李 昊

（中國地質(zhì)大學，北京 100083）

1 浮沉子簡介

浮沉子模型最早于17世紀被笛卡爾提出，其可以視為下端有開口的小瓶在內(nèi)部保持有一定量的空氣后倒置放入水中，改變外部水的壓力，可以實現(xiàn)小瓶的下沉與上浮.

2 浮沉子運動情況分析

2.1 視浮沉子（包括內(nèi)部空氣）質(zhì)量不變

以圖1中浮沉子為例，將浮沉子放置于裝滿水的量筒中，并用橡皮膜封口.通過對橡皮膜施加壓力使得量筒內(nèi)水壓增大，進而壓縮浮沉子內(nèi)空氣，使得浮力與重力差值改變，從而達到浮沉子上浮與下沉的目的.

圖1 浮沉子模型

設浮沉子初始質(zhì)量為m0，重力為G，浮沉子內(nèi)初始空氣體積為V0氣，浮沉子體積為V物，水的密度為ρ，浮沉子下沉深度為Δh，浮沉子內(nèi)空氣初始壓強為p1.

圖2 浮沉子受力

未施加外力時，浮沉子懸浮于水面此時F?。綠，但由于頂部橡皮膜使得浮沉子靜止于量筒頂部.施加外力產(chǎn)生壓強p外，則由帕斯卡原理，水的各處壓強均增加p外.未施壓前，浮沉子內(nèi)空氣壓強為p1，與水的壓強相等.施加外力后，浮沉子所受水壓增大為

此時浮沉子內(nèi)空氣壓強小于浮沉子所受水壓，浮沉子內(nèi)部空氣被壓縮.則由浮力定律

浮沉子（包括內(nèi)部空氣）排開水的體積減小，浮力減小.但浮沉子質(zhì)量不變，此時浮沉子重力大于浮力，浮沉子開始下沉.

當浮沉子下沉深度Δh時撤去外力，由于深度增加水壓進一步加大變?yōu)?/p>

撤去外力，水壓變?yōu)?/p>

在浮沉子下沉過程中，內(nèi)部空氣被壓縮，設在撤去外力時浮沉子內(nèi)空氣壓強增量Δp，則此時浮沉子內(nèi)空氣壓強變?yōu)?/p>

則當Δp＞ρgΔh時，空氣壓強大于外部水壓，氣體膨脹，浮沉子浮力增大，當浮力大于重力，浮沉子上浮.在下降Δh后，浮沉子重力不變，所受水壓增大，內(nèi)部空氣壓強增大Δp，則在此過程由理想氣體狀態(tài)方程

可以得出空氣體積的變化量

即由于浮沉子內(nèi)空氣被壓縮，體積減小了ΔV，則浮力減小量為

以上即為視浮沉子質(zhì)量不變時的分析，其結果即為浮力減小ΔF浮從而改變了重力與浮力的差值導致浮沉子下沉.

2.2 視浮沉子浮力不變

在視浮沉子質(zhì)量不變時，分析的對象是包括小瓶和瓶內(nèi)氣體為整體，但在視浮沉子浮力不變時，分析的對象取為浮沉子小瓶所占據(jù)的圓柱體整體（包括內(nèi)部空氣以及進入浮沉子內(nèi)的水）.

圖3 所選取分析對象

在視浮力不變的條件下，未施加外力時受力情況與之前一致.當施加外力時，由于分析對象其體積是一定的，故在整個運動過程中物體浮力不變.設其體積為V1，則其所受浮力為

施加外力，浮沉子所受外水壓變大，水進入到浮沉子中，但此時所選取的分析對象為包含浮沉子內(nèi)水的整體，故當水進入后，整體質(zhì)量增大，重力增大，重力大于浮力時浮沉子下沉.在下沉過程中，內(nèi)部空氣壓強變化以及所受外水壓變化與之前分析相一致.下沉到一定深度時，撤去外力，此時空氣壓強與外水壓差同之前分析相同，但此時所選分析對象體積不變，故浮力仍不變.由于水被壓出浮沉子，使得浮沉子損失了這一部分水的質(zhì)量，導致重力減小，重力小于浮力時浮沉子上浮.在下沉過程中浮沉子內(nèi)部氣體壓強同之前一致

則同樣用理想氣體狀態(tài)方程可以得出氣體體積變化量仍為

此時浮沉子內(nèi)空氣體積減小了ΔV，則同時會有ΔV體積的水進入到浮沉子，使浮沉子重力增大，其重力增量即為流入水的重力

當視浮沉子浮力不變時，其結果為浮沉子的重力會改變ΔG，從而改變了重力與浮力的差值.

