陳坤美

(云南省昆明市云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500)

1 內(nèi)容解析

《空間向量及其運(yùn)算》是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(選擇性必修)》第一冊(cè)(以下簡(jiǎn)稱“教科書”)第一章《空間向量與立體幾何》的第一節(jié)內(nèi)容，包括“空間向量及其線性運(yùn)算”和“空間向量的數(shù)量積運(yùn)算”兩小節(jié)內(nèi)容，其中第1課時(shí)“空間向量及其線性運(yùn)算”要學(xué)習(xí)的核心知識(shí)有：空間向量的概念；零向量、單位向量、相等向量、相反向量、共線向量、共面向量；空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算.這些核心知識(shí)是后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量基本定理、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示、應(yīng)用空間向量解決立體幾何圖形位置關(guān)系與度量關(guān)系的基石.

本節(jié)課的重點(diǎn)是：空間向量及其相關(guān)概念，空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算.

本節(jié)課的難點(diǎn)是：空間向量加法結(jié)合律的證明，用向量方法解決立體幾何問題.

2 學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，學(xué)生已在人教A版必修第二冊(cè)中學(xué)習(xí)了《平面向量及其應(yīng)用》和《立體幾何初步》內(nèi)容.熟悉了平面向量的基本研究思路與框架即“實(shí)際背景→基本概念→向量運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積)→向量基本定理及坐標(biāo)表示→向量的應(yīng)用”，這也是研究和學(xué)習(xí)空間向量的基本路線.

3 教學(xué)目標(biāo)

(1)了解空間向量的實(shí)際背景；理解空間向量及相關(guān)概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算.

(2)經(jīng)歷由平面向量的概念、運(yùn)算推廣到空間向量的過程；通過空間向量加法結(jié)合律的證明體會(huì)維數(shù)增加對(duì)向量推廣帶來的變化；在證明空間四點(diǎn)共面的過程中明析立體幾何中向量方法的“三步曲”：用空間向量表示立體幾何圖形→向量運(yùn)算→對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行幾何解釋.

(3)在借助幾何圖形解釋空間向量相關(guān)概念中進(jìn)一步發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想方法；結(jié)合空間向量的概念、運(yùn)算與運(yùn)算律證明四點(diǎn)共面的過程中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力；從平面向量推廣得到空間向量、空間向量問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題的過程中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，領(lǐng)悟類比、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等思想.

4 教學(xué)策略

本節(jié)課采用創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)置問題鏈引導(dǎo)學(xué)生類比平面向量層層深入學(xué)習(xí)空間向量的概念、線性運(yùn)算、運(yùn)算律和位置關(guān)系等內(nèi)容.學(xué)生通過自主探究、生生交流、師生互動(dòng)等教學(xué)活動(dòng)參與學(xué)習(xí)過程，突破學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)和疑點(diǎn).利用幾何畫板、PPT等教學(xué)軟件繪制圖形、平移圖形、展示圖片，借助幾何直觀圖形幫助學(xué)生分析和理解概念.

5 教學(xué)過程

5.1 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題1 圖1是靜止在水平地面上重達(dá)20噸的集裝箱，對(duì)其進(jìn)行受力分析并判斷這些力是否在一個(gè)平面上.

圖1 圖2

生：受到的力有重力和支持力，這兩個(gè)力在同一平面.

師：現(xiàn)用塔吊將集裝箱轉(zhuǎn)運(yùn)(如圖2)，此時(shí)集裝箱可能受到的力有哪些？

生：重力、四條繩子的拉力、風(fēng)力等.

追問：這些力都在同一個(gè)平面上嗎？

師：請(qǐng)同學(xué)們閱讀本章的章前言，再結(jié)合章頭圖仔細(xì)閱讀本節(jié)的節(jié)前言.

師：通過閱讀我們知道無論是研究滑翔運(yùn)動(dòng)還是塔吊物體都需要利用空間向量，其實(shí)在解決很多現(xiàn)實(shí)問題的過程中都需要利用到空間向量如對(duì)橋梁、建筑的鋼架等的研究.本節(jié)課我們主要類比平面向量學(xué)習(xí)空間向量的概念以及線性運(yùn)算(板書課題).

【設(shè)計(jì)意圖】從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的空間向量，學(xué)生能從中體會(huì)平面向量推廣到空間向量的必要性.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生閱讀章前言與節(jié)前言，明確本章以及本節(jié)的主要研究問題，成為整體內(nèi)容的“先行組織者”.

5.2 類比平面，獲取概念

問題2在必修教科書中是如何定義和表示平面向量的？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平面向量的定義、表示法等概念，填寫表1“平面”列，學(xué)生再獨(dú)立類比完成“空間”列的填寫，最后師生共同總結(jié)空間向量的相關(guān)概念.

表1 空間向量概念

問題3 根據(jù)向量大小或方向的不同，可以分類得到哪些特殊向量？

師生活動(dòng)：教師與學(xué)生一起回顧平面中學(xué)習(xí)過的特殊向量并填寫表2“平面”列，學(xué)生類比填寫“空間”列.觀察發(fā)現(xiàn)相等向量和相反向量都是特殊的平行向量.最后，強(qiáng)調(diào)在空間中我們?nèi)砸?guī)定：零向量與任意向量平行.

表2 空間中的特殊向量

問題4 空間中兩條直線的位置關(guān)系有哪些？

生：共面(相交、平行)和異面.

