李德林

（山東省壽光中學(xué)，山東 濰坊 262704）

1 問題再現(xiàn)

如圖1所示，已知小圓的半徑為r，大圓的半徑是小圓的3倍，小圓繞大圓做勻速滾動（大圓靜止不動，兩圓無相對滑動）.當(dāng)小圓繞大圓轉(zhuǎn)一圈時，小圓自轉(zhuǎn)幾圈？若此過程只需1s，求小圓圓周上的點(diǎn)繞其圓心轉(zhuǎn)動的線速度為多少？

圖1

相似的問題曾經(jīng)出現(xiàn)在1982年的美國的數(shù)學(xué)高考卷中，并且鬧出了烏龍事件，《紐約時報》對這件事進(jìn)行了報道［1］，在當(dāng)時引起了轟動，因為參與考試的30多萬人里只有3人答對，本題給出了1.5圈、3圈、6圈、4.5圈、9圈共5個選項，正確的答案是4圈，就連出題人也做錯，給出的5個選項里沒有正確答案，出題方美國大學(xué)理事會事后聲明，出題方的答案是錯的.

這個問題在數(shù)學(xué)上叫“硬幣悖論”，將兩枚相同的硬幣整齊的擺放，將上面的硬幣沿著下面的硬幣滾回原來位置，你會發(fā)現(xiàn)上面運(yùn)動的硬幣實(shí)際轉(zhuǎn)了兩周，而不是我們想象中的一圈，這種反直覺的現(xiàn)象被稱為“硬幣悖論”.

2 基于物理觀念和思維，探究問題本質(zhì)

文獻(xiàn)［2］從不同的角度，采用了“化曲為折”、質(zhì)心（圓心）觀點(diǎn)、實(shí)踐驗證、數(shù)學(xué)繪圖軟件作圖等四種方法對這一問題進(jìn)行了分析論證，其中 “化曲為折”的方法把圓周等效成多邊形，用的是一種等效思想，等效思想是分析物理問題時常用的一種思維方法，目的是把復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，文獻(xiàn)［2］中“化曲為折”的方法，反而使簡單的問題復(fù)雜化，直觀的問題抽象化，費(fèi)時費(fèi)力，特別是小圓在大圓內(nèi)測滾動的情況，數(shù)學(xué)證明更為繁瑣，不利于學(xué)生理解小圓沿著曲線滾動的本質(zhì)特點(diǎn).

問題的實(shí)質(zhì)在于小圓繞大圓公轉(zhuǎn)的過程中，即使沒有滾動小圓自身也發(fā)生了轉(zhuǎn)動，學(xué)生理解了這一點(diǎn)，問題就容易解決.可以先分析小圓沿著大圓滑動（沒有滾動）的情況，如圖2所示，A點(diǎn)為小圓上的一個固定點(diǎn)，假設(shè)小圓總是和大圓在A點(diǎn)接觸沿著大圓滑動一周，圖中標(biāo)出了幾個特殊位置，可以看出小圓沿著大圓滑動了一圈小圓也自轉(zhuǎn)了一圈，也就是小圓繞大圓的公轉(zhuǎn)周期與小圓的自轉(zhuǎn)周期相同.這可類比為一個同學(xué)沿著一個圓形操場跑步，假設(shè)某一時刻面向南，經(jīng)過了半圈變成了面向北，身體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動了半圈，再經(jīng)過半圈又成了面向南，也就是沿著操場跑了一圈身體也自轉(zhuǎn)了一圈.

圖2

理解了上述規(guī)律，當(dāng)小圓沿著大圓滾動（無滑動）時，小圓的自轉(zhuǎn)圈數(shù)就水到渠成容易解決，先算出小圓相對大圓的滾動圈數(shù)，小圓的自轉(zhuǎn)圈數(shù)就是小圓相對大圓的滾動圈數(shù)加1，為什么是加1而不是減1，由圖2可以看出，小圓沿著大圓的公轉(zhuǎn)方向和小圓的自轉(zhuǎn)方向一致，當(dāng)小圓沿著大圓順時針滾動時，小圓的自轉(zhuǎn)方向也是順時針.

如果小圓沿著大圓的內(nèi)側(cè)滾動，小圓沿著大圓的公轉(zhuǎn)方向與小圓的自轉(zhuǎn)方向相反，當(dāng)小圓沿著大圓順時針滾動時，小圓的自轉(zhuǎn)方向為逆時針（如圖3），因此小圓的自轉(zhuǎn)圈數(shù)就是小圓相對大圓的滾動圈數(shù)減1.

圖3

此方法原理簡單、省時省力，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，避免了建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和繁瑣的數(shù)學(xué)證明.

3 兩個圈數(shù)為什么不一樣

本題中小圓相對于大圓滾動了3圈，小圓也確實(shí)自轉(zhuǎn)了4圈，文獻(xiàn)［2］分析了求小圓自轉(zhuǎn)圈數(shù)的多種方法，但是兩個圈數(shù)為什么不同，學(xué)生還是感到疑惑，還是不理解問題的實(shí)質(zhì).