3 兩種分析方法的一致性

可以看出兩種方法在未施加外力時浮沉子的狀態(tài)都是一致的.在施加外力后，浮沉子開始下降，在下沉過程中浮沉子內(nèi)空氣壓強的增量在兩種方法中也是一致的，壓強均為

則在同外力，同下沉深度下2種方法的Δp也一致.故在2種方法下浮沉子在起始與下沉過程中內(nèi)部空氣的狀態(tài)都是一致的，從而浮沉子的運動狀態(tài)也是一致的.

撤去外力后，2種方法下浮沉子受力改變分別為浮力減小ΔF浮和重力增大ΔG，由式（9）和式（13）可得，兩者的變化量相同均為

綜上，2種不同的分析方法所得結果在浮沉子運動的各個階段都是相同的，只不過一個是視物體浮力不變，重力增大；另一個是重力不變，浮力減小.而兩者變化力的變化量都是相同的，最終使得在撤去外力后浮沉子的重力與浮力的差值均一致，即2種不同分析方法所得結果都是一致的.

4 浮沉子的不可逆現(xiàn)象

浮沉子不可逆的現(xiàn)象即是在撤去外力后浮沉子依舊保持下沉而無法上浮的現(xiàn)象.

根據(jù)之前的分析，當浮沉子下沉到一定深度撤去外力時，浮沉子內(nèi)空氣壓強變?yōu)?/p>

浮沉子所受外水壓變?yōu)?/p>

浮沉子下沉一定深度Δh后，撤去外力，浮沉子上浮原因在于此時浮沉子內(nèi)部空氣壓強大于浮沉子所受水的壓強，則若外部水壓大于浮沉子內(nèi)部氣壓，則浮沉子內(nèi)空氣不會膨脹，從而使得浮沉子保持下沉的狀態(tài).即浮沉子不可逆需滿足

即

考慮臨界情況，即當上式等號成立時.

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程可以得出當上式等號成立時，浮沉子內(nèi)空氣體積改變量為

將該式寫為

可見浮沉子內(nèi)空氣最終撤去外力后體積變化與浮沉子下沉深度有關，隨Δh增大，空氣被壓縮越多，最終達到臨界值，浮沉子內(nèi)空氣無法膨脹.

但浮沉子不可逆的條件除了下沉一定深度后浮沉子無法通過空氣膨脹改變重力與浮力的差值外，還有一點就是在空氣無法膨脹的深度時浮沉子的浮力小于重力.只有這2個條件同時滿足浮沉子才會出現(xiàn)不可逆的現(xiàn)象.再考慮臨界，即當浮沉子下沉深度到達空氣無法膨脹的深度時，此時浮沉子的浮力剛好等于重力.（此處我們視浮沉子重力不變）

將此時的ΔV代入得出浮沉子下沉深度為

則當撤去外力時浮沉子下沉深度大于Δh臨界時，浮沉子內(nèi)部空氣無法再次膨脹，且此時浮沉子重力大于浮力，浮沉子保持下沉，即出現(xiàn)了浮沉子撤去外力也無法上浮的不可逆現(xiàn)象.

可以看出浮沉子不可逆臨界深度與以下因素有關：浮沉子初始質(zhì)量m0，浮沉子初始空氣體積V0氣，浮沉子小瓶體積V物.由式（23）可得出，m0越大則Δh臨界越小，m0越大則浮沉子重力越大，能實現(xiàn)重力大于浮力的深度也就越淺；當V物增大時Δh臨界也隨之增大，V物越大則浮沉子體積越大，在水中的浮力也就越大，達到不可逆狀態(tài)所需的臨界深度也就越深.

綜上，浮沉子出現(xiàn)不可逆現(xiàn)象的原因為其下沉到一定深度后，外部水壓導致內(nèi)部空氣無法膨脹，并且此時由于空氣被壓縮，浮沉子重力大于浮力，從而使浮沉子保持下沉的狀態(tài).浮沉子出現(xiàn)不可逆的臨界深度與浮沉子初始質(zhì)量、初始空氣體積、浮沉子小瓶體積等因素有關.

5 實驗及結果

依據(jù)式（23），浮沉子下沉出現(xiàn)不可逆現(xiàn)象的臨界深度與浮沉子內(nèi)初始空氣體積、浮沉子（不含空氣）質(zhì)量與體積、等因素有關.據(jù)此對于不同影響因素進行實驗探究.實驗所用浮沉子為圓柱形小瓶，外容器選用容積為1000mL的量筒，頂部有橡皮膜密封.