探究1 任意兩個(gè)空間向量a、b都可以通過平移成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量嗎？

師生活動(dòng)：師生結(jié)合教科書“圖1.1-3”畫圖分析，同時(shí)利用幾何畫板做向量平移過程的動(dòng)態(tài)演示.說明其中的依據(jù)和本質(zhì)是“兩條相交直線確定一個(gè)平面，故起點(diǎn)重合的兩個(gè)不共線向量可以確定一個(gè)平面”.

【設(shè)計(jì)意圖】立足立體幾何知識(shí)，為學(xué)生學(xué)習(xí)空間向量找到知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)；利用信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)師生更深入的交流互動(dòng)，課堂內(nèi)容更加生動(dòng)直觀.

5.3 類比運(yùn)算，證運(yùn)算律

師：在學(xué)習(xí)了平面向量的概念之后，我們類比數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)了它的線性運(yùn)算，現(xiàn)在又知道空間向量的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算，那能否把平面向量的線性運(yùn)算推廣到空間呢？

師生活動(dòng)：結(jié)合教科書中“圖1.1-4”和“圖1.1-5”對(duì)空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行直觀理解.

問題5 平面向量加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算滿足的運(yùn)算律有哪些？

生：平面向量的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，數(shù)乘運(yùn)算滿足結(jié)合律和分配律.

追問1：這些運(yùn)算律對(duì)空間向量成立嗎？

探究2 如何證明空間向量加法的結(jié)合律？這與證明平面向量的結(jié)合律有何不同？

圖4 圖5

對(duì)于空間向量，若三個(gè)向量在同一平面則轉(zhuǎn)化為平面情形用圖4證明；若三個(gè)向量不在同一平面則類比平面畫出圖5來證明，同時(shí)結(jié)合圖5歸納總結(jié)得到以下結(jié)論：

(1)首尾相接的若干向量之和等于第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)所表示的向量.

(2)當(dāng)首尾相接的若干向量圍成一個(gè)封閉圖形時(shí)，它們的和為零向量.

(3)兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.

【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)平面向量加法結(jié)合律的證明為空間中的證明給予一定的啟發(fā).由于維數(shù)的增加，三個(gè)向量可能在同一個(gè)平面也可能不在，因此要分類討論進(jìn)行證明，畫圖分析能幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn).

5.4 交流互動(dòng)，共探關(guān)系

5.4.1 空間向量共線的充要條件

探究3 任意兩個(gè)空間向量a(a≠0)與b,a∥b的充要條件是什么？

問題6a與λa有什么位置關(guān)系？

問題7 若b=λa,a與b有什么位置關(guān)系？

問題8 平面中，向量a(a≠0)與b共線的充要條件是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】基于向量數(shù)乘的定義和平面向量共線的充要條件，設(shè)置三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生得到兩個(gè)空間向量共線的充要條件.

圖6 圖7

生：它們互為相反向量、共線(平行)向量.

師：也就是說它們的主要差異是方向相反，那方向相反對(duì)直線l有什么影響？

生：這說明直線l有兩個(gè)方向.

圖8 圖9

師：如圖9，O為方向向量a的起點(diǎn)，P為直線l上的任意一點(diǎn)，結(jié)合向量共線的充要條件你能得到什么？

師生總結(jié)：直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量決定.

【設(shè)計(jì)意圖】在師生的一問一答和交流互動(dòng)中有序推進(jìn)課堂，緊扣直線的定義將向量知識(shí)串聯(lián)，學(xué)生在參與分析、回答、解決問題的過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深化理解.同時(shí)，注重符號(hào)語言、向量語言、圖形語言三種語言的互補(bǔ)和轉(zhuǎn)化.

5.4.2 空間向量共面的充要條件

師：在前面練習(xí)1中，部分同學(xué)找出的三個(gè)向量從圖中看似乎是不在同一平面，但老師告訴大家它們實(shí)際是在同一平面的，現(xiàn)在就作出合理的解釋.

師：任意兩個(gè)空間向量總是共面，三個(gè)向量可能共面也可能不共面，那么什么情況下三個(gè)向量共面呢？

探究4 對(duì)于任意兩個(gè)不共線的空間向量a，b，向量p與向量a，b共面的充要條件是什么？

問題9 當(dāng)向量p與向量a，b共面時(shí)，它們之間有怎樣的關(guān)系？(提示學(xué)生結(jié)合平面向量基本定理思考)

生：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使p=xa+yb.

圖10

5.5 反思回顧，自主總結(jié)

(1)這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？與平面向量相關(guān)概念有何聯(lián)系與區(qū)別？

(2)空間向量的線性運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？如何證明加法的結(jié)合律？

(3)空間向量共線、共面的充要條件分別是什么？

(4)用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”是什么？

(5)本節(jié)課主要涉及了哪幾種數(shù)學(xué)思想？

【設(shè)計(jì)意圖】圍繞本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)、思想方法進(jìn)行總結(jié)反思，促進(jìn)學(xué)生把握本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu).

5.6 布置作業(yè)，達(dá)標(biāo)檢測(cè)

(1)教科書第5頁練習(xí)2、4、5.

【設(shè)計(jì)意圖】考查空間向量的線性運(yùn)算.

(2)下列命題中不正確命題的序號(hào)為

①若空間向量a、b滿足|a|=|b|，則a=b.

②兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同.

④如果a∥b,b∥c,則a∥c.

【設(shè)計(jì)意圖】辨析空間向量的相關(guān)概念.

【設(shè)計(jì)意圖】考查空間向量共線的充要條件及其運(yùn)算.

【設(shè)計(jì)意圖】此題是對(duì)練習(xí)4的變式訓(xùn)練，加深學(xué)生對(duì)空間向量共面的理解，滿足部分學(xué)生想多學(xué)一點(diǎn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需求.