彭光焰

(湖北省廣水市一中 432700)

解三角形問題，形式直觀，背景新穎，創(chuàng)新性強(qiáng)，命題形式活潑多樣，知識(shí)交匯點(diǎn)多，思維方式多變，破解方法多樣，一直是歷年高考與競(jìng)賽命題中的基本考點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，有很好的選拔性與區(qū)分度，倍受關(guān)注.

1 題目呈現(xiàn)

2 解法探究

視角1通過作輔助線，利用正余弦定理求解.

利用正余弦定理解三角形是解三角形中最基本方法，通過作輔助線把已知條件化歸到一個(gè)三角形中，然后再來求解.

圖1

設(shè)BE=x,在△BDE中利用余弦定理,得

BD2=BE2+ED2-2BE·EDcos∠BED.

故BC=2.

設(shè)ED=x,在△BDE中利用余弦定理,得

BD2=BE2+DE2-2BE·DEcos∠BED.

故BC=2DE=2(以下略).

圖2 圖3

解法3 如圖3，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E使BD=DE.

連接AE，CE，則四邊形ABCE為平行四邊形.

設(shè)BC=AE=a，AC=b.

由余弦定理,得

①

由于平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊平方和,得

②

由①和②聯(lián)立,得

視角2通過構(gòu)造向量，用向量有關(guān)知識(shí)來求解.

在高中新教材中，正余弦定理就是利用向量來推導(dǎo)的，向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)之后，又為我們解決三角形問題提供了一條新途徑.利用向量來解決有兩種方法.

解法4 由圖3可知，

圖4

由條件得

視角3 通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用解析幾何知識(shí)來求解.

由兩點(diǎn)間距離公式,得

下面可用解法1或解法2的方法來求sinA的值(以下略).

設(shè)點(diǎn)D到直線AB的距離為d，

由點(diǎn)到直線距離公式，得

解法8 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系.

圖5

①

②

由①和②聯(lián)立，得

視角4 通過作輔助線，利用正弦的差角公式來求解.

解法9 如圖6,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,作BC邊上的高AG.

圖6

又sinα=sin(B-β)

=sinBcosβ-cosBsinβ

在Rt△BDE中，

視角5通過作輔助線生成直角三角形，利用解直角三角形的方法來求解.

解法10 如圖7，過點(diǎn)C，D分別作AB的垂線交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則CE∥DF，EF=AF，CE=2DF.

圖7

設(shè)BC=a，在Rt△BCE中，

在Rt△BDF中，由勾股定理,得

BF2+DF2=BD2.

在Rt△ADF中，由勾股定理,得

解法10完全沒有用高中數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于能力強(qiáng)的初中生就可以解決.

3 類似題再現(xiàn)

題1 (2021年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試·新高考全國(guó)Ⅰ卷第19題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

圖8 圖9

題3 (《數(shù)學(xué)通報(bào)》2021年2月號(hào)問題解答2588題)如圖9，在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC，且BD∶AC=2∶3，求證：∠ABC=60°.

4 總結(jié)反思

應(yīng)該說，這是一道考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的好題，對(duì)于數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生，能找出多種解法，對(duì)于數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生，找一種解法就非常困難，這道題對(duì)于能力強(qiáng)的初中生就能解決.這道題既考查了學(xué)生“數(shù)”方面的基礎(chǔ)(如數(shù)、式的運(yùn)算，坐標(biāo)的假設(shè)等)及“形”方面的基礎(chǔ)(如作輔助線，坐標(biāo)系的建立，勾股定理、正弦定理、余弦定理，向量的三角形法則、平行四邊形法則等)，又檢驗(yàn)了學(xué)生的思想方法的掌握與運(yùn)用，例如：如何通過作輔助線將已知的角和邊轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而運(yùn)用正弦定理和余弦定理來求解；如何將一個(gè)三角問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)問題；如何將一個(gè)三角問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)解幾問題；如何用坐標(biāo)來表示有關(guān)點(diǎn)；如何用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示有關(guān)向量.敘述本題的文字雖簡(jiǎn)潔，但本題內(nèi)涵豐富，思維容量大，解題入口寬，解法眾多，是一道考能力的好題.本題體現(xiàn)了解三角形的本質(zhì)(必須從“數(shù)”與“形”兩方面結(jié)合起來思考)，能考查一個(gè)高中學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也能引導(dǎo)教學(xué)，重視基礎(chǔ)，重視數(shù)學(xué)思想方法，重視學(xué)生的探索能力的培養(yǎng)，重視學(xué)生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，重視學(xué)生的思維能力的培養(yǎng).