陳 俊 鐘 鳴

（1.南京市第九中學(xué)，江蘇 南京 210018；2.南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

1 原題重現(xiàn)

例題.（2021年山東高考物理第2題）如圖1所示，密封的礦泉水瓶中，距瓶口越近水的溫度越高.一開(kāi)口向下、導(dǎo)熱良好的小瓶置于礦泉水瓶中，小瓶中封閉一段空氣.擠壓礦泉水瓶，小瓶下沉到底部；松開(kāi)后，小瓶緩慢上浮，上浮過(guò)程中，小瓶?jī)?nèi)氣體

圖1

（A）內(nèi)能減少.

（B）對(duì)外界做正功.

（C）增加的內(nèi)能大于吸收的熱量.

（D）增加的內(nèi)能等于吸收的熱量

解析：這是一道情景結(jié)合類(lèi)的試題，以浮沉子為載體，考查學(xué)生對(duì)理想氣體狀態(tài)方程、熱力學(xué)第一定律等知識(shí)的理解和掌握情況.當(dāng)小瓶緩慢上浮時(shí)，小瓶中封閉氣體的壓強(qiáng)將逐漸減小，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程可知，小瓶中封閉氣體的體積將逐漸增加；距水瓶口越近水的溫度越高，小瓶中封閉氣體的溫度將逐漸升高.小瓶中的氣體可近似認(rèn)為是理想氣體，溫度升高，氣體的內(nèi)能增加（ΔU＞0），體積增加，氣體對(duì)外做功（W＜0），也可以說(shuō)成是對(duì)外做正功.根據(jù)熱力學(xué)第一定律W+Q=ΔU可知：Q＞0表示小瓶?jī)?nèi)氣體從外界吸熱.且|Q|＞ΔU，所以本題答案為（B）.

2 IYPT對(duì)應(yīng)的試題

本題的原題是第34屆IYPT（2021）的第6題：不可逆轉(zhuǎn)的浮沉子.

一個(gè)簡(jiǎn)單的浮沉子（例如，一個(gè)部分充滿水的倒置試管）被放置在一個(gè)裝滿水的垂直長(zhǎng)管中.增加管中的壓力迫使浮沉子下沉.當(dāng)達(dá)到一定的深度時(shí)，即使改變壓力到初始值，它也不會(huì)返回到表面.探究這一現(xiàn)象以及相關(guān)參數(shù)如何影響該現(xiàn)象.

3 提出問(wèn)題

對(duì)于本題的載體浮沉子，有兩個(gè)問(wèn)題值得深入思考：

（1）擠壓礦泉水瓶，小瓶為什么會(huì)下沉到底部？

（2）松開(kāi)后，小瓶為什么會(huì)緩慢上??？

下面就這兩個(gè)問(wèn)題展開(kāi)分析和討論.

（1）假設(shè)浮沉子質(zhì)量為m，橫截面積為S，水的密度為ρ，密封的礦泉水瓶中上方的空氣壓強(qiáng)為p0，此時(shí)小瓶中液面距離礦泉水液面的高度差為h2，小瓶?jī)?nèi)封閉氣體長(zhǎng)度為（h1+h2）（如圖2所示），壓強(qiáng)為p1.小瓶置于礦泉水瓶中，此時(shí)小瓶處于靜止?fàn)顟B(tài)，所受合外力為0，有mg=ρgh2S；小瓶中封閉氣體的壓強(qiáng)p1=p0+ρgh2.

圖2

當(dāng)擠壓礦泉水瓶時(shí)，水瓶上方的空氣體積將減小，在溫度不變的情況下，這部分空氣的壓強(qiáng)p0將增大，小瓶中封閉氣體的壓強(qiáng)p1增大，體積將減小.此時(shí)小瓶下降，但是小瓶中液面距離礦泉水液面的高度差為h2保持不變，所以小瓶受到的浮力不變，小瓶處于一種動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài).如果此時(shí)保持水瓶上方空氣的壓強(qiáng)不變，小瓶將懸浮在水中；此時(shí)松手，小瓶會(huì)上浮.