5.1 不同初始空氣體積下沉所需壓力大小

將浮沉子內(nèi)水位高度從2.6cm增加至3.6cm（以0.2cm為梯度），分別測量不同空氣體積下浮沉子下沉所需最小壓力（壓力變化梯度為100g）.（圖4）浮沉子內(nèi)初始空氣體積越大，浮沉子下沉所需壓力越大.（以施加重物的形式來達到控制外力的目的）

圖4 不同初始空氣體積所需最小壓力

5.2 不同空氣體積下不可逆臨界下沉深度

隨著浮沉子內(nèi)水位由2.6cm增至3.6cm，浮沉子下沉所需臨界深度由11.3cm減小至7.6cm.（圖5）即浮沉子內(nèi)空氣體積越大，所需下沉臨界深度越深.

圖5 不同初始空氣體積下臨界深度

5.3 浮沉子不同質(zhì)量對下沉臨界深度影響

隨著浮沉子質(zhì)量由8.00g增至10.10g（以0.3g為梯度），浮沉子下沉臨界深度由8.7cm降至5.2cm.（圖6）即浮沉子質(zhì)量越大，浮沉子下沉臨界深度越小.（通過對同一浮沉子纏繞細銅絲改變質(zhì)量）

圖6 不同初始質(zhì)量下臨界深度

5.4 不同浮沉子體積對臨界深度的影響

浮沉子體積分別為10.49cm3、9.72cm3、8.83cm3、6.81cm3，相同空氣體積下測得臨界深度分別為7.8cm、7.4cm、6.9cm、6.7cm.（圖7）即浮沉子體積（不含空氣）越大，下沉臨界深度越深.（纏繞細銅絲達到質(zhì)量保持相同的目的.）

圖7 不同浮沉子體積下臨界深度

5.5 不同壓力下浮沉子下沉速度情況

對浮沉子施加的外力從2.5kg增加至3.2kg，浮沉子平均速度從5.5cm/s增加至8.7cm/s.（圖8）施加外力越大，浮沉子下沉平均速度越大.

圖8 外力大小對下沉速率的影響

實驗結果對比式（23）我們可以看出各參量對于浮沉子臨界深度的影響情況理論與實驗相一致，如圖9－12.

圖9 不同初始空氣體積結果對比圖

圖10 不同浮沉子質(zhì)量結果對比圖

圖11 不同浮沉子體積結果對比圖

圖12 修正結果（以浮沉子質(zhì)量為例）

圖中顯示理論值與實驗值其結果趨勢一致，但在誤差范圍外仍有一定誤差.且實驗值都較理論值高，探究其原因為在理論分析時忽略了浮沉子因慣性而產(chǎn)生的運動（撤去外力后因慣性會繼續(xù)向下移動微小位移），考慮到此因素，將（23）式加入修正因子：

取k＝1.045此時理論與實驗值附合較好.

6 結論

根據(jù)理論分析及實驗探究，對于浮沉子運動規(guī)律可以得出以下結論：（1）浮沉子下沉與上浮是通過改變自身重力與浮力差值來實現(xiàn)的，在浮沉子受外力作用并到達一定深度時，產(chǎn)生的壓強差使其重力大于浮力，撤去外力后浮沉子不會上浮，從而造成了浮沉子不可逆轉(zhuǎn)的現(xiàn)象.（2）其他條件不變，浮沉子內(nèi)空氣體積越大下沉所需外力越大.（3）其他條件不變，浮沉子內(nèi)空氣體積越大不可逆現(xiàn)象所需臨界深度越深.（4）其他條件不變，浮沉子質(zhì)量越大，浮沉子不可逆現(xiàn)象所需臨界深度越小.（5）其他條件不變，浮沉子初始體積越大，浮沉子不可逆所需臨界深度越大.

浮沉子模型在浮力的教學以及模擬情況中都有較好的應該用，此外它也可以視作潛水艇的簡化模型.本實驗通過理論分析浮沉子運動狀態(tài)將目前兩種主要分析方法指出了其一致性，解釋了浮沉子不可逆現(xiàn)象的出現(xiàn)原因及所需條件，實驗探究了浮沉子質(zhì)量、體積、初始空氣體積等因素對浮沉子不可逆現(xiàn)象的影響.為對于浮力、潛水艇原理的物理教學、科普推廣的工作提供了理論基礎及實驗依據(jù).