我們說小圓沿著大圓滾動，是地面上的人看到的運(yùn)動形式，顯然是以地面為參考系的運(yùn)動描述，而小圓自轉(zhuǎn)是相對于小圓的轉(zhuǎn)軸或圓心來說的，是以小圓的轉(zhuǎn)軸或圓心為參考系的運(yùn)動描述，題目中求小圓邊緣上點(diǎn)的線速度也是相對于圓心的速度.因此小圓運(yùn)動的兩種不同描述是相對于不同的參考系來說的，小圓的滾動圈數(shù)是地面參考系內(nèi)的圈數(shù)，小圓的自轉(zhuǎn)圈數(shù)是圓心參考系內(nèi)的圈數(shù)，而小圓的圓心相對于地面參考系又在運(yùn)動，選擇的參考系不同，運(yùn)動形式就不一樣，所以圈數(shù)不一樣，學(xué)生明確了這一點(diǎn)才能理解兩個圈數(shù)不同的本質(zhì).

4 質(zhì)心（圓心）解法的理論依據(jù)

文獻(xiàn)［2］中根據(jù)小圓的質(zhì)心運(yùn)動求自轉(zhuǎn)圈數(shù)的方法，解法簡便但是學(xué)生不理解其中的原理，文中的理論依據(jù)是，由于小圓運(yùn)動的路程是其圓周上的點(diǎn)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動造成的，那么其圓周上的點(diǎn)相對于質(zhì)心運(yùn)動的弧長等于質(zhì)心運(yùn)動的路程，這樣說明，學(xué)生不知其所以然，理解起來有困難.

要求小圓圓周上的點(diǎn)的相對于其圓心的弧長，先求其相對于圓心轉(zhuǎn)動的線速度，因為存在兩個參考系，需要搞清楚牽連速度、相對速度和絕對速度三者間的關(guān)系.如圖4所示，設(shè)小圓圓心相對于地面速度為v1，小圓圓周上的點(diǎn)相對于其圓心的線速度為v2，因為小圓相對于大圓無滑動，所以小圓圓周上與大圓接觸的點(diǎn)相對于地面的速度為0，即絕對速度為零，所以牽連速度v1和相對速度v2等大反向.因此小圓圓心運(yùn)動的路程等于小圓圓周上的點(diǎn)相對于圓心運(yùn)動的弧長，這就是根據(jù)小圓質(zhì)心（圓心）運(yùn)動解法的理論依據(jù).

圖4

這個解法可以推廣到一般情況，不管小圓沿著直線滾動還是曲線滾動都成立.

5 問題拓展

古希臘著作《論力學(xué)》里面有這樣一個問題，是一個讓當(dāng)時不少偉大的數(shù)學(xué)家感到困惑的謎題，困擾當(dāng)時數(shù)學(xué)界幾百年.

在輪上有兩個同心圓，如圖5所示，輪子滾動一周，從A點(diǎn)移動到B點(diǎn)，這時AB的距離等于大圓的周長，此時小圓也正好轉(zhuǎn)過1周，并走過了AB的距離，這不表明小圓周長和大圓相等嗎？

圖5

圖6

該問題可以建立數(shù)學(xué)模型分析，［3］但需要有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力，如果基于物理觀念和思維，通過構(gòu)建物理模型，容易分析清楚問題的本質(zhì).因兩個圓同軸轉(zhuǎn)動，大圓滾動一圈，小圓的滾動圈數(shù)和自轉(zhuǎn)圈數(shù)也都是一圈，在圓心參考系內(nèi)，兩圓圓周上的點(diǎn)角速度相同，設(shè)大圓、小圓半徑分別為R和r，圓周上的A、C兩點(diǎn)在圓心參考系的線速度大小分別為Rω和rω，設(shè)圓心運(yùn)動速度為v0，因輪子沿地面滾動（無滑動），所以與地面接觸點(diǎn)A點(diǎn)在地面參考系中速度為零，所以牽連速度v0和相對速度Rω等大反向（如圖6），即v0＝Rω，對于小圓上的C點(diǎn)，則v0＞rω，絕對速度vC＝v0－rω.這說明小圓上的C點(diǎn)在地面參考系中的速度不為零，小圓不是純滾動，在滾動的同時還有滑動，因此AB之間的距離要大于小圓的周長.小圓半徑r越小滑動速度越大，當(dāng)小圓的半徑無限小，小圓就收縮成了輪子的圓心，就只有滑動沒有了滾動.

6 結(jié)束語

雙圓滾動問題，容易被現(xiàn)象和直覺所蒙蔽，認(rèn)不清問題的實(shí)質(zhì)，這樣的問題如果單純靠建立數(shù)學(xué)模型（如文獻(xiàn)［2］中的“化曲為折”）去分析，過程會比較復(fù)雜，也認(rèn)不清問題的本質(zhì)；如果基于物理觀念、滲透物理思維，通過建立恰當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ腿シ治觯菀卓辞鍐栴}的物理本質(zhì)，［4，5］問題往往會迎刃而解.