◎丁建華

(甘肅有色冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育系,甘肅 金昌 737100)

一、積分中值定理的幾何特征與補(bǔ)充

根據(jù)上面知識(shí)點(diǎn)，我們可以獲得數(shù)學(xué)分析中常用的重要積分學(xué)性質(zhì)和定理.

積分中值定理若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ,使得

這里要求函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)即可，對(duì)函數(shù)沒有嚴(yán)格要求.進(jìn)一步地，我們可將f(x)在[a,b]上連續(xù)的這一條件更改為f(x)在[a,b]上可積,其結(jié)論仍然成立.

圖1

圖2

本文給出如下兩種證明.

證法一：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上恒為常數(shù),則ξ取(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn),結(jié)論都是成立的.

若f(x)在[a,b]上為一個(gè)變量函數(shù),設(shè)M,m分別為f(x)在[a,b]上的最大值與最小值,則存在x0∈(a,b)，使得

m≤f(x0)≤M.

事實(shí)上,若這樣的x0不存在,則在[a,b]上必存在一點(diǎn)x1,使得f(x)在[a,x1]上恒有

f(x)=m(或f(x)=M),

在[x1,b]上恒有

f(x)=M(或f(x)=m).

這樣一來,x1是間斷點(diǎn),與f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)矛盾.

又f(x)在x0連續(xù),則存在δ>0,(x0-δ,x0+δ)?[a,b],當(dāng)|x-x0|<δ時(shí),有

從而

于是

即

又

同理有

于是

同理可得

因此

即

由介值定理,存在ξ∈(a,b),使得

即

其中ξ∈(a,b).

F(a)-F(b)=F′(ξ)(b-a).

于是，我們可以進(jìn)一步將積分中值定理進(jìn)行推廣.設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，g(x)在[a,b]上不能等于零，同時(shí)符號(hào)不會(huì)改變，在這樣特殊的情形下，可以得到如下的結(jié)論，

即有

但當(dāng)g(x)在[a,b]只是可積分，并且恒為正或恒為負(fù)時(shí)，前面我們進(jìn)行推導(dǎo)的思路完全行不通，即不可能成立，因?yàn)榭煞e不變號(hào)時(shí),g(x)可以等于零,我們就不能使用上面的結(jié)論了.

二、第一、第二積分中值定理的推廣及其證明

積分第一中值定理

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),g(x)在[a,b]上可積不變號(hào),則在[a,b]存在一點(diǎn)ξ,使得

積分第二中值定理

設(shè)(ⅰ)g(x)在[a,b]上連續(xù);(ⅱ)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增且連續(xù);(ⅲ)f(x)≥0,則必有ξ∈[a,b],使得

推論

1.若積分第二中值定理中的遞增改為遞減,其他條件不變的情況下,則必有ξ∈[a,b]，使得

2.若積分第二中值定理中的f(x)≥0去掉,則必有ξ∈[a,b]，使得

當(dāng)ξ所在區(qū)間[a,b]變?yōu)?a,b),其余條件、結(jié)論不變,我們就可以將積分中值定理進(jìn)一步推廣.

接下來，我們進(jìn)一步證明積分中值定理的推廣定理，先驗(yàn)證積分第一中值定理的推廣.

證明由于f(x)在[a,b]上連續(xù).設(shè)M為f(x)在[a,b]上的最大值，m為f(x)在[a,b]上的最小值,即有m≤f(x)≤M,又由于g(x)在[a,b]上定號(hào)，不妨令g(x)≥0(g(x)≤0的情況同理)，

從而有

mf(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),

即

即

于是得到

利用原積分中值定理，得

與之比較，知矛盾.

證畢！

根據(jù)積分第一中值定理的推廣證明，我們同樣可以對(duì)積分第二中值定理的推廣進(jìn)行證明.

接下來，我們?cè)囎C積分第二中值定理的推廣結(jié)果.

其中ξ∈(a,b),從而有

證畢！

三、積分中值定理的應(yīng)用

例1證明下列積分不等式:

證明(1)由積分中值定理，有

因此有

證畢.

(2)由定積分性質(zhì),有

從而

因此

如果ξ取自任意閉區(qū)間，使得積分中值定理成立,則需要將例1的證明結(jié)果做進(jìn)一步的討論.由此可見，對(duì)積分中值定理進(jìn)行改進(jìn)或者推廣對(duì)我們的學(xué)習(xí)很有幫助，當(dāng)然，我們也要合理使用該定理，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論.

這是錯(cuò)誤的,因?yàn)棣闻cn有關(guān).

正確的解法是：

而

因此

證畢！