當(dāng)小瓶頂部下降到液面以下后，繼續(xù)擠壓礦泉水瓶，小瓶中封閉氣體的體積繼續(xù)減小，h2將減小，h2的減小使得小瓶所受浮力減小，mg＞ρgh2S小瓶下沉.

（2）假設(shè)當(dāng)小瓶下沉到距離礦泉水瓶中液面h的位置時(shí)撤去外力，密封的礦泉水瓶中上方的空氣壓強(qiáng)恢復(fù)到p0，此時(shí)液面下方h位置出的壓強(qiáng)為p2=p0+ρgh，p0減小使得p2也減小.對(duì)小瓶中氣液分界處液片分析，p2的減小使得分界處液片受力不平衡，小瓶中封閉氣體長(zhǎng)度將增大，使得小瓶受到的浮力增大，那會(huì)不會(huì)大于小瓶的重力，讓小瓶上浮呢？

4 上浮條件的分析

如圖2所示，根據(jù)前面的假設(shè)，小瓶露在水面上方的長(zhǎng)度為h1，水面下方封閉氣體的長(zhǎng)度為h2，開(kāi)始時(shí)有

mg=ρgh2S.

輕壓水瓶，小瓶將下沉，當(dāng)小瓶下沉到瓶中液面距離礦泉水瓶中液面h的位置時(shí)撤去外力，假設(shè)此時(shí)小瓶恰好處于平衡狀態(tài)，則有

mg=ρgh2S.

對(duì)于小瓶?jī)?nèi)封閉的氣體，由理想氣體狀態(tài)方程可得

對(duì)礦泉水瓶而言，瓶中的溫度變化不大，在此認(rèn)為瓶中水的溫度處處相等的.

p2（h1+h2）S=ph2S.

密封的礦泉水瓶中上方的空氣壓強(qiáng)恢復(fù)到p0，有

（p0+ρgh2）（h1+h2）=（p0+ρgh）h2.

簡(jiǎn)化后可得

對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)松手時(shí)小瓶下沉的深度小于h時(shí)，那么松手后小瓶?jī)?nèi)的氣體的體積會(huì)膨脹到大于h2的長(zhǎng)度，小瓶受到的浮力將大于重力，小瓶將上浮.

（2）當(dāng)松手時(shí)小瓶下沉的深度等于h時(shí)，那么松手后小瓶?jī)?nèi)的氣體的體積會(huì)膨脹到等于h2的長(zhǎng)度，小瓶受到的浮力將等于重力，小瓶將處于懸浮狀態(tài).

（3）當(dāng)松手時(shí)小瓶下沉的深度大于h時(shí)，那么松手后小瓶?jī)?nèi)的氣體的體積會(huì)膨脹到小于h2的長(zhǎng)度，小瓶受到的浮力將小于重力，小瓶將一直下沉到容器的底部而不再上浮.

結(jié)論：松手后小瓶能否上浮跟松手時(shí)小瓶的位置有關(guān)，還跟封閉的容器中液面上方的空氣壓強(qiáng)有關(guān)，所以浮沉子松手后能否上浮要視情況而定，不能一概而論.

5 思考

如果小瓶的初始狀態(tài)是瓶底恰好與礦泉水中的水面平齊（即h1=0），那么松手后小瓶會(huì)上浮嗎？同樣我們假設(shè)在撤去外力后，小瓶恰好重現(xiàn)處于平衡狀態(tài)，此時(shí)應(yīng)有mg=ρgh2S，由理想氣體狀態(tài)方程可知，對(duì)于小瓶?jī)?nèi)封閉的氣體

p1h2S=p2h2S，p0+ρgh2=p0+ρgh，h=h2.

這是不可能的.也就是說(shuō)：如果開(kāi)始時(shí)小瓶整體在液面以下平衡，擠壓礦泉水瓶，小瓶下沉到底部；松開(kāi)后，小瓶將不會(huì)上浮.所以松手后要使小瓶能從液面下上浮，則最初沒(méi)有施加壓力時(shí)小瓶要有一段瓶體露在液面以上.