm～8Nm范圍內(nèi)的6個數(shù)值，應(yīng)用ANSYS Workbench軟件進行仿真試驗。

表1 齒輪參數(shù)

表2 材料參數(shù)

3 基于VDI 2736標準的塑料齒輪齒根應(yīng)力計算

根據(jù)VDI 2736塑料齒輪強度計算標準，齒根應(yīng)力有下列計算式：

查詢VDI 2736標準的圖表數(shù)據(jù)，通過確定式中參數(shù)，可以計算得σF2≈33.5T1。其中主動輪施加扭矩T1單位為Nm，塑料齒輪的齒根應(yīng)力σF2單位為Mpa。

4 考慮材料彈性影響的齒根應(yīng)力有限元法

聯(lián)合應(yīng)用Creo與ANSYS Workbench軟件，根據(jù)表1的齒輪參數(shù)，建立齒輪單齒嚙合模型，并定義表2的材料參數(shù)；然后對模型用六面體網(wǎng)格整體劃分；最后在塑料齒輪齒根部位網(wǎng)格細化，如圖1所示，經(jīng)過網(wǎng)格劃分后的模型，共有59048個節(jié)點和37801個單元。

圖1 網(wǎng)格劃分

在軟件中，兩個零件的接觸分為接觸體與目標體，鋼齒輪與塑料齒輪接觸，比較軟的塑料齒輪為接觸體，而較硬的鋼齒輪為目標體，輪齒接觸區(qū)需要考慮到塑料會出現(xiàn)的大變形，選用增廣拉格朗日法，可以使這種大變形問題計算更容易收斂。塑料齒輪輪齒的底面固定約束，對齒根兩側(cè)面無摩擦支撐；鋼齒輪作為驅(qū)動輪，應(yīng)用Joint命令，僅釋放鋼齒輪輪齒繞Z軸轉(zhuǎn)動的自由度，施加的載荷與約束如圖2所示。此外，考慮在負荷下塑料齒輪模型產(chǎn)生的單元位移與形變，以及形變對有限元計算中剛度矩陣變化的影響，必須打開大變形開關(guān)。

圖2 施加載荷與約束

通過計算，可以得出塑料齒輪的最大變形量、左側(cè)齒根應(yīng)力、右側(cè)齒根應(yīng)力、最大齒根應(yīng)力的取值，以及最大齒根應(yīng)力相對VDI 2736標準值的偏差。

5 齒根應(yīng)力的數(shù)值處理與結(jié)果分析

5.1 塑料輪齒的變形

塑料輪齒的變形如圖3所示，當塑料齒輪受到鋼制齒輪施加的扭矩時，塑料輪齒會呈現(xiàn)出一定的撓曲變形，其最大變形點通常在塑料輪齒的齒尖部位。將塑料輪齒的最大變形量記為s，繪制圖4曲線。圖中，當施加的扭矩很小時，不同材料彈性模量下塑料輪齒的變形相差不大；當主動輪施加的扭矩較大時，塑料材料的彈性模量越小，塑料輪齒越容易較大變形。

圖3 扭矩T1=6Nm時塑料輪齒的變形

圖4 塑料輪齒的變形曲線圖

5.2 塑料輪齒的接觸

考慮塑料輪齒變形的影響，會使輪齒的接觸狀態(tài)出現(xiàn)相應(yīng)變化。塑料輪齒的接觸如圖5～6所示。圖5～6可以看出：主動輪施加扭矩T1一定時，選用較小彈性模量的材料，會使得塑料輪齒接觸面積增大；額外增大的接觸面積開始分擔部分應(yīng)力，導(dǎo)致輪齒接觸面上最大應(yīng)力點的位置與最大應(yīng)力的數(shù)值發(fā)生改變，塑料輪齒上的載荷出現(xiàn)了重新分布。

圖5 扭矩T1=4Nm時輪齒接觸狀況

圖6 扭矩T1=4Nm時輪齒接觸區(qū)的載荷分布

5.3 塑料輪齒的齒根應(yīng)力

在主動輪施加的扭矩作用下，塑料齒輪的輪齒左側(cè)齒根存在受拉的應(yīng)力，右側(cè)齒根存在受壓的應(yīng)力。以主動輪施加的扭矩T1為橫坐標，某一側(cè)的齒根應(yīng)力σF為縱坐標，繪制曲線圖7。在圖7中，塑料齒輪兩側(cè)齒根處的應(yīng)力具有一致的變化趨勢，但齒根受壓側(cè)的應(yīng)力值普遍比受拉側(cè)的大，因此塑料齒輪最大齒根應(yīng)力應(yīng)取決于齒根受壓側(cè)。而無論是受拉還是受壓，其兩者的應(yīng)力值普遍比VDI 2736標準的理論計算值低。

圖7 塑料齒輪齒根應(yīng)力

以主動輪施加的扭矩T1為橫坐標，最大齒根應(yīng)力相對VDI 2736標準計算值的偏差為縱坐標，繪制圖8所示的偏差曲線。在圖8中，當施加的扭矩不大時，不同彈性模量下的偏差相對較小，其最小值在3%附近；如果主動輪施加的扭矩較大，則相對標準的偏差值會隨著選用材料彈性模量的減小而增大，本試驗研究中最大偏差達到18%左右。

圖8 偏差曲線圖

相對偏差值的變化，這是由于VDI 2736標準計算，將齒輪視為了剛體模型，產(chǎn)生的形變忽略不計，這種假設(shè)對于鋼制齒輪來說是成立的。但是塑料輪齒的變形對齒輪應(yīng)力的影響不可忽略，特別是較小彈性模量的齒輪材料，在撓曲變形影響下，塑料輪齒額外擴展的接觸區(qū)開始分擔部分應(yīng)力，以及塑料輪齒上載荷的重新分布，導(dǎo)致齒根處的部分應(yīng)力在一定程度上得到消除，如圖9～10所示，這會使塑料齒輪的齒根承載能力得以提高。

圖9 施加扭矩T1=4Nm

圖10 施加扭矩T1=6Nm

6 結(jié)語

應(yīng)用ANSYS Workbench軟件對鋼-塑料齒輪副單齒嚙合模型仿真試驗，模擬不同塑料材料彈性模量數(shù)值下塑料輪齒的變形，以及對塑料齒輪齒根應(yīng)力的影響，通過對比現(xiàn)有VDI 2736標準的塑料齒輪應(yīng)力計算值，分析相對標準計算值的偏差來源。試驗結(jié)果表明：單齒嚙合時，施加扭矩一定，使用較小彈性模量的齒輪材料，塑料輪齒有更大的撓曲變形，導(dǎo)致輪齒接觸面積會出現(xiàn)額外的增大，額外增大的接觸面開始分擔部分應(yīng)力，齒輪上的載荷出現(xiàn)了重新分布，齒根處的部分應(yīng)力在一定程度上得以消除，這會使塑料齒輪的齒根承載能力得到提高。