馮軍慶, 王 非，徐 慧

(空軍工程大學)

1 引言與預備知識

若非空集合S上有兩種運算，二元加法+和三元乘法·，其中(S,+)是交換半群，(S,·)是三元半群，且滿足三元乘法對二元加法的分配律，即?x,y,z,w,v∈S,有下列式子成立：

(xyz)wv=x(yzw)v=xy(zwv)

(x+y)zw=xzw+xyw,

x(y+z)w=xyw+xzw,

xy(z+w)=xyz+xyw,

則稱S是三元半環(huán)[1].

含對合*運算的三元半環(huán)S，是指?x,y,z∈S,有(x*)*=x,(x+y)*=y*+x*,

(xyz)*=z*y*x*成立，即*是S上的反自同構，*也可以看作半環(huán)上的一元運算，把含對合*運算的三元半環(huán)稱為對合三元半環(huán).

例如設Z是整數(shù)集，規(guī)定二元加法的三元乘法就是普通整數(shù)的加法和乘法，對合運算*是取相反數(shù)，則整數(shù)集Z在上述的運算下就是一個對合三元半環(huán).

三元半環(huán)上的對合運算，有下列性質(zhì)：

(1) (x+y)*=y*+x*

(2) (xyzwv)*=[(xyz)wv]*=

[x(yzw)v]*=[xy(zwv)]*=v*w*(xyz)*=v*(yzw)*x*=(zwv)*y*x*=v*w*z*y*x*.

三元代數(shù)在數(shù)學、物理及其理論計算機中應用越來越廣泛，三元代數(shù)系統(tǒng)的概念最早是由Lehmer在1932年提出的，之后Banach給出了三元半群的概念, 1965年Sioson又研究了三元半環(huán)的理想理論[1]，三元半環(huán)的概念是由Dutta和Kar在Lister給出的三元環(huán)的基礎上于2003年提出的[2].對合半環(huán)在代數(shù)學的不同領域和計算機科學中占有重要地位，在形式語言和自動機理論中語言對合半環(huán)豐富了Kleene循環(huán)運算理論.理想是半群代數(shù)理論中一個重要的概念，更是研究半環(huán)結構有力的數(shù)學工具,利用一些特殊的理想來研究對合半環(huán)的性質(zhì)與結構，已成為許多專家和學者研究半環(huán)代數(shù)理論的一種常用方法.其中這些特殊的理想包括左(右)理想、*-理想、k-理想、素理想、k-素理想、*-素理想和*-k-素理想等[3-6].在文獻[3]中，Dheena P等學者研究了對合半環(huán)中的理想.該文受上述這些理論的啟發(fā)，在三元半環(huán)上引入對合*運算，稱之為含有對合運算的三元半環(huán)，簡稱為對合三元半環(huán).現(xiàn)就對合三元半環(huán)為主要研究對象，利用幾類特殊的理想來研究三元半環(huán)的理想和這幾類特殊的理想之間的關系.

該文在不引起混淆的情形下，文中的S均表示對合三元半環(huán)，其它的概念請參閱文獻[7-10].

2 S的*-理想與*-k-理想

首先給出該文主要研究的*-理想的相關概念.

定義1 設對合三元半環(huán)S的子集為I，對?a,b∈I,s∈S,若a+b∈I,sab∈I,稱I是S的左理想.若a+b∈I,abs∈I,稱I是S的右理想，若a+b∈I,asb∈I,稱I是S的側理想[3].

定義2 若I既是S的左理想，又是S的右理想，還是S的側理想，則稱I是S的理想[3].

定義3 設I是S的理想，記I*={a*|a∈I},若I*?I，稱I是S的*-理想[3].

對于對合三元半環(huán)S而言，顯然S*=S,也就是說,S本身就是S的一個*-理想，這說明*-理想是非空的.但是關注的對象除了S*之外，還有沒有其它的*-理想，并且這些*-理想有哪些性質(zhì)？這是下面研究的問題.

定理1 若I是S的理想，則I*是S的理想，且I*II,III*,I+I*是S的*-理想.

證明?a,b∈I*,s∈S,則a*,b*∈I,由I是S的理想得:sa*b*,a*sb*,a*b*s∈I,故(sa*b*)*,(a*sb*)*,(a*b*s)*∈I*,即bas*,bs*a,s*ba∈I*,故I*是S的理想.

由于I*是S的理想，所以I*II,III*也是S的理想，又(I*II)*=I*I*I?I*II,(III*)*=II*I*?III*,因此I*II,III*是S的*-理想.

下面給出該文主要研究的*-k-理想的相關概念.

定義4 設對合三元半環(huán)S的子集為I，對?a∈I,s∈S,若a+s∈I,則s∈I,稱I是S的左k-理想.若s+a∈I,則s∈I,稱I是S的右k-理想[3].

定義5 若I既是S的左k-理想，又是S的右k-理想.則稱I是S的k-理想[3].

定理2S的兩個k-理想的交也是S的k-理想.

證明設P,Q是S的兩個k-理想，對?a∈P∩Q,s∈S,若a+s∈P∩Q,則a+s∈P,a+s∈Q,又P,Q都是S的k-理想，故s∈P,s∈Q,于是s∈P∩Q,因此P∩Q是S的k-理想.

定理3 設S是對合三元半環(huán)，I是S的k-理想當且僅當I*是S的k-理想.

證明先證必要性，若I是S的k-理想，對?a*∈I*,s∈S,若a*+s∈I*,則(a*+s)*∈(I*)*,于是s*+(a*)*∈I,即s*+a∈I,由于(S,+)是交換半群，所以a+s*∈I,再由

I是S的k-理想，因此s*∈I,所以s∈I*,即

I*是S的k-理想.

下證充分性，若I*是S的k-理想，對?a∈I,s∈S,若a+s∈I,則(a+s)*∈I*,于是s*+a*∈I*,即s*+a*=a*+s*∈I*,由于I*是S的k-理想，因此s*∈I*,所以s∈I,即I是S的k-理想.

定理4 設S是對合三元半環(huán)，

(1)若A,B,C是S左(右)理想,則Il=

{s∈S|sBC?A}(Ir={s∈S|BCs?A})是S的理想；

(2)若A,B,C是S左(右)k-理想，則Il={s∈S|sBC?A}(Ir={s∈S|BCs?A})是S的k-理想.

證明(1)若A,B,C是S左理想，對?a,b∈Il,由于A是S的左理想,故aBC?A,bBC?A,所以(a+b)BC?A,且a+b∈Il,對?s∈S,則sabBC?saA?A,absBC?aBC?A,

故sab∈Il,abs∈Il，因此Ils={s∈S|sBC?A}是S的理想.

同理若A,B,C是S右理想時，Ir=

{s∈S|BCs?A} 也是S的理想.

(2)若A,B,C是S左k-理想，對?a,b∈Il,s∈S若a+s∈Il,則(a+s)BC?A,即aBC+sBC?A,由于A是S的左k-理想，故sBC?A,因此s∈Il，故Il是S的k-理想.

同理若A,B,C是S右k-理想時，Ir={s∈S|BCs?A}也是S的k-理想.

定義6 若P既是S的k-理想，又是S的*-理想.則稱P是S的*-k-理想[3].

定理5 若I是S的k-理想，則I*∩I是S的*-k-理想.

證明因為I是S的k-理想，由定理3可知，I*也是S的k-理想，因此I∩I*是S的k-理想.又(I∩I*)*=I*∩(I*)*=I*∩I,故I∩I*是S的*-理想，因此I*∩I是S的*-k-理想.

3 S的*-素理想

下面給出該文主要研究的*-素理想的相關概念.

定義7 設P是S的理想，若ABC?P,則A?P或B?P或C?P,稱P是S的素理想[3].

定義8 設P是S的*-理想，若ABC?P,則A?P或B?P或C?P,稱P是S的*-素理想[3].

由定義可知，若P是S的素理想且是*-理想，則P是S的*-素理想.但是S的*-理想未必是S的*-素理想.下面給出對合三元半環(huán)S的*-理想是*-素理想一個充要條件.

定理6 設S是對合三元半環(huán)，P是S的*-理想.則P是對合三元半環(huán)S的*-素理想的充要條件是若ABC?P,則A?P或B?P或C?P,這里A,B,C至少有兩個是S的*-理想.

證明充分性根據(jù)*-素理想的定義可得，下面證明必要性.

設P是對合三元半環(huán)S的*-素理想，不失一般性，假設A是S的理想，B,C是S的*-理想，使得ABC?P,則由于B,C是S的*-理想，所以BCA*?P,從而(A*BC)3=A*BCA*BCA*BC?P*?P,于是A*BC?P,因此(A+A*)BC?P,又因為是素理想可得(A+A*)?P,B?P,C?P,從而A?P或B?P或C?P,于是P是對合三元半環(huán)S的*-素理想.

為了刻畫*-素理想的特性，再給出主理想的概念.

定義9 對?a∈S,是稱由a的生成的理想為S的主理想，記作[3].

定理7 設S是對合三元半環(huán)，P是S的*-理想.則下列命題等價：

(1)P是S的*-素理想；

(2) ?a,b,c∈S,若aSbSc?P,a*SbSc?P,則a∈P或b∈P或c∈P；

(3)設U,V,W是S的右理想，若UVW?P,U*VW?P,則U?P或V?P或W?P；

(4)設U,V,W是S的左理想，若UVW?P,U*VW?P,則U?P或V?P或W?P.

證明(1)?(2)若aSbSc?P,a*SbSc?P,由定理6可得，SS?P,SS?P, 于是(+

)SS?P,所以S(+

)SSSSS?P,再由P是S的*-素理想可得:

S(+)S?P,SS?P,SS?P.

從而+?P,?P,

?P,所以a∈?P,b∈?P,c∈?P.

(2)?(3)設U,V,W是S的右理想，且UVW?P,U*VW?P,假如U不包含于P,則存在u∈U,使得u?P,設v∈V,w∈W.則

?UVW+SUVWS?P,

?U*VW+SU*VWS?P,所以?P或?P或?P，可是U不包含于P,所以?P或?P.

(3)?(4)由(3)的條件直接可得結論.

(4)?(1)由*-素理想的定義可